952.晶体中原子振动能的分布S2.晶体中原子振动能的分布现在我們要来考虑晶体中原子振动能的分布間题，考虑这个周題的目的主要有两个方面。第一，我要从杜隆-珀替定律来检验，究竞玻耳效曼分布定律是否也适用于晶体中原子振动能的分布，其，我們在第二章中分析平衡分布之所以为玻耳效兹曼分布的原因时，振动于N个点阵点附近的N个原子粗成的晶体体系是一个条件特别有利的对象：針对这样的体系，我将有可能展开最具体而最有启发性的，为了簡单明了，我可以考虑一些象铅、鍋和金刚石等籍构筋单的单质晶体，在这样的晶体中，只有一种原子，而各个原子通过成键电子的活动互相秸合成一个庞大的晶体分子，在这些晶体中，原子的热运动已不能通过平动来实現，但每个原子可以围镜它的平衡位置或点障点进行振动。要是晶体吸进了热量，温度升高了，各个原子报动的平均幅就会相应地增大，因此，晶体中原子的热运动基本上就是它們在点阵点附近进行的振动。现設晶体中有一个原子A，它的平衡位置为点阵点O，如图2-1.?S中所示，价电子使它与周围原子箱合成一个整体的效果，宛如一个把它系在点阵点O上的弹簧，当原子在热振动中离开0点时，就会有一个弹力F把它拉回去，而这个弹力与原子离开O点的距离，成正比，图2-1.原子A振动于点阵点O周围郎F=-f1式中为原子的弹力常数。原子的这种振动实际上就是大家所熟悉的筋振动，而进行着这样振动的原子可以看成一个三稚解谐报子，这个简报子的位能函数为
10第一章玻耳兹受分布定律142#1f(+ y + 2)Y22从这个位能函数看来，这个三稚简振子实际上相当于三个独立的单稚简振子，根据量子理，质量为m、弹力常数为f的单簡振子可以分布在一系列量子状态中，而这些量子状态的能量或振子的能譜为W+1e(v)bsav=0,1,2,式中v为区别簡振子各个量子状态的振动量子数，而称为它的基本频率，单维簡谐报子各个能级都是非簡并能级现设有一个由N～1024个原子租成的晶体体系，就热运动来證，这个体系相当于一个由3N个独立的单稚筋振子租成的体系.根据玻耳兹曼分布定律，晶体中分布在振动能级e（v）上的单稚踏振子数当为n(v)=e-(kT=e-(+>v/krv=0, 1,2,...体系中单雉簡谐援子的总数既为3N，则可得出Zn(v) e-()/ 3N从而得出3N3Ne(v)/RT式中Q为单維簡振子的配分函数或状态和，郎()/kTQ(++/一至h/krhulit代入能级分布数n（v）的公式中后，給出
52.晶体中原子摄动能的分布11e-(rVTn(v) 3Ne-(0)/ - 3N. g9而晶体的振动能或3N个独立的简替振子的振动能的总和当为E-En(v)e(v)3N-(ye(v)>e93N909alng=3NT2aThy1hy+=3N3NeeIkTL2式中为体系中每个报子的平均振动能，现在要从杜隆-珀替定律来检验，上面根据玻耳兹曼分布定律引出的晶体振动能公式是否与事实相符，在扳子能谱的量子化并不突出的經典合下，即h广T》2元Vm时，我們可以得出(hhv11ekT=1十(AT)2!(RT1!hy=1+KT代入前面晶体振动能的公式中，我們可以給出NV+3NRTE(T) =2从而铪出晶体的比热为(aE)=3NkCaT/v而晶体的克原子热当为
12第一章玻耳茹曼分布定律=3R~6卡·克原子-度-这正是大家熟悉的杜隆一珀替定律，大家都知道，这个定律适用于經典場合中。在第三章的6.中，我們将看到，郎使在非經典場合下，前面引出的晶体振动能公式，基本上也能与实际相符，因此，晶体中原子振动能的平衡分布也是玻耳效曼分布我們已对什么是分布、能量分布和玻耳兹受分布等题有所明确，在气体分子平动能和晶体原子振动能等方面，我们已挫看到，体系的平衡分布，正如玻耳兹曼分布定律指出的那样，是玻耳兹曼分布，部体系的N个子中分布在子的能极e上的子数为NWje-,/17nQ式中子的配分函数/tz9-组成体系的子可以是气体体系中的平动子，晶体体系中的简援子，等等，当祝具体周题中的具体体系而定，本章谈到N个平动子所代表的气体体系和3N个罩维簡谐援子代表的晶体体系，宅们都是独立子组成的体系。前者是一个独立的离域子体系，而在后者中振子围娩定点行振动，从而是一个独立的定域子体系，在独立子体系中，每个子的能蹭显得不为其他子的运动状况所影响，在第二章中，我们将分析玻耳兹曼分布的特点，从而东追究平衡分布之所以为玻耳兹曼分布的原因，这样的分析能使我們透过玻耳兹曼分布定律窥见更基本的缺计规律，从而可为处理热力学休系的平衡周题开辟途
习题13习髓I-1.根据麦克斯韦速度分布函数引出下列公式：（1）气体分子的最可几速度为2RTDM（2）气体分子的平均速度为22RTV元VM(3)气体分子的均方根速度为3RT/31（4）气体分子的平均平动能为3eTr=号1-2.*按照麦克斯韦的思路引出速度分布函数.【参開王竹溪，梳計物理学导翁（1956），57真.1-3.*髓介超若干检验麦克斯韦邀度分布函数的实酸方法及其所得结果。[参阳Taylor and Glasstone,ATreatise on Physical Chemistry,Vol.II,StatesofMatter(1951)，35-40真.）1-4。睛从麦克斯韦速度分布函数引出气体分子平动能的分布函数3/2E1/2-Tn(e)=4/2元N2元T铪出麦克斯韦速庭分布函数（）和平动能分布函数n（e）的量稠。I-5.逐步演证下列籍：（1）設想一个立方点障，立方体单胞的边长各为一个长度单位，今以某一点阵点为中心作出两个牛径各为R和R+dR的球面，那末在这两个球面一元RdR个点障点.間当包含4元R2dR个点障点，而每个象限分到主（2）在这个立方点障的第一象限中，坐标为，9，的点障点可以代表平动子的一个量子状态，而这个代表点离点阵原点的距离为Vp+g+r（3）在平动子的能量相隔e-→e+de中，各个量子状态的代表点当分