2954.微观状态数最大的分布和玻耳兹曼分布In N! = In()In n,!= In以后将在第十章的$27，中再回来曦翁这里的間题，现在把上面求算三个偏微商的籍果代入前面的方程中，我們最后得出Inmi+a+Be,=0nj这样，上面的三个方程演化为n, = wje*i,j1, 2, 3,..1nj=N njej = E从前面二个方程中，我們可以求解乘数α如下：FnjeYw.NN36N不无道憾，我們还不便直接求解乘数β，而在第三章和第五章中，我将設法证，乘数β当可与体系的艳对温度联系如下：B=-1KT这样，我們可以得出，微观状态数最大的分布的能极分布数公式为nN-/rwje9式中Q为子的配分函数或状态和，郎o从这个粘果可見，微观状态数最大的分布正是玻耳效曼分布
30第二章：玻耳茹曼分布、最可几分布和平衡分布55.最可几分布和平衡分布在本章的54，中，我們已經翁证玻耳效曼分布就是微观状态数最大的分布，这样，对于平衡分布之所以为玻耳兹曼分布的原因間题，我們倒不妨从分析微观状态数最大的分布与平衡分布間的关系来入手了，现設有一个体系，它的总微观状态数为Q，体系的热力学参数E，V和N是确定的，从而热力学状态也是确定的。但体系中N～104个子的运动状态却可不断改变，从而体系的微状态应是瞬息万变的，，现設在时間中，体系灰第在Q个微艰状态間历經了很多次，而在此时聞内，体系先后在某一微观状态中度过的时間設为4t，则可定义体系在这个微观状态中出现的可儿率为P=4t在这里，我們将朵钠一个十分重要的科学假設，这个假設指出，对热力学参数E、V和N确定的体系来設，各个微观状态当具有相等的可几率，换誉之，对一个拥有Q个微观状态的热力学体系来说，每个微观状态的可几率当为P=10而微观状态数为x的分布X当具有可几率P=Ex0这样，微观状态数最大的玻耳效曼分布应是可儿率最大的分布，从而是最可几分布为了阐明最可几分布与平衡分布的关系周题，我們现在要分析一下最可几分布的特点，分析的果将会指出，在一个子数为N～1024的热力学体系中，最可几分布在实质上可以代表体系的一切分布
3155.最可几分布和平衡分布现在我們要通过一个简单而有启发性的实例来揭示最可几分布的这个特点，现設有一体系，其中N个定域子分布在属于同一能级的两个简并的最子状态A和B上，体系中分布在量子状态A上的子数可用M来代表，分布在B上的子数可用（N一M）来代表，则体系的总微观状态数为NNN!0-F(M)=MMI(N-M)M=式中右方每一项相当于把M个状态为A和（N一M）个状态为B的定域子排列在N个定点上所产生的构型数，即相当于状态分布数为M和N一M的分布所占有的微观状态数，上式使我們联想到代数中的二项式：SNN!(M)xMN-MMV-M(x+)NM=M!(N-M)!M=0在这个二项式中，=y=1，则可得出NN:N!(M)=0-2MyMI(N-M)!M=04=0而二项式中最大的系数当給出最可几分布的微观状态数：N!(N)NN.22而最可几分布的可几率当为2Q元N相对于其他分布，最可儿分布是可几率最大的一个分布，但从上式可見，体系的子数N越大，最可几分布的可几率F倒就越小，而当体系的子数N～102时，即使是最可几分布，它的可几率也低得很，郎
32第二章玻耳茹曼分布、最可几分布和平衡分布28×10-13V元×1024那末，为什么脱，在一个子数N～102的体系中，最可几分布可以代表体系的一切分布呢？为了回答这个間题，我考虑一个分布，它的状态分布数M偏离之达m，这个分布的可几率当为2NtN!212M2NN2n通过斯透林公式，上式不难演化为NNN2n1+2m）N在m《N的条件下，上式可以进一步演化为2m2NTN2和定积分图5-1.中示意可几率函数Ze随m递变的情况，根据差函数表，我們不难給出+2VNA2+3VNm/Ndm>0.9999这个粘果説明，当体系的子数N～102时，状态分布数为N2VN-N+2VNM225×1032×1025×103+2×1012
3355.最可几分布和平衡分布012P(NLOXNNPa)dmm)210.5×4000厚NZN0店N2Nm2）和定积分P（兴-m）dn图5=1可几率函数P（的各个分布所拥有的可几率已翘非常接近于体系的至部分布所拥有的可几率：+dm1P而这些分布的状态分布数M=499,999.999,998,000,000,000,000→500,000,000,002,000,000,000,000却与最可几分布的状态分布数M号— 000000,000000000002在实质上并无区别。我说，在个子数N～102的体系中，最可几分布可以代表体系的一切分布，就是指的这种情况，当然，如果N与√N之間的数量极差得越远，亦即N越大，这种情况就越突出，当N～10时，情况正如上面指出的那样，是十分突出的在子数N～104的热力学体系中，最可几分布为什么在实质上可以代表体系的一切分布，已羟有所明了，那未，作为最可几分布的玻耳效曼分布为什么就是平衡分布呢？既然最可几分布可以代表得了的那些分布所拥有的可几率已經很接近于全部分布的可几率，那未，热力学体系的观状态虽然