《数学分析》教学大纲 课程类别:学科基础 课程性质:必修 英文名称: Mathematical Analysis 总学时:288学时 学分:18学分 先修课程:无 适用专业:数学与应用数学、信息与计算科学 开课单位:信息工程学院 课程简介 数学分析课程是高等院校数学各类专业主干课程之一,也是数学与应用数学 专业、信息与计算科学专业的一门重要的学科基础课。本课程内容不但对许多后 继课程有直接影响,而且对于培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力以及分析 问题与解决问题的能力起到重要的作用。此外通过这门课程的学习与深化,也将 会促进学生进行初步科研工作的开展。本课程的主要任务是使学生掌握极限理 论、一元函数微分学与积分学、无穷级数、多元函数微分学与积分学等方面的系 统知识,为进一步学习后继课程打好坚实的基础。 、教学内容及基本要求 第一章:实数集与函数 (8学时) 教学内容: 1.1实数 1.2数集·确界原理 1.3函数概念 1.4具有某些特性的函数 教学要求 1.掌握实数的概念及其性质。 2.理解数集与邻域的概念,掌握有界集及确界的定义和确界原理。 3.理解函数的概念,掌握函数的表示法及其有界性、单调性、周期性和奇 偶性 掌握基本初等函数的性质和图形,理解分段函数、反函数、复合函数和 隐函数的概念。 授课方式:讲授+讨论+测验 第二章:数列极限 (14学时) 教学内容: 2.1数列极限概念 2.2收敛数列的性质 2.3数列极限存在的条件 教学要求: 1.掌握数列的定义 2.理解收敛数列以及极限的ε-N定义,并会根据定义判断数列是否收敛 3.熟练掌握收敛数列的基本性质,会用迫敛性定理判定数列是否收敛 4.掌握收敛数列的四则运算法则,能熟练运用该法则计算数列的极限。 5.掌握数列极限存在的两个重要的准则(单调有界定理和柯西收敛准则)
6 《数学分析》教学大纲 课程类别：学科基础 课程性质：必修 英文名称：Mathematical Analysis 总 学 时：288 学时 学 分：18 学分 先修课程：无 适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学 开课单位：信息工程学院 一、课程简介 数学分析课程是高等院校数学各类专业主干课程之一，也是数学与应用数学 专业、信息与计算科学专业的一门重要的学科基础课。本课程内容不但对许多后 继课程有直接影响，而且对于培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力以及分析 问题与解决问题的能力起到重要的作用。此外通过这门课程的学习与深化，也将 会促进学生进行初步科研工作的开展。本课程的主要任务是使学生掌握极限理 论、一元函数微分学与积分学、无穷级数、多元函数微分学与积分学等方面的系 统知识，为进一步学习后继课程打好坚实的基础。 二、教学内容及基本要求 第一章：实数集与函数 （8 学时） 教学内容： 1.1 实数 1.2 数集·确界原理 1.3 函数概念 1.4 具有某些特性的函数 教学要求： 1. 掌握实数的概念及其性质。 2. 理解数集与邻域的概念，掌握有界集及确界的定义和确界原理。 3. 理解函数的概念，掌握函数的表示法及其有界性、单调性、周期性和奇 偶性。 4. 掌握基本初等函数的性质和图形，理解分段函数、反函数、复合函数和 隐函数的概念。 授课方式： 讲授+讨论＋测验 第二章：数列极限 （14 学时） 教学内容： 2.1 数列极限概念 2.2 收敛数列的性质 2.3 数列极限存在的条件 教学要求： 1. 掌握数列的定义。 2. 理解收敛数列以及极限的 − N 定义，并会根据定义判断数列是否收敛。 3. 熟练掌握收敛数列的基本性质，会用迫敛性定理判定数列是否收敛。 4. 掌握收敛数列的四则运算法则，能熟练运用该法则计算数列的极限。 5. 掌握数列极限存在的两个重要的准则（单调有界定理和柯西收敛准则）
并且会用这两个准则去判断数列是否收敛。 授课方式:讲授+讨论+测验 第三章:函数极限 (18学时) 教学内容: 3.1函数极限概念 3.2函数极限的性质 3函数极限存在的条件 4两个重要的极限 3.5无穷小量和无穷大量 教学要求 1.熟悉掌握函数极限的E-δ定义,注意区别当x→>∞或x→>x0时函数的 极限,以及单侧极限定义的异同。 2.掌握函数极限的各种性质,会利用这些性质计算或证明函数极限。 3.了解函数极限存在的两个重要的准则(单调有界准则和柯西准则),并 且会用两个重要极限求极限。 4.了解无穷小量和无穷大量的概念,会用函数极限讨论曲线的渐近线问 授课方式:讲授+讨论十测验 第四章:函数的连续性 (12学时) 教学内容: 4.1连续性概念 4.2连续函数的性质 4.3初等函数的连续性 教学要求: 1.理解函数在一点连续的概念(包括左连续与右连续)。 2.掌握函数间断点的定义及分类。 3.熟悉连续函数的局部性质(包括局部有界性,局部保号性),以及复合函 数的连续性等。 4.熟练掌握闭区间上连续函数的一些重要性质(介值定理与最值定理)。 5.理解一致连续的概念,并掌握一致连续定理。 6.熟练掌握初等函数的连续性及相关性质。 授课方式:讲授+讨论+测验 第五章:导数和微分 (16学时) 教学内容 5.1导数的概念 5.2求导法则 5.3参变量函数的导数 5.4高阶导数 5.5微分 教学要求 1.理解导数的概念,明了导数的几何意义。 能够建立平面曲线的切线与法线方程 3.熟练掌握导数四则运算法则和复合函数求导法则,熟记基本初等函数的
7 并且会用这两个准则去判断数列是否收敛。 授课方式： 讲授+讨论＋测验 第三章：函数极限 （18 学时） 教学内容： 3.1 函数极限概念 3.2 函数极限的性质 3.3 函数极限存在的条件 3.4 两个重要的极限 3.5 无穷小量和无穷大量 教学要求： 1. 熟悉掌握函数极限的 − 定义，注意区别当 x → 或 0 x → x 时函数的 极限，以及单侧极限定义的异同。 2. 掌握函数极限的各种性质，会利用这些性质计算或证明函数极限。 3. 了解函数极限存在的两个重要的准则（单调有界准则和柯西准则），并 且会用两个重要极限求极限。 4. 了解无穷小量和无穷大量的概念，会用函数极限讨论曲线的渐近线问 题。 授课方式：讲授+讨论＋测验 第四章：函数的连续性 （12 学时） 教学内容： 4.1 连续性概念 4.2 连续函数的性质 4.3 初等函数的连续性 教学要求： 1. 理解函数在一点连续的概念（包括左连续与右连续）。 2. 掌握函数间断点的定义及分类。 3. 熟悉连续函数的局部性质（包括局部有界性，局部保号性），以及复合函 数的连续性等。 4. 熟练掌握闭区间上连续函数的一些重要性质（介值定理与最值定理）。 5. 理解一致连续的概念，并掌握一致连续定理。 6. 熟练掌握初等函数的连续性及相关性质。 授课方式： 讲授+讨论＋测验 第五章：导数和微分 （16 学时） 教学内容： 5.1 导数的概念 5.2 求导法则 5.3 参变量函数的导数 5.4 高阶导数 5.5 微分 教学要求： 1. 理解导数的概念，明了导数的几何意义。 2. 能够建立平面曲线的切线与法线方程。 3. 熟练掌握导数四则运算法则和复合函数求导法则，熟记基本初等函数的
导数公式,会求反函数的导数。 4.会求含参变量方程所确定的函数的导数。 5.了解高阶导数的概念,会求简单函数的n阶导数 6.理解微分的概念,明了微分与导数之间的关系。 7.掌握微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,了解微分在近似计 算中的应用。 授课方式:讲授+讨论十测验 第六章:微分中值定理及其应用 (18学时) 教学内容 6.1罗尔定理、拉格朗日定理,以及函数的单调性。 6.2罗柯西中值定理,以及不定式极限的求法。 6.3函数的泰勒公式与麦克劳林公式。 6.4函数的极值与最大(小)值 6.5函数的凸性和拐点 6.6函数图像的讨论 教学要求: 1.理解与掌握罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,了解它们的 几何意义,并会应用这些定理进行推理和证明问题 2.掌握导数与函数单调性的关系,会应用导数判断函数的单调性。 3.能熟练应用洛必达法则求不定式的极限。 4.理解函数极值的概念,会用导数求函数的极值。 会判断函数的凸凹性及拐点,会求函数图像的渐近线,并能描绘一些简 单函数的图形 6.了解求方程近似解的牛顿切线法。 授课方式:讲授+讨论十测验 第七章:实数的完备性 (10学时) 教学内容 7.1关于实数集完备性的基本定理 7.2闭区间上连续函数性质的证明 教学要求: 1.掌握实数完备性基本定理的内容。 2.了解闭区间连续函数性质的证明 授课方式:讲授+讨论十测验 第八章:不定积分 (12学时) 教学内容 8.1不定积分概念与基本积分公式 8.2换元积分法与分部积分法 8.3有理函数和可化为有理函数的不定积分 教学要求 1.理解不定积分的概念与性质 2.熟悉不定积分的基本公式 3.熟练掌握不定积分的换元积分法和分部积分法 4.掌握较简单的有理函数的积分。 授课方式:讲授+讨论+测验
8 导数公式，会求反函数的导数。 4. 会求含参变量方程所确定的函数的导数。 5. 了解高阶导数的概念，会求简单函数的 n 阶导数。 6. 理解微分的概念，明了微分与导数之间的关系。 7. 掌握微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，了解微分在近似计 算中的应用。 授课方式：讲授+讨论＋测验 第六章：微分中值定理及其应用 （18 学时） 教学内容： 6.1 罗尔定理、拉格朗日定理，以及函数的单调性。 6.2 罗柯西中值定理，以及不定式极限的求法。 6.3 函数的泰勒公式与麦克劳林公式。 6.4 函数的极值与最大（小）值 6.5 函数的凸性和拐点 6.6 函数图像的讨论 教学要求： 1. 理解与掌握罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，了解它们的 几何意义，并会应用这些定理进行推理和证明问题。 2. 掌握导数与函数单调性的关系，会应用导数判断函数的单调性。 3. 能熟练应用洛必达法则求不定式的极限。 4. 理解函数极值的概念，会用导数求函数的极值。 5. 会判断函数的凸凹性及拐点，会求函数图像的渐近线，并能描绘一些简 单函数的图形。 6. 了解求方程近似解的牛顿切线法。 授课方式：讲授+讨论＋测验 第七章：实数的完备性 （10 学时） 教学内容： 7.1 关于实数集完备性的基本定理 7.2 闭区间上连续函数性质的证明 教学要求： 1. 掌握实数完备性基本定理的内容。 2. 了解闭区间连续函数性质的证明。 授课方式：讲授+讨论＋测验 第八章：不定积分 （12 学时） 教学内容： 8.1 不定积分概念与基本积分公式 8.2 换元积分法与分部积分法 8.3 有理函数和可化为有理函数的不定积分 教学要求： 1. 理解不定积分的概念与性质。 2. 熟悉不定积分的基本公式。 3. 熟练掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。 4. 掌握较简单的有理函数的积分。 授课方式： 讲授+讨论＋测验
第九章:定积分 (18学时) 教学内容 9.1定积分的概念 9.2牛顿一莱布尼茨公式 9.3可积条件 9.4定积分的性质 9.5微积分学基本定理定积分计算(续) 教学要求: 1.理解定积分的定义及几何意义。 2.掌握函数f(x)在区间ab上可积的条件及可积函数类。 3.熟练掌握定积分的性质,以及定积分中值定理。 4.理解变限积分的定义及原函数存在定理。 5.理解定积分与不定积分的区别与联系。 6.会用牛顿一莱布尼茨公式、换元积分法和分部积分法计算定积分,同时 掌握证明定积分问题的一些方法。 7.了解上和与下和的性质,理解函数可积的第一、第二、第三充要条件。 授课方式:讲授+讨论十测验 第十章:定积分的应用 (12学时) 教学内容: 10.1平面图形的面积 10.2由平行截面面积求体积 10.3平面曲线的弧长与曲率 10.4旋转曲面的面积 10.5定积分在物理中的某些应用 教学要求 1.会利用定积分求平面图形的面积、求已知平行截面面积的立体以及旋转 体的体积。 2.理解平面曲线的弧长及曲率的概念,会用定积分求曲线的弧长 3熟练掌握处理定积分应用问题的微元法,会用微元法计算平面图形面积 立体体积、以及曲线弧长和旋转曲面的面积。 4.会用定积分的微元法求液体压力、细杆对质点的引力与功等物理问题。 *5.了解计算定积分的近似方法:梯形法和抛物线法 授课方式:讲授+讨论+测验 第十一章:反常积分 (10学时) 教学内容: 11.1反常积分概念 11.2无穷积分的性质与收敛判别法 11.3瑕积分的性质与收敛判别法 教学要求 1.理解反常积分的概念,掌握无穷限积分和无界函数积分的定义。 2.掌握反常积分绝对收敛和条件收敛的概念。 3.熟练掌握无穷限积分的性质,会利用比较判别法、狄利克雷判别法及阿 贝尔判别法判断无穷限积分是否收敛
9 第九章：定积分 （18 学时） 教学内容： 9.1 定积分的概念 9.2 牛顿—莱布尼茨公式 9.3 可积条件 9.4 定积分的性质 9.5 微积分学基本定理定积分计算（续） 教学要求： 1. 理解定积分的定义及几何意义。 2. 掌握函数 f x( ) 在区间 [ , ] a b 上可积的条件及可积函数类。 3. 熟练掌握定积分的性质，以及定积分中值定理。 4. 理解变限积分的定义及原函数存在定理。 5. 理解定积分与不定积分的区别与联系。 6. 会用牛顿--莱布尼茨公式、换元积分法和分部积分法计算定积分，同时 掌握证明定积分问题的一些方法。 7. 了解上和与下和的性质，理解函数可积的第一、第二、第三充要条件。 授课方式： 讲授+讨论＋测验 第十章：定积分的应用 （12 学时） 教学内容： 10.1 平面图形的面积 10.2 由平行截面面积求体积 10.3 平面曲线的弧长与曲率 10.4 旋转曲面的面积 10.5 定积分在物理中的某些应用 教学要求： 1. 会利用定积分求平面图形的面积、求已知平行截面面积的立体以及旋转 体的体积。 2. 理解平面曲线的弧长及曲率的概念，会用定积分求曲线的弧长。 3 熟练掌握处理定积分应用问题的微元法，会用微元法计算平面图形面积、 立体体积、以及曲线弧长和旋转曲面的面积。 4. 会用定积分的微元法求液体压力、细杆对质点的引力与功等物理问题。 *5. 了解计算定积分的近似方法：梯形法和抛物线法。 授课方式： 讲授+讨论＋测验 第十一章：反常积分 （10 学时） 教学内容： 11.1 反常积分概念 11.2 无穷积分的性质与收敛判别法 11.3 瑕积分的性质与收敛判别法 教学要求： 1. 理解反常积分的概念，掌握无穷限积分和无界函数积分的定义。 2. 掌握反常积分绝对收敛和条件收敛的概念。 3. 熟练掌握无穷限积分的性质，会利用比较判别法、狄利克雷判别法及阿 贝尔判别法判断无穷限积分是否收敛
4.熟练掌握瑕积分的性质,能利用瑕积分的比较判别法判别瑕积分是否收 敛。 授课方式:讲授+讨论+测验 第十二章:数项级数 (10学时) 教学内容 2.1级数的收敛性 12.2正项级数 12.3一般项级数 教学要求: 1.掌握数项级数(无穷级数)的概念,理解通项、部分和、级数收敛与发 散等数项级数相关概念。 2.理解级数与数列之间的区别与联系,掌握级数收敛的柯西准则及收敛级 数的基本性质 3.掌握判断正项级数收敛的比较原则、达朗贝尔判别法和柯西判别法,了 解积分判别法和拉贝判别法。 4.掌握交错级数的定义及判断交错级数收敛性的莱布尼茨判别法。 5.理解级数绝对收敛和条件收敛的概念,掌握绝对收敛的性质(重排和乘 积)。 6.理解级数收敛、绝对收敛和条件收敛之间的区别与联系。 7.熟练掌握判断一般项级数收敛性的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法,会 用它们判断级数是否收敛。 授课方式:讲授+讨论+测验 第十三章:函数列与函数项级数 (10学时) 教学内容 13.1一致收敛性 13.2一致收敛函数列与函数项级数的性质 教学要求: 1.掌握函数列及其收敛域的定义,理解函数列一致收敛的概念。 2.理解函数列一致收敛的柯西准则及函数列一致收敛的充要条件。 3.熟练掌握函数项级数的定义,理解函数项级数一致收敛的概念及柯西准 则 4.会用魏尔斯特拉斯判别法、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法判断函数项 级数的一致收敛性。 5.熟练掌握一致收敛数列的基本性质:求极限次序可交换性、连续性、可 积性、可微性等性质 6.熟练掌握一致收敛的函数项级数的连续性、逐项求积分、逐项求导的性 授课方式:讲授+讨论+测验 第十四章:幂级数 (10学时) 教学内容 14.1幂级数 14.2函数的幂级数展开 教学要求 1.掌握幂级数及其收敛半径、收敛区间的定义,会求幂级数的收敛半径
10 4. 熟练掌握瑕积分的性质，能利用瑕积分的比较判别法判别瑕积分是否收 敛。 授课方式： 讲授+讨论＋测验 第十二章：数项级数 （10 学时） 教学内容： 12.1 级数的收敛性 12.2 正项级数 12.3 一般项级数 教学要求： 1. 掌握数项级数（无穷级数）的概念，理解通项、部分和、级数收敛与发 散等数项级数相关概念。 2. 理解级数与数列之间的区别与联系，掌握级数收敛的柯西准则及收敛级 数的基本性质。 3. 掌握判断正项级数收敛的比较原则、达朗贝尔判别法和柯西判别法，了 解积分判别法和拉贝判别法。 4. 掌握交错级数的定义及判断交错级数收敛性的莱布尼茨判别法。 5. 理解级数绝对收敛和条件收敛的概念，掌握绝对收敛的性质（重排和乘 积）。 6. 理解级数收敛、绝对收敛和条件收敛之间的区别与联系。 7. 熟练掌握判断一般项级数收敛性的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法，会 用它们判断级数是否收敛。 授课方式： 讲授+讨论＋测验 第十三章：函数列与函数项级数 （10 学时） 教学内容： 13.1 一致收敛性 13.2 一致收敛函数列与函数项级数的性质 教学要求： 1. 掌握函数列及其收敛域的定义，理解函数列一致收敛的概念。 2. 理解函数列一致收敛的柯西准则及函数列一致收敛的充要条件。 3. 熟练掌握函数项级数的定义，理解函数项级数一致收敛的概念及柯西准 则。 4. 会用魏尔斯特拉斯判别法、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法判断函数项 级数的一致收敛性。 5. 熟练掌握一致收敛数列的基本性质：求极限次序可交换性、连续性、可 积性、可微性等性质。 6. 熟练掌握一致收敛的函数项级数的连续性、逐项求积分、逐项求导的性 质。 授课方式： 讲授+讨论＋测验 第十四章：幂级数 （10 学时） 教学内容： 14.1 幂级数 14.2 函数的幂级数展开 教学要求： 1. 掌握幂级数及其收敛半径、收敛区间的定义，会求幂级数的收敛半径