第一章玻耳茹显分布定律4函数已經在发現后陆续得到实验证实，图1-1.中示意氧气在273°K和373°K下的2.4速度分布函数。2.11.8現在我们要来嵌1.501x麟，什么是能量分布.12买0.9能量分布是指分0.6子分布在各个能量0.3隔中的数目，例如分69101112子分布在能量闻隔0×10~，厘米·秒-1e→e+de内的数图1-1.氧气在273和373°K下的速度分布函数目为n(ei)de,分布在聞隔Ez-→62十de内者为n(e2)de，等等，换言之，体系的能量分布是指分子分布在任意隔e→e十de中的数目n（e)de，而这里决定体系能量分布的函数（e）称为能量分布函数在上面的气体体系中，分子平动能为e-1m22根据上面的麦克斯韦速度分布函数），我們可以不难导出体系的平动能的能量分布函数为n(e)= 4/2元N2元kT换言之，在一个达成平衡的气体体系中，分布在平动能聞隔e-e+de内的分子数为1n(e)de=4/2元NRTde2元kT这个结果也可归成公式n(e)de =[Aw(e)de]e-k而式中10(e)-4/2元2元hT
51.麦克斯韦速度分布和气体分子的平动能分布5这个公式实际上已經孕育了玻耳兹曼能量分布定律的内容，但在自前还需要对气体中分子的平动进行分析，然后才能对玻耳效曼分布定律有所陈述，根据量子理，质量为m的分子在边长为a，b和c的矩形箱中进行平动时，分子的平动状态只能是一系列量子状态，而这些量子状态的能量或平动子的能體为hq办e(p.q,r)h2^28mP,q,r=1,2,3,.式中，9，为区别平动分子各个量子状态的一套平动量子数，而h=6.625×10-厄·秒称为普朗克（Planck）常数，在边长为a和体积为V的立方体箱子中，分子的平动能公式为h22+r2)e(p,q,r)=8mah2+r8mV号对这样的平动分子来，能级h2x [3]e18ma2h2x [6]E28ma22× [9]E38ma上的量子状态各为1,1,1P,q,r=[1,1,21,2,1P,q,r[2, 1, 1
6第一章玻耳茹显分布定律[2,2,12,1,2P,q,[1,2,2我們—般称能级，23,各为簡并度1—1，2=3，3=3，·的能级，现設有N个分子在上述箱子中平动，形成一个气体体系，其中分子的平动能级为e1,e2,...,Ei,..它們的简并度各为W1,W2,...,wi,.設在温度T°K下，N个分子中分布在这些能般上的分子数或能级分布数各为ni,nz,"1则在这个体系中，若能级分布数=we--/kr:w2e--/kr:...:wje--j/kr..ni:nz:-..:nj:...或nj=Aoje-kr时，体系的这种分布即为玻耳兹曼分布，而玻耳兹曼分布定律指出，在一个达成平衡的体系中，能量分布一定是玻耳效曼分布，即分布在能级ei上的分子数或能级e,的能级分布数n系与能級ei的簡并度w，和相应的玻耳兹曼因子。-"/的乘积成正比：n,=Awje-elkt式中尺为玻耳兹曼常数，郎R=1.380×10-16厄·度-1N。而R和N。分别为气体通用常数和阿伏伽德罗（Avogadro）常数这个定律也可以通过状态分布数n（p，q，r）来表达。在这个平动分子租成的体系中，分布在量子状态，9，r上的分子数n(p9
751.麦克斯韦速度分布和气体分子的平动能分布）称为状态分布数，则我們可以給出n(p,q, r)=Ae-(pea,r)/kr这两种表达方式显然陈迹了同一个分布定律根据玻耳茹曼分布的表达式，我可以得出En,=Ewje-jkr=N或En(p, g, r) =Ze-p.r NPa.rPfs并出比例常数N2/RTwie或N-(pa.r)/kTPA.而我們把上式右方的分母定义为平动分子的配分函数或状态和0.即-170-ne或(p.g,rRT0=Pa.r最后，我們可以为玻耳效曼分布給出wje-yT =N. Qje-/Nni99或Ae-oTN.-rTn(p,q,-)-42Q式中因子w;e-j/和e-p.an/可以看成平动能级e,和卒动状态，9，的有效状态数或有效容量，而Q是平动子各个能极或状态的有效状态数或有效容量的总和，从上迹公式可见，在玻耳效曼
8第一章玻耳茹曼分布定律分布中，体系中的N个分子是按照有效状态数或有效容量分配到各个能级或状态上的，我已翘明确了什么是玻耳兹曼分布，同时也已接触到玻耳慈曼分布定律的内容下面我将指出，麦克斯韦分布实际上也可归为玻耳效曼分布，前面已羟根据麦克斯韦速度分布函数n（）引出了气体分子平动能的分布函数-lkrn(e)=42元N2元RT现設在平动能开隔e→e十de中，分子的量子状态数为w(e)de，在玻耳效曼分布中，能量分布函数当为n(e) =No(e)e-/krq这样，我們只要能证下列关系：Nw(e)= 4VF.2元N92元hT，就等于沟通了麦克斯韦分布和玻耳效曼分布，而证上迹关系并不困难。玻耳效曼分布定律指出，在达成了平衡的体系中各个分子在能极之聞的分布是玻耳兹曼分布，体系原先若末未达成平衡，由于分子的碰撞等原因，分子不断交换能量，能极分布数不断改变，最后离开每一能般的分子数与进入能极者趋于一致，而体系亦遂趋于平衡。在平衡体系中，离开每个能级的分子数既与在这一时刻内进入同一能级的分子数不相上下，体系的能级分布数在时間的进程中，就会几乎不变，这样的分布称为平衡分布，而玻耳兹曼能量分布定律指出，体系的平衡分布应該是玻耳茹曼分布从麦克斯韦速度分布中可以得出气体分子平动能的玻耳兹曼分布和玻耳效曼分布定律、而这个定律一經得出，就可在实践中验证，它是一个几乎适用于各种体系和各种能量形式的普逼规律，下面我們将在52.中时逾晶体中原子振动能的分布