高等数学公式（参考资料）

中国教育在线·成人高考频道http://chengkao.eol.cn) 高等数学公式 导数公式 (gx)=sec x (arcsin x) (csc x)=-cScxctgx (a)=a In (log x)= In a (arcctgx= 1+x 基本积分表: tgrdx=-In/cos x +C dx= tgx+C In/sin x +C dx xdx=-ctgx+C sec xdx= hn secx+tgx+C sin x secx·lgxx=secx+C csc xdx= In/csc x-ctgx+C ctod dx a +c 2 shxdx= chx+C In x22 j∫j chxdx= sh h(x+√x2±a2)+C n-1 x +a dx +a2+mn(x+√x2+a2)+C dh x arcsin -+C 三角函数的有理式积分: 2 edu sInx= cOSx= =tg 1+u

中国教育在线·成人高考频道(http://chengkao.eol.cn) 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 2 2 2 1 2 1 2 1 cos 1 2 sin u du dx x u t g u u x u u x + = = + − = + = ， ， ， x a x a a a x x ctgx x x tgx ctgx x tgx x a x x ln 1 (log ) ( ) ln (csc ) csc (sec ) sec ( ) csc ( ) sec 2 2  =  =  = −   =   = −  = 2 2 2 2 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 1 (arccos ) 1 1 (arcsin ) x arcctgx x arctgx x x x x +  = − +  = −  = − −  =           = +  +  = + = + = +  = − +  = + = = − + = = + x x a C x a dx chxdx shx C shxdx chx C C a a a dx x ctgxdx x C x tgxdx x C xdx ctgx C x dx xdx tgx C x dx x x ln( ) ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x a x dx C a x a x a x a dx C x a x a x a a dx C a x arctg a x a dx xdx x ctgx C xdx x tgx C ctgxdx x C tgxdx x C = + − + − + = − + + − = − = + + = − + = + + = + = − +         arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csc ln csc sec ln sec ln sin ln cos 2 2 2 2 2 2 2 2      − = − + + − = − − + − + + = + + + + + − = = = − C a a x a x x a x dx x x a C a x a x x a dx x x a C a x a x x a dx I n n I xdx xdx n n n n arcsin 2 2 ln 2 2 ln( ) 2 2 1 sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0  

中国教育在线·成人高考频道http://chengkao.eol.cn) 些初等函数: 两个重要极限 sIn x 双曲正弦:shx= 双曲余弦:chx= im(1+-)=e=2.718281828459045 2 双曲正切;hx=sx=e-e Shx=hx+√x2+1) arch=±(x+√x2-1) arthr I 三角函数公式 诱导公式 sin cos tg ctg 角 90°+a 180% -cosa-tg 180+a -sina -cosa tga ctga 270°-a 270+a-cosa sina --tga 3600-a-sina cosa --ctga 360+a sina cosa tga ctga 和差角公式: 和差化积公式: sin(a+B)=sin a cos Bt cos a sinp sin a+sin B=2si&+Bos a-B cos(atB)=cos a cos B +sin asn B a+B. a-B tgc±t sin a-sin B=2cos g(a±B +B a-B clg(a±B cga·ctgB1 cosa+cos B=2cos cgB±cga cosa-cos B=2sin +B. a-B

中国教育在线·成人高考频道(http://chengkao.eol.cn) 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： 函数 角 A sin cos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90°-α cosα sinα ctgα tgα 90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα 180°-α sinα -cosα -tgα -ctgα 180°+α -sinα -cosα tgα ctgα 270°-α -cosα -sinα ctgα tgα 270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα 360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360°+α sinα cosα tgα ctgα ·和差角公式： ·和差化积公式： 2 sin 2 cos cos 2sin 2 cos 2 cos cos 2cos 2 sin 2 sin sin 2cos 2 cos 2 sin sin 2sin                         + − − = + − + = + − − = + − + =                         ctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg    =    =  =  =  1 ( ) 1 ( ) cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin    x x arthx archx x x arshx x x e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x − + = =  + − = + + + − = = + = − = − − − − 1 1 ln 2 1 ln( 1) ln( 1 : 2 : 2 : 2 2 ） 双曲正切 双曲余弦 双曲正弦 ) 2.718281828459045... 1 lim (1 1 sin lim 0 + = = = → → e x x x x x x

中国教育在线·成人高考频道http://chengkao.eol.cn) 倍角公式 n 20=2 sin a cos a cos 2a=2 cos2a-1=1-2sin 2a= cos a sin 3a=3sn a-4sin'a ctga- ctga tg3 3iga-tga 2t 1-3g 1-1ga 半角公式 2/-cosa 1+cosa 182V1+cosa sin a 1+cosa s =+ I-cosa 1-cosa sin a 1+cosa 1+cosa cosa sin a 1-cosa 正弦定理 b 一=2R 余弦定理:c2=a2+b2-2 ab cosc A C 反三角函数性质: arcsin x=2- arccos x arctgx=--arcctga 高阶导数公式—莱布尼兹( Leibniz)公式: un)y+nu( -v'+ n(n-1) n(n-1)…(n-k+1),(m-k),、k 中值定理与导数应用: 拉格朗日中值定理:f(b)-f(a)=f(b-a) 柯西中值定理: f(b)-f(a)f(2) F(b)-F(a)F(5) 当F(x)=x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理 曲率 弧微分公式:d=√l+y2ax,其中y=1ga 平均曲率;=AAa:从M点到M点,切线斜率的倾角变化量:As:M弧长 M点的曲率:K=ln 直线:K=0 半径为a的圆:K

中国教育在线·成人高考频道(http://chengkao.eol.cn) ·倍角公式： ·半角公式：                   1 cos sin sin 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 2 sin sin 1 cos 1 cos 1 cos 2 2 1 cos 2 cos 2 1 cos 2 sin − = + = − + =  + = − = + − =  + =  − =  t g ctg ·正弦定理： R C c B b A a 2 sin sin sin = = = ·余弦定理： c a b 2abcosC 2 2 2 = + − ·反三角函数性质： x = − x arctgx = − arcctgx 2 arccos 2 arcsin   高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式： ( ) ( 1) ( 2) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) ( ) n n n n k k n n k k n k k n n u v uv k n n n k u v n n u v nu v uv C u v + + − − +  + + − = +  + = − − − = −     中值定理与导数应用： 当 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。 柯西中值定理： 拉格朗日中值定理： x x F f F b F a f b f a f b f a f b a =   = − − − =  − F( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )    曲率： . 1 0; . (1 ) M lim . : M M s 1 , 0 2 3 2 a a K K y y ds d s K MM s K ds y dx y t g s = = +   = =   =       = = +   =  → 半径为 的圆： 直线： 点的曲率： 平均曲率： 从 点到 点，切线斜率的倾角变化量； ： 弧长。 弧微分公式： 其中                2 3 3 3 1 3 3 3 cos3 4cos 3cos sin 3 3sin 4sin tg tg tg tg − − = = − = −               2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 cos 2 2cos 1 1 2sin cos sin sin 2 2sin cos t g t g t g ctg ctg ctg − = − = = − = − = − =

中国教育在线·成人高考频道http://chengkao.eol.cn) 定积分的近似计算 b 矩形法:「(x)≈=(y0+y1+…+yn) n 梯形法:」fx) n2(yo+yn)++…+ym1 抛物线法(x)=(y+y)+2(2+y+…+y”)+4+y+…+ym 定积分应用相关公式: W=F·s 水压力:F=pA 引力:F=km厘m2,k为引力系数 函数的平均值:y= b-auv(a)dx 均方根:f( 空间解析几何和向量代数: 空间2点的距离:d=M1M1=x2-x)2+(2-y)+(2-=1)2 向量在轴上的投影PAB= Bcos p,0是AB与轴的夹角。 Prj, (a,+a2)=Pr ja,+Pr ja ab=l4bos=ab+a,b,+ab2,是一个数量 ta 两向量之间的夹角:cos= a2+an2+a2.b2+b2+b2 c=a×b=,a,a同=园下m例:线速度:下=师x 向量的混合积=(6=b,b2x6a为锐角时, 代表平行六面体的体积

中国教育在线·成人高考频道(http://chengkao.eol.cn) 定积分的近似计算：    − − − − + + + + + + + + + −  + + + + −  + + + −  b a n n n b a n n b a n y y y y y y y y n b a f x y y y y n b a f x y y y n b a f x [( ) 2( ) 4( )] 3 ( ) ( ) ] 2 1 ( ) [ ( ) ( ) 0 2 4 2 1 3 1 0 1 1 0 1 1     抛物线法： 梯形法： 矩形法： 定积分应用相关公式：   − − = = =  =  b a b a f t dt b a f x dx b a y k r m m F k F p A W F s ( ) 1 ( ) 1 , 2 2 1 2 均方根： 函数的平均值： 引力： 为引力系数 水压力： 功： 空间解析几何和向量代数： 代表平行六面体的体积。 向量的混合积： 为锐角时， 例：线速度： 两向量之间的夹角： 是一个数量 向量在轴上的投影： 是 与 轴的夹角。 空间 点的距离：        [ ] ( ) cos , , sin . . cos cos , , Pr ( ) Pr Pr Pr cos , 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 a b c c c c b b b a a a abc a b c c a b v w r b b b a a a i j k c a b a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b j a a ja ja j AB AB AB u d M M x x y y z z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x x y y z z x x y y z z u u                           =   = =   =  = =  =  + +  + + + + =  =  = + + + = + =  = = − + − + −

中国教育在线·成人高考频道http://chengkao.eol.cn) 平面的方程: 1、点法式:A(x-x0)+B(y-y0)+C(-=0)=0,其中n={A,BC},M0(xn,y0,二0) 2、一般方程:Ax+By+Cz+D=0 3、截距世方程:x++三=1 平面外任意一点到该平面的距离:d Ax+ Byo +C=o+ A- +B+C Mo 空间直线的方程 x-xo y-yo 2-20 b,其中=m,nP;参数方程y=+m 次曲面 、椭球面:x+22 2、抛物面:x+y2 F(pq同号) 3、双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面:x2+=马鞍面 多元函数微分法及应用 全微分:d=-dx+d dx+一dy+-d 全微分的近似计算:△xc=f,(x,y)Ax+J,(x,y)Ay 多元复合函数的求导法: 二=f[(),v(t) dz dt au at ay ar 二=f[(x,y),w(x,y) ax au ax av ax 当u=u(x,y),v=v(x,y)时 dy dv=dx+dy 隐函数的求导公式: d2ya,Fx、0,F3、d 隐函数F(xy)=0,d一,在aF,F dx F 隐函数F(xy,2)=0,=-上, F

中国教育在线·成人高考频道(http://chengkao.eol.cn) 双叶双曲面： （马鞍面） 单叶双曲面： 、双曲面： 、抛物面： （ 同号） 、椭球面： 二次曲面： 空间直线的方程： 其中 参数方程： 平面外任意一点到该平面的距离： 、截距世方程： 、一般方程： 、点法式： ，其中 平面的方程： 1 1 3 , , 2 2 2 1 1 , { , , }; 3 1 2 0 1 ( ) ( ) ( ) 0 { , , }, ( , , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − + = + − = + = + + =      = + = + = + = = − = − = − + + + + + = + + = + + + = − + − + − = = c z b y a x c z b y a x z p q q y p x c z b y a x z z pt y y nt x x m t t s m n p p z z n y y m x x A B C Ax By C z D d c z b y a x Ax By C z D A x x B y y C z z n A B C M x y z   多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x x y F F y z F F x z F x y z dx dy F F F y F dx x d y F F dx dy F x y dy y v dx x v dy dv y u dx x u du u u x y v v x y x v v z x u u z x z z f u x y v x y t v v z t u u z dt dz z f u t v t z dz f x y x f x y y dz z u dy y u dx x u dy du y z dx x z dz = −   = −   = −    −   = = − =   +   =   +   = = =      +      =   =      +      = =   =  +    +   +   =   +   = 隐函数 ， ， 隐函数 ， ， ＋ 隐函数的求导公式： 当 ， 时， 多元复合函数的求导法： 全微分的近似计算： 全微分： ( , , ) 0 ( , ) 0 ( ) ( ) ( , ) ( , ) [ ( , ), ( , )] [ ( ), ( )] ( , ) ( , ) 2 2