福州大学：《离散数学》课程教学资源（教案讲义）第十一章 半群与群

离散数学教案 缩号.C1101 课时安排： 2学时 教学课型：理论课 实验课口习题课口实践课口其它口 题目（教学章、 节或主题)： Ch11半群与群 §11.1半群与独异点 教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 1.基本掌握半群、交换半群、独异点的定义： 2.掌握群的定义和 一些常见的群的例子： 教学重点、难点： 1)重点：半群、交换半群、独异点的定义 2)难点：半群、交换半群、独异点的定义 教学方法 利用黑板，CAI课件等教学 教学用具： 黑板，CAI课件及其辅助设备。 教学内容（注明：幸重点#难点？疑点）： 概念(60分钟) 1.定义设<S,°>是一代数系统，S为非空集合，。是S上的二元运算，若 (1)。运算是封闭的。 (2)。运算满足结合律，则称<S,°>为半群。 2.定义对于◆运算，拥有么元的半群<M,◆>称为含么半群。（又称拟群，么半群，独异点）。 例1 <N.t,0> >均为含么半群 而<,x>就不为么半群 例2设S为非空集合，p(S)是S的幂集， 则<p(S),>,<p(S),n,S>均为含么半群。而<1，ma>, 其中max(xl,x2)取二者之大值：<I.min>,其中min(x1x2)取二者之小值，均不为么半群 3.定义设<S,·>是一半群，TS,且+在T上是封闭的，那么<T,>也是半群。 *>是<S,* 的 4.定义 设S,*,>是一个含么半群，TS,且在T上是封闭的，则<T,*,c心>也是一个含么半群 称<T,*,e心是<S,*,心>的子含么半群。 例3：半群<0,1，>是<入，0,1，>的子半群，而不是子含么半群。 二、性质及云算(25分钟) 半群 S,*>的载体S为有限集 则必有aeS,使a*aa 设<S,*>是独异点，对于任意a,b∈S,且a,b均有逆元，则 a)(a-)-=a b)ab有逆元，且(ab)-bla- 三、课堂小结（约5分钟） 1101

1101 离 散 数 学 教 案 编号：C1101 课时安排： 2 学时 教学课型：理论课√ 实验课□ 习题课□ 实践课□ 其它□ 题目（教学章、节或主题）： Ch11 半群与群 §11.1 半群与独异点 教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 1. 基本掌握半群、交换半群、独异点的定义； 2. 掌握群的定义和一些常见的群的例子； 教学重点、难点： 1） 重点：半群、交换半群、独异点的定义 2） 难点：半群、交换半群、独异点的定义 教学方法: 利用黑板,CAI 课件等教学. 教学用具: 黑板,CAI 课件及其辅助设备. 教学内容（注明：* 重点 # 难点 ？疑点）： *一、概念（60 分钟） 1. 定义 设< S , >是一代数系统，S 为非空集合，  是 S 上的二元运算，若 (1)  运算是封闭的。 (2)  运算满足结合律，则称< S , >为半群。 2. 定义 对于*运算，拥有幺元的半群< M , * >称为含幺半群。（又称拟群，幺半群，独异点）。 例 1 <N ,+, 0> , <N , , 1 >均为含幺半群， 而< IE , >就不为幺半群 例 2 设 S 为非空集合， (S)是 S 的幂集， 则<  (S), , > ,<  (S) ,  ,S>均为含幺半群。而<I ,max>， 其中 max(x1,x2)取二者之大值；<I ,min>，其中 min(x1,x2)取二者之小值，均不为幺半群 3．定义 设< S ,* >是一半群，TS，且*在 T 上是封闭的，那么< T ,* >也是半群， 称< T ,* >是 < S ,* >的子半群。 4．定义 设<S , * ,e>是一个含幺半群，TS，且*在 T 上是封闭的，则<T , * ,e>也是一个含幺半群， 称<T , * ,e>是<S , * ,e >的子含幺半群。 例 3：半群<{0,1}, *>是<{,0,1},*>的子半群，而不是子含幺半群。 二、性质及运算 （25 分钟） 1．定理 如果半群< S ,* >的载体 S 为有限集，则必有 aS，使 a*a=a 2．定义 设< S ,* >是独异点，对于任意 a，bS，且 a， b 均有逆元，则 a) 1 1 ( ) − − a = a b) a*b 有逆元，且(a*b) −1 =b −1 *a −1 三、课堂小结（约 5 分钟）

离散数学教案 编号：C1102 课时安排： 2学时教学课型：理论课√实验课口习题课口实践课口其它口 题目（教学章、节或主题）： Chl1半群与群 §11.2群的定义与性质 6113子群 教学目的要求（分掌握、热悉、了解三个层次） 1.理解群、子群概念 2。掌握群的有关性质 教学重点、难点： 1)重点：群、子群定义及性质 2)难点：群、子群定义及性质 教学方法 利用黑板，CAI课件等教学 教学用具： 黑板，CAI课件及其辅助设备 教学内容（注明：*重点#难点 ?疑点)： 概念(65分钟 1.定义 <S,>是一代数系统，S是非空集合，◆为S上的二元运算，它满足以下四个条件时 则称<S,*>为群 (1)*运算是封闭的： (2)◆运算是可结合的： (3)存在么元c (4)S中每一个元素均有逆元。 例1：<1，+>，<Z2,+2>,<Z,+>等均为群（其中=0,1，Z=0,1,2}),而<N,+>,<1,x>只是含么 半群而不是群。 2.定义 设<G,>是一个群，如果G是有限集合，则称<G,>为有限群，并把G称为群的阶数 如果G为无限集合，则称<G,>为无限群 例2：<，+>为无限群，上例中<M,>为有限群，群的阶为M=-6。 概括地说：代数系统仅仅是具有一个封闭的二元运算的非空集合： 半群是一个具有结合运算的代数系统： 独异点是具有 元的半群： 群是每个元素都有逆元的独异点。 二、性质及运算(25分钟) 1,1)群具有半群和含么半群所具有的所有性质： 2)由于群中存在么元，在群的运算表中一定没有相同的行（和列） 3)在群中，每一个元素均存在逆元，所以群相对半群和含么半群来说有一些特殊的性质。 2. 定理若<G,>是一个群，则对任一abeG有： (1)存在唯一的元素x∈G,使a*x=b: 1102

1102 离 散 数 学 教 案 编号：C1102 课时安排： 2 学时 教学课型：理论课√ 实验课□ 习题课□ 实践课□ 其它□ 题目（教学章、节或主题）： Ch11 半群与群 §11.2 群的定义与性质 §11.3 子群 教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 1. 理解群、子群概念 2. 掌握群的有关性质 教学重点、难点： 1） 重点：群、子群定义及性质 2） 难点：群、子群定义及性质 教学方法: 利用黑板,CAI 课件等教学. 教学用具: 黑板,CAI 课件及其辅助设备. 教学内容（注明：* 重点 # 难点 ？疑点）： *一、概念（65 分钟） 1．定义 设<S ,*>是一代数系统，S 是非空集合，*为 S 上的二元运算，它满足以下四个条件时， 则称<S ,*>为群 （1）*运算是封闭的； （2） *运算是可结合的； （3）存在幺元 e； （4）S 中每一个元素均有逆元。 例 1：<I ,+>, <Z2, +2> ,<Z3, +3>等均为群（其中 Z2 ={0,1}, Z3 ={0,1,2} ），而<N ,+>,<I ,>只是含幺 半群而不是群。 2．定义 设<G ,*>是一个群，如果 G 是有限集合，则称<G ,*>为有限群，并把|G|称为群的阶数， 如果 G 为无限集合，则称<G ,*>为无限群。 例 2：<I ,+>为无限群，上例中<M ,*>为有限群，群的阶为|M| =6。 概括地说：代数系统仅仅是具有一个封闭的二元运算的非空集合； 半群是一个具有结合运算的代数系统； 独异点是具有幺元的半群； 群是每个元素都有逆元的独异点。 二、性质及运算 （25 分钟） 1． 1）群具有半群和含幺半群所具有的所有性质； 2）由于群中存在幺元，∴在群的运算表中一定没有相同的行（和列） 3）在群中，每一个元素均存在逆元，所以群相对半群和含幺半群来说有一些特殊的性质。 2．定理 若<G ,*>是一个群，则对任一 a,bG 有： （1）存在唯一的元素 x G ，使 a * x= b；

(2)存在唯一的元素y∈G,使y◆ab 3.定理若<G,*>是一个群，则对任一ab,ceG有： (1)a◆b=a*c一b=c(a是左可消去的)： (2)b◆a=c*a三b=c(a是右可消去的) 结论：在代数系统中，二元运算是可结合的，且a是可逆的，则a是可约的 此定理说明群满足消去律。 4.定理一个群<G,>中一定不存在零元。 5.定义代数系统<G,*>中，如果存在aeG,有a*a=a,则称a为等幂元。 6.定理一个群中，除了么元之外，不存在其它等幂元素。 7.定义设S是一个非空集合，从集合S到S的一个双射称为S的一个置换。 8.定理群<G,>的运算表中的每一行或每一列都是G的元素的一个置换。 9.定义设<G,>是一个群，且SCG是一个非空集合。若S,*>满足下列三个条件， 则称<S,*>是<G,>的子群： (1)e是<G.>的么元，且eeS: (保持么元) (2)对任 ,aeS一定有a-1S (保持逆元) (3)对任一abeS 一定有a*beS。 (运算的封闭性 讨论定义： (1)任一群<G,>至少可找到二个子群，即<{，>和<G,为了以示区别称此二子群为平凡子群 (2)除了平凡子群以外的子群称为的真子群。 例11.10(S11.2) 例11.11(s1.2) 三、课堂小结（约5分钟） 1103

1103 （2）存在唯一的元素 y G ，使 y * a= b。 3．定理 若<G ,* >是一个群，则对任一 a,b,cG 有： （1）a * b = a * c b = c（a 是左可消去的）； （2）b * a = c * a b = c（a 是右可消去的）。 结论：在代数系统中，二元运算是可结合的，且 a 是可逆的，则 a 是可约的。 此定理说明群满足消去律。 4．定理 一个群< G , *>中一定不存在零元。 5．定义 代数系统< G , *>中，如果存在 aG,有 a*a=a，则称 a 为等幂元。 6．定理 一个群中，除了幺元 e 之外，不存在其它等幂元素。 7．定义 设 S 是一个非空集合，从集合 S 到 S 的一个双射称为 S 的一个置换。 8．定理 群< G , *>的运算表中的每一行或每一列都是 G 的元素的一个置换。 9．定义 设<G , *>是一个群，且 SG 是一个非空集合。若<S ,* >满足下列三个条件， 则称<S ,* >是<G , *>的子群： （1）e 是<G , *>的幺元，且 eS； （保持幺元） （2）对任一 aS 一定有 a-1 S ； （保持逆元） （3）对任一 a,bS 一定有 a*bS 。 （运算的封闭性） 讨论定义： （1）任一群<G , *>至少可找到二个子群，即<{e} ,*>和<G , *> ，为了以示区别称此二子群为平凡子群； （2）除了平凡子群以外的子群称为的真子群。 例 11.10 (§11.2) 例 11.11 (§11.2) 三、课堂小结（约 5 分钟）

离散数学教案 编号：C1103 课时安排： 2学时教学课型：理论课√实验课口习题课口实践课口其它口 题目（教学章、节或主题）： Ch11半群与群 §114陪集与拉格朗日定理 8115正期子群与商群 §11.6群的同态与同构 教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 1.了解子群的陪集的概念和性质 2.基本掌握拉格朗日定理， 3.了解正规子群和商群的概念 基本掌握群的同态和同构的概念 教学重点、难点： 1)重点：子群的陪集的概念和性质 2)难点：子群的陪集的概念和性质，拉格朗日定理，正规子群和商群的概念，群的同态和同构的概念 教学方法 利用黑板，CAI课件等教学 教学用具： 黑板，CAI课件及其辅助设备。 教学内容（注明：幸重点#难点？疑点片 *一、陪集与拉格朗日定理（约25分钟） L.定义由下面的等价关系~所决定的类叫做子群H的右陪集。包含元4的右陪集用符号H来表示 a~b,当而且只当abeH的时候Iaa=geH,a~a nabicH-→(aby-ba小eH,ab→ba I.ab-lEH,beH(ab)(bc)=acEH a~b,b~c=a~c 倒1G-=0,(12.(13(23.23.（32,H=2,那么 H1)={1),(12},H13=(13),(123)},H23={(23),(132)}, 2.定理一个子群H的右陪生的个数和左陪生的个数相等：它]或者都是无限大，或者都有限并日相等 引理一个子群H与H的每一个右陪集H之间都存在一个一一映射 3.定理假定H是一个有限群G的一个子群。那么H的阶？和它在G里的指数J都能整除G的阶N, 并且N对 4. 定理3一个有限群G的任一个元a的阶”都整除G的阶 二、正规子群与商群（约25分钟） 1.定义一个群G的一个子群N叫做一个不变子群或正规子群，假如Va∈G,都有a=aN。 例1群G的子群G和{e:总是G的不变子群。 1104

1104 离 散 数 学 教 案 编号：C1103 课时安排： 2 学时 教学课型：理论课√ 实验课□ 习题课□ 实践课□ 其它□ 题目（教学章、节或主题）： Ch11 半群与群 §11.4 陪集与拉格朗日定理 §11.5 正规子群与商群 §11.6 群的同态与同构 教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 1. 了解子群的陪集的概念和性质 2. 基本掌握拉格朗日定理， 3. 了解正规子群和商群的概念 4. 基本掌握群的同态和同构的概念 教学重点、难点： 1） 重点：子群的陪集的概念和性质 2） 难点：子群的陪集的概念和性质，拉格朗日定理，正规子群和商群的概念，群的同态和同构的概念 教学方法: 利用黑板,CAI 课件等教学. 教学用具: 黑板,CAI 课件及其辅助设备. 教学内容（注明：* 重点 # 难点 ？疑点）： *一、陪集与拉格朗日定理（约 25 分钟） 1. 定义 由下面的等价关系 所决定的类叫做子群 H 的右陪集。包含元 的右陪集用符号 H 来表示。 ，当而且只当 的时候 I. ， II. ， III. ， ， 例 1 G= ={(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，H＝{(1)，(12)}，那么 H(1)={(1)，(12)}， H(13)={(13)，(123)}， H(23)={(23)，(132)}， 2．定理 一个子群 H 的右陪集的个数和左陪集的个数相等：它们或者都是无限大，或者都有限并且相等。 引理 一个子群 H 与 H 的每一个右陪集 H 之间都存在一个一一映射。 3．定理 假定 H 是一个有限群 G 的一个子群。那么 H 的阶 和它在 G 里的指数 都能整除 G 的阶 N， 并且 N= 4． 定理 3 一个有限群 G 的任一个元 的阶 都整除 G 的阶。 二、正规子群与商群（约 25 分钟） 1． 定义 一个群 G 的一个子群 N 叫做一个不变子群(或正规子群)，假如 ，都有 。 例 1 群 G 的子群 G 和{e}总是 G 的不变子群

例2一个交换群G的每一个子群H都是不变子群。 例3G=。那么，N),(123),(132是一个不变子群 2.定理一个群G的一个子群N是一个不变子群的充分而且必要条件是 aNa1=N对于G的任意一个元a都对。 3. 定理一个群G的一个子群N是一个不变子群的充分而且必要条件是：a∈G,∈N→anaeN 4 定理一个不变子群的陪集对于上边规定的乘法来说作成一个群 5.定义一个群G的一个不变子群N的陪集所作成的群叫做一个商群。这个群我们用符号G/N来表示 三、群的同态与同构（约35分钟） 1.定义设S1,*>和<S2,>是半群，函数行S1→S2.若abS1,有fa*bf间h间， 则称f是<S1,来>到S2,>的半群同态。若是双射，则称r为半群同构。 2.定义设S1,*>和<S2,>是群，函数S1→S2时同态映射，S1价x∈S1叫f的同态像。 Ker(0){Nx∈S1且fxe'}叫同态映射f的核。 3.定义设S1,*>和<S2,>是群，函数后S1→S2。若a,bES1,有fa*bFf回·fb.则 称是<S1,*>到<S2,>的群同态。若f是双射，则称r为群同构。 4.定义设<S1,*>和<S2,·>是群，函数fS1→S2时同态映射，S1=x∈S1)叫f的同态像 Ker(-{Nx∈S且fx-e')叫同态映射f的核 四、课堂小结（约5分钟） 1105

1105 例 2 一个交换群 G 的每一个子群 H 都是不变子群。 例 3 G= 。那么，N={(1)，(123)，(132)}是一个不变子群。 2． 定理 一个群 G 的一个子群 N 是一个不变子群的充分而且必要条件是： 对于 G 的任意一个元 都对。 3． 定理 一个群 G 的一个子群 N 是一个不变子群的充分而且必要条件是： 4． 定理 一个不变子群的陪集对于上边规定的乘法来说作成一个群。 5。定义 一个群 G 的一个不变子群 N 的陪集所作成的群叫做一个商群。这个群我们用符号 来表示。 三、群的同态与同构（约 35 分钟） 1．定义 设<S1， >和<S2，• >是半群，函数 f：S1 → S2。若  a，b∈S1，有 f (a  b)= f (a) • h (b)， 则称 f 是<S1， >到<S2，• >的半群同态。若 f 是双射，则称 f 为半群同构。 2．定义设<S1， >和<S2，• >是群，函数 f：S1 → S2 时同态映射，f(S1)={f(x)|x∈S1}叫 f 的同态像， Ker(f)={x| x∈S1 且 f(x)= e  } 叫同态映射 f 的核。 3．定义 设<S1， >和<S2，• >是群，函数 f：S1 → S2。若  a，b∈S1，有 f (a  b)= f (a) • f (b)，则 称 f 是<S1， >到<S2，• >的群同态。若 f 是双射，则称 f 为群同构。 4．定义 设<S1， >和<S2，• >是群，函数 f：S1 → S2 时同态映射，f(S1)={f(x)|x∈S1}叫 f 的同态像， Ker(f)={x| x∈S1 且 f(x)= e  } 叫同态映射 f 的核。 四、课堂小结（约 5 分钟）