24第二章玻耳曼分布、最可几分布和平衡分布54.微观状态数最大的分布和玻耳兹曼分布对一个状态参数E，V和N确定的体系来说，总微观状态数等于各个分布的微观状态数的总和，即Q(E, V, N) =>IN.在体系的各个分布中，有的分布的微观状态数大，有的就比较小那末，哪个分布或哪一套能级分布数n1，n2，··"，ni·輪出的微观状态数为最大？回答这个間题的关键在于如何得出一套能级分布数ni,n2sni,它将使函数c(ni,n2,..., nj,..)= N!Ii-或 II7成为极大，而这一套能极分布数还必须满足下面两个守恒条件：Znj=NEnjej = E解决这个間题的方法，在数学中早已有了储备，这个方法就是拉格朗日（Lagrange）未定乘数法，我就要对这个方法有所介貂，此外，我例也已与大的整数N和n的阶乘N！和n！打交道了，为此，我們在这里也要交待一下求算阶乘N！和n！等的斯透林（Stirling）公式，在未定乘数法和斯透林公式的基础上，我們将求算微观状态数最大的分布的能毅分布数4-1.拉格期未定乘数法和斯透林公式設有一个多变数的函数f f(x1, x2, ***, xn)其中*1，*2，，*，为独立变数，现在要求算当f为极值时变数
2554.微艰状态数最大的分布和玻耳慈曼分布"1，“2，·，*当朵取怎样的数值大家知道，当函数f在它的极值上时，由独立变数*1，*2，的独立微变8，8x，..·，8x所引起的函数f的微变为=0，而f8xmof-8x+of8x+8f(x1, x2,*.,xn) OxnOx10x2从而得出af8x1 +af82+f 8%= 0Or0x2Ox.式中8x1，8x2，·，8x为独立的微变．这个表达函数于正在它极值上的条件可以給出下面n个方程：f = f(±1, *2, *, *) 0Ox1 - f(, *, , *) - 00x2α = fh(x1, *2, ** *) = 0Ox而从这n个方程中，所得的，x···，*，的值，即为能使函数f取极值的变数值現在可以介超未定乘数法了設有一个多变数函数f =f(x1, x2,***, xn),当其中的变数满足附加条件g(x1,*2,.*,xn)=0时，那末这些变数应朵取怎样的值，才能使函数，朵取极值呢？现設这样的变数值为，，·，现在我們可以从保证变数值1，z，，"，满足附加条件方程g(x1,x2,..,x)-0来入手，我們要求算的变数值，，，须在能满足附加条
26第二章玻耳萃受分布、最可几分布和平衡分布件的一套套变数的范围内考虑和选拔，而在这个范围内，变数值既要满足g(x1, x2, ., xn) 0而变数的微变81，8x3，.：，8x，也必满足2 81 + 882 + :og8x,=08g(x1, x2,,n) OxOxzax,这样，从一套变数值連横地过渡到另一套变数值时，也就不至于越出这个范围了，即保证g(x1+8x1,x2+8x2,**,xn+8x)=g+8g=0那末我們又怎样在这个范围内选拔一套能使函数（x1,2，.，）朵取极值的变数值，，·.·，*呢？现在設想能满足附加条件的变数x1，*2，··，“产生了能满足8g=0的微变（8）0，（8xz)。，，（8x）0，即08(8x1)+g(8x2)。+...@g(8x,)。=08g0x1Ox2x.这样，函数（x1，*2，·，，）也会产生相应的微变Of (81)。 + %f (82) + .af(8)。8f-2x10x2Oxa我們可以通过乘数α做出函数（f+ag），而这个函数产生的相应微变当为agf(8x1)8(f+ag)8f+a8gOx(of+agf+ag(8x2)n(ox.80x2aOx.Oxe这个秸果指出，能满足附加条件g0的变数1，*2，·，，只要能进一步满足方程ftaog=0OxOxaftg=02x2x2
4.微观状态数最大的分布和玻耳茹曼分布27f+=0OxaOx就会在它們产生能满足8g0的微变（8x）0（8x2）0，..，（8%），时給出8(f+ag)=8f=0因此，这样一套变数不但满足了附加条件，而且相对于其他一套套能满足附加条件的变数，还是一套能使微变f一0和函数f朵取极值的变数，这正是我們要求算的变数值，，·，*，根据上面的不定乘数原理，我可以从下列（n十1）个方程中求解，楼，..，x和α等（n+1）个未知数：g(x1x31....*n)-0f+α&= fi(x1, *2, + *, n) + agi(x1, *2, *, n) 00x1axaf+g& f(x1, *2, **, xn) + ag(x1, *2, ***, *) 0x2x2Pf+a P f(, 2, ,*) + agh(x1, *2,* ) 00x元x这样得出的×，，·，将是能在满足附加条件g0的情况下使函数朵取极值的一套变数值，最后，我佣要交待一下斯透林公式阶乘！可以铪出如下：eKen！=2元式中11<f(n)<12n12(n+1)2当n是不太小的整数时，速乘积！的自然对数的近似公式为In n！ lnV2元()(n+)nn一n+ln(2元)2而当"是较大的整数时，这个公式可以进一步簡化为a
28第二章玻耳茹曼分布、最可几分布和平衡分布In n) = In(mnlnn一n4-2.微观状态数最大的分布及其能极分布数公式现在我侧可以回来求算一套能給出最大微观状态数的能级分布数，n2，,nj,.这个間题相当于在附加条件g-Zn-N-0h一Znje -E-02下求算能使函数f =ln t(m, m, ..., n,...)[或[1朵取极值的变数值，m，，n，根据不定乘数法，我們先通过乘数α和β做出函数（f+ag++βh)，并在下列方程中求解m，nz，.，ni，..·和a，β：f+a+βh0,j=1,2,3,...OniOnOng-n-N-onje-E-0第一列方程中的偏微商当为af=lnianniog=1On;ahEOni在得出第一个偏微商时，我应用了近似的斯透林公式