《实变分析》课程教学资源（讲义）第四章 积分（4.4）Lebesgue积分与 Riemann积分

§44 Lebesgue积分与 Riemann积分 教学目的本节讨论直线上的 Riemann积分(包括广义 Riemann积分) 与 Lebesgue积分之间的关系同时给出 Riemann可积函数的一个判别条件 本节要点用测度理论可以给出函数 Riemann可积的一个简明的充要条 件.本节的主要结果表明 Lebesgue积分是 Riemann积分的推广.利用 Lebesgue积分的性质,可以解决一些 Riemann积分的问题 Riemann积分的回顾设[a,b是直线上的一个有界闭区间.一个有限序列 P={x0,x1…,xk}称为是[a,b的一个分割,若a=x0<x1<…<xk=b.设P和Q是 a,b]的两个分割如果PcQ,则称Q是P的一个加细 设∫是定义在[a,b]上的有界实值函数,P={x1}=0是[a,b]的一个分割.对每个 1,…,k,令 m,=infff(x):xE[x,x 1, M=supff(x) xE[x,xl ∫关于分割P的 Darboux下和与 Darboux上和分别定义为 s(,P)=∑m(x-x),S(,P)=∑M,(x1-x) s(,P)和S(f,P)的几何意义分别是曲线y=f(x)的下方图形(曲边梯形)的内接阶梯形 与外接阶梯形面积(见引言的插图).显然对[a,b]的任意一个分割P,总有 s(f,P)≤S(f,P).又容易验证以下实事 (1)若P和P2是[a,b]的两个分割,并且P2是P1的加细,则有 s(f,B1)≤s(∫,P2),S(,P2)≤S(,P) 2)对[a,b]的任意两个分割P和P2,总有 s(f,B)≤S(f,P2) 因此当P取遍[a,b]的所有分割时,f的下和s(f,P)的全体所成的数集上有界,上和 S(∫,P)的全体所成的数集下有界令 ()=sup{S(,P):P是[a,b]的分割}, I()=inf{S(/,P):P是[a,b]的分割}

106 §4.4 Lebesgue 积分与 Riemann 积分 教学目的 本节讨论直线上的 Riemann 积分(包括广义 Riemann 积分) 与 Lebesgue 积分之间的关系.同时给出 Riemann 可积函数的一个判别条件. 本节要点 用测度理论可以给出函数 Riemann 可积的一个简明的充要条 件. 本节的主要结果表明 Lebesgue 积分是 Riemann 积分的推广. 利用 Lebesgue 积分的性质, 可以解决一些 Riemann 积分的问题. Riemann 积分的回顾 设 [a,b] 是直线上的一个有界闭区间 . 一个有限序列 { , , , } 0 1 k P = x x " x 称为是[a,b]的一个分割, 若 . a = x0 < x1 < " < xk = b 设 P 和 Q 是 [a,b]的两个分割. 如果 P ⊂ Q, 则称Q 是 P 的一个加细. 设 f 是定义在 [a,b] 上的有界实值函数, k i i P x 0 { } = = 是[a,b] 的一个分割. 对每个 i = 1,", k, 令 inf{ ( ) : [ , ]}, sup{ ( ) : [ , ]}. i i 1 i i i 1 i m f x x x x M f x x x x = ∈ − = ∈ − f 关于分割 P 的 Darboux 下和与 Darboux 上和分别定义为 ( , ) ( ), ( , ) ( ). 1 1 1 ∑ 1 ∑= − = = − − = − k i i i i k i i i i s f P m x x S f P M x x s( f , P) 和 S( f , P) 的几何意义分别是曲线 y = f (x) 的下方图形(曲边梯形)的内接阶梯形 与外接阶梯形面积 ( 见引言的插图 ). 显然对 [a,b] 的任意一个分割 P , 总 有 s( f , P) ≤ S( f , P). 又容易验证以下实事: (1) .若 P1 和 P2 是[a,b]的两个分割, 并且 P2 是 P1 的加细, 则有 ( , ) ( , ), 1 P2 s f P ≤ s f ( , ) ( , ). 2 P1 S f P ≤ S f (2).对[a,b]的任意两个分割 P1 和 P2 ,总有 ( , ) ( , ). 1 P2 s f P ≤ S f 因此当 P 取遍 [a,b] 的所有分割时, f 的下和 s( f , P) 的全体所成的数集上有界, 上和 S( f , P) 的全体所成的数集下有界.令 I( f ) = sup{s( f , P) : P是[a,b] 的分割}, I( f ) = inf{S( f , P) : P是[a,b] 的分割}

分别称和为∫的下积分和上积分.如果=I,则称∫在[a,b上是 Riemann可积 的,并且称L和的公共值为∫在[a,b]上的 Riemann积分(简称为R积分).为避免与 Lebesgue积分混淆,下面将∫在[a,b上的 Riemann积分和 Lebesgue积分分别暂记为 (R)和(L) 引理1设∫是定义在[a,b]上的有界实值函数.则以下三项是等价的 (i).f在[a,6上是 Riemann可积的 (i)对任意E>0,存在[a,b的一个分割P,使得 S(∫,P)-s(f,P) (i).存在[a,b]的一列分割{Pn},使得 lim(S(,P)-S(,P)=0. 证明(i)→(i)设∫在[a,b]上是 Riemann可积的记/=(R)ax.则对任意 E>0,存在[a,b]的两个分割P和P2使得 -s(f,P)<,S(f,P2) E 令P=P∪P2则P是P和P2的加细.于是我们有 S(f,P)-s(,P)≤S(f,P2)-s(f,B)≤(S(,P2)-1)+(-s(,P)<E (i)→(i).显然 (i)→().设P是[a,b]的一列分割使得 im(S(,P)-s(,P)=0. 对任意E>0,取no使得S(f,P)-S(,P)<E.于是 -I≤S(f,P)-s(f,P)<E 由于E>0是任意的故必有I=即∫在[a,6上是 Riemann可积的 Riemann可积的充要条件与两种积分的关系 定理2设∫是定义在[a,b]上的有界实值函数则 ().f在[a,b]上 Riemann可积的充要条件是∫在[a,b]上几乎处处连续(即∫的不连 续点的全体是一个 Lebesgue零测度集 (i).若∫是 Riemann可积的,则∫是 Lebesgue可积的,并且两种积分相等,即 (R)f=(L)「ax

107 分别称 I 和 I 为 f 的下积分和上积分. 如果 I = I, 则称 f 在[a,b]上是 Riemann 可积 的, 并且称 I 和 I 的公共值为 f 在[a,b]上的 Riemann 积分(简称为 R 积分). 为避免与 Lebesgue 积分混淆, 下面将 f 在[a,b]上的 Riemann 积分和 Lebesgue 积分分别暂记为 (R) b a fdx ∫ 和(L) . b a fdx ∫ 引理 1 设 f 是定义在[a,b]上的有界实值函数. 则以下三项是等价的; (i). f 在[a,b]上是 Riemann 可积的 (ii).对任意ε > 0, 存在[a,b]的一个分割 P , 使得 S( f , P) − s( f , P) < ε. (iii).存在[a,b]的一列分割{ }, Pn 使得 lim( ( , ) − ( , )) = 0. →∞ n n n S f P s f P 证明 (i) ⇒ (ii). 设 f 在[a,b] 上是 Riemann 可积的.记 I = (R) . b a fdx ∫ 则对任意 ε > 0, 存在[a,b]的两个分割 P1 和 P2 使得 , 2 ( , )1 ε I − s f P < . 2 ( , ) 2 ε S f P − I < 令 . P = P1 ∪ P2 则 P 是 P1 和 P2 的加细. 于是我们有 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ( , ) ) ( ( , )) . 2 1 2 1 S f P − s f P ≤ S f P − s f P ≤ S f P − I + I − s f P < ε (ii) ⇒ (iii).显然 (iii) ⇒ (i).设 Pn 是[a,b]的一列分割,使得 lim( ( , ) − ( , )) = 0. →∞ n n n S f P s f P 对任意ε > 0, 取n0 使得 ( , ) ( , ) . 0 0 − < ε n Pn S f P s f 于是 − ≤ ( , ) − ( , ) < ε 0 0 n Pn I I S f P s f . 由于ε > 0是任意的,故必有 I = I.即 f 在[a,b]上是 Riemann 可积的.■ Riemann 可积的充要条件与两种积分的关系 定理 2 设 f 是定义在[a,b]上的有界实值函数. 则 (i). f 在[a,b]上Riemann可积的充要条件是 f 在[a,b]上几乎处处连续(即 f 的不连 续点的全体是一个 Lebesgue 零测度集). (ii).若 f 是 Riemann 可积的, 则 f 是 Lebesgue 可积的, 并且两种积分相等, 即 (R) b a ∫ fdx = (L) . b a fdx ∫

证明设∫在[a,b]上是 Riemann可积的.由引理1知存在[a,b]的一列分割 Pn={x0,…xk.}(n≥1)使得 lim(S, P)-s(, P)=0 我们可适当选取上面的分割序列{P},使得P+1是P的加细.对每个自然数n≥1,令 m)=infff():xE[x,x 1i sup{f(x):x∈[x1-1,xl}.i=1,…,k 再对每个自然数n≥1,令 gn=f(a)+∑m”lx1,h,=f(a)+∑M"xx1 则{gn}和{n}都是简单函数列,并且{gn}单调增加,仂n}单调减少.而且满足 8n≤∫≤hn,n≥1.再令g=lm3n,h=limb由于∫是有界的,故g和h都是有界可 测函数,并且成立 g(x)≤∫(x)≤h(x),x∈[a,b] (1) 由控制收敛定理和gn与hn的定义,我们有 (l) gdx=lim(L)g, dx=lim s(, P), (L) hdx=lim(L) h, dx= lim S(, P) 由于lim(S(,P)-s(J,P)=0,结合(2)与(3)得到 (L)(h-g)dx=0 注意到g≤h,由§42定理7和上式得到g=hae.因此若令A={g≠l},则m(A)=0 再设B是所有分割P的分点的全体则B是可数集.因此m(A∪B)=0.容易知道当 xgA∪B时,∫在x连续.因此∫在[a,b上几乎处处连续.故(i)的必要性得证.由于 g=hae.,结合(1)知道∫=gae.故∫是L可测的.又由于∫在[a,b]上是有界的,因 此∫在[a,b]上是 Lebesgue可积的.又由于当n→>∞时, 0≤(R)ax-s(,P)≤S(f,P)-s(,P)→0 因此lims(,P)=(R)J再结合(2)我们有 (1)=(1)g=!m(P)=(R)J厂 故(i)得证

108 证明 设 f 在[a,b]上是 Riemann 可积的. 由引理 1 知存在[a,b]的一列分割 { , }( 1) P = x0 x n ≥ n n " k 使得 lim( ( , ) − ( , )) = 0. →∞ n n n S f P s f P 我们可适当选取上面的分割序列{ } Pn , 使得 Pn+1 是 Pn 的加细. 对每个自然数 n ≥ 1, 令 inf{ ( ) : [ , ]}, 1 ( ) i i n i m f x x x x = ∈ − sup{ ( ) : [ , ]}. 1 ( ) i i n i M f x x x x = ∈ − 1, , . n i = " k 再对每个自然数 n ≥ 1, 令 ( ) , ( ) . 1 ( , ] ( ) 1 ( , ] ( ) ∑ 1 ∑ 1 = = − − = + = + n i i n i i k i x x n n i k i x x n n i g f a m I h f a M I 则 { } gn 和 { } hn 都是简单函数列 , 并 且 { } gn 单调增加 , { } hn 单调减少 . 而且满足 g ≤ f ≤ h , n ≥ 1. n n 再令 lim , lim . n n n n g g h h →∞ →∞ = = 由于 f 是有界的, 故 g 和 h 都是有界可 测函数, 并且成立 g(x) ≤ f (x) ≤ h(x), x ∈[a,b]. (1) 由控制收敛定理和 gn 与 hn 的定义, 我们有 (L) lim(L) lim ( , ), b b n n a a n n gdx g dx s f P →∞ ←∞ ∫ ∫ = = (2) (L) lim(L) lim ( , ). b b n n a a n n hdx h dx S f P →∞ ←∞ ∫ ∫ = = (3) 由于 lim( ( , ) − ( , )) = 0, →∞ n n n S f P s f P 结合(2)与(3)得到 (L) ( ) 0. b a ∫ h g dx − = 注意到 g ≤ h, 由§4.2 定理 7 和上式得到 g = h a.e.. 因此若令 A = {g ≠ h}, 则 m(A) = 0. 再设 B 是所有分割 Pn 的分点的全体. 则 B 是可数集. 因此 m(A∪ B) = 0. 容易知道当 x ∉ A ∪ B 时, f 在 x 连续. 因此 f 在[a,b]上几乎处处连续. 故 (i) 的必要性得证. 由于 g = h a.e., 结合(1) 知道 f = g a.e.. 故 f 是 L 可测的. 又由于 f 在[a,b]上是有界的, 因 此 f 在[a,b]上是 Lebesgue 可积的. 又由于当n → ∞ 时, 0 (R) ( , ) ( , ) ( , ) 0. b n nn a ≤ −≤ −→ fdx s f P S f P s f P ∫ 因此 lim ( , ) (R) . b n n a s f P fdx →∞ = ∫ 再结合(2)我们有 (L) (L) lim ( , ) (R) . bb b n aa a n fdx gdx s f P fdx →∞ ∫∫ ∫ == = 故(ii) 得证

往证()的充分性.设∫在[a,b上几乎处处连续又设{Pn}是[a,b]的一列分割,其 中{P}把[a,b]分成2”个等长的小区间.按前述方式定义函数g和h显然当x是∫的连 续点时,g(x)=f(x)=h(x).因此g=hae.由(2)与(3)得到 lim(so P)-s(, P))=0 由引理1知道∫在[a,b]上是 Riemann可积的.故(i)的充分性得证■ 定理2给出了函数∫在[a,b]上 Riemann可积的一个简单明了的判别条件,同时也表明 Lebesgue积分是 Riemann积分的推广,并且 Lebesgue积分的可积函数类比 Riemann积分的 可积函数类大在§41中我们曾指出[0,1上的 Dirichlet函数D(x)是L可积的.但由于 D(x)在[0,1上处处不连续,由定理2知道D(x)不是 Riemann可积的.这个例子表明 Lebesgue积分的可积函数类严格地大于 Riemann积分的可积函数类 广义 Riemann积分与 Lebesgue积分的关系下面仅以无穷区间[a,+∞)的广义 Riemann积分为例.对其他无穷区间上的广义 Riemann积分和无界函数的广义 Riemann积分 也有类似的结果 定理3设∫是定义在[a,+∞)上的实值函数,并且对任意b>a,∫在[a,b]上是有界 的几乎处处连续的则有 R)厂tk=UJdk 因此∫在[a+∞)上 Lebesgue可积当且仅当广义 Riemann积分(R)绝对收敛并 且当(R)ax绝对收敛时,成立 证明由定理2知道对任意b>a,∫在[a,b]上是 Riemann可积的对每个n≥a,令 令f=几1n则团个/由于每个是L可测的,因此∫是L可测的由单调收敛定理 和定理2,我们有 (L)=m()∫。L=m)d =lm(R)∫=(R)广 故(4)成立.因此∫在[a,+∞)上 Lebesgue可积当且仅当广义 Riemann积分(R) 对收敛.当(R)a绝对收敛时,在[a,+∞)上是 Lebesgue可积的,由于/ls 并且∫n→∫处处成立,由控制收敛定理和定理2,我们有

109 往证 (i) 的充分性. 设 f 在[a,b]上几乎处处连续. 又设{ } Pn 是[a,b]的一列分割, 其 中{ } Pn 把[a,b]分成 n 2 个等长的小区间. 按前述方式定义函数 g 和 h. 显然当 x 是 f 的连 续点时, g(x) = f (x) = h(x). 因此 g = h a.e.. 由(2)与(3)得到 lim( ( , ) − ( , )) = 0 →∞ n n n S f P s f P 由引理 1 知道 f 在[a,b]上是 Riemann 可积的. 故(i) 的充分性得证.■ 定理2给出了函数 f 在[a,b]上Riemann可积的一个简单明了的判别条件, 同时也表明 Lebesgue 积分是 Riemann 积分的推广, 并且 Lebesgue 积分的可积函数类比 Riemann 积分的 可积函数类大. 在§4.1 中我们曾指出[0,1]上的 Dirichlet 函数 D(x) 是 L 可积的. 但由于 D(x) 在[0,1] 上处处不连续, 由定理 2 知道 D(x) 不是 Riemann 可积的. 这个例子表明 Lebesgue 积分的可积函数类严格地大于 Riemann 积分的可积函数类. 广义 Riemann 积分与 Lebesgue 积分的关系 下面仅以无穷区间[a,+ ∞) 的广义 Riemann 积分为例. 对其他无穷区间上的广义Riemann 积分和无界函数的广义Riemann 积分 也有类似的结果. 定理3 设 f 是定义在[a, + ∞) 上的实值函数, 并且对任意b > a, f 在[a,b]上是有界 的几乎处处连续的. 则有 (R) (L) . a a f dx f dx +∞ +∞ ∫ ∫ = (4) 因此 f 在[a, + ∞) 上 Lebesgue 可积当且仅当广义 Riemann 积分(R) a fdx +∞ ∫ 绝对收敛. 并 且当(R) a fdx +∞ ∫ 绝对收敛时, 成立 (R) (L) . a a fdx fdx +∞ +∞ ∫ = ∫ 证明 由定理 2 知道对任意b > a, f 在[a,b]上是 Riemann 可积的. 对每个n ≥ a, 令 令 . n [a, n] f = fI 则 f f . n ↑ 由于每个 n f 是L可测的, 因此 f 是L可测的. 由单调收敛定理 和定理 2, 我们有 (L) lim(L) lim(L) lim (R) (R) . n n aaa n n n n a a f dx f dx f dx f dx f dx +∞ +∞ →∞ →∞ +∞ ←∞∞ = = = = ∫∫∫ ∫ ∫ (5) 故(4)成立. 因此 f 在[a, + ∞) 上 Lebesgue 可积当且仅当广义 Riemann 积分(R) a fdx +∞ ∫ 绝 对收敛.. 当(R) a fdx +∞ ∫ 绝对收敛时, f 在[a, + ∞) 上是 Lebesgue 可积的. 由于 f f n ≤ 并且 f f n → 处处成立, 由控制收敛定理和定理 2, 我们有

1)。=m()。=m(1 lim(r) fax=(r) fa 定理证毕■ 定理2和定理3表明,若∫在[an,b]上 Riemann可积,或者∫在有界或无界区间上的广 义 Riemann积分绝对收敛,则∫是 Lebesgue可积的并且这两种积分值相等.在这种情况下, 此时∫的 Riemann积分可视为 Lebesgue积分,因而可以应用 Lebesgue积分的性质例如极限 定理等 定理2和定理3也表明,若∫在某区间上同时是(正常或者广义)R可积和L可积的,则 这两种积分值相等.因此以后∫在区间上的R积分和L积分都用 J∫ 和ahx等表 示,不会发生混淆 例1设∫(x)=一在数学分析课程中熟知,∫在[0,+∞)上的广义 Riemann积分 是收敛的但不是绝对收敛的.由定理3,∫在[0,+∞)上不是L可积的 例2证明lim dx 证明令 nsin x fn(x(1+x)xn≥1 g(x)= 则lgm21.由于广义 Riemann积分厂,gd收敛由定理3知道g在+)上是 L可积的因此每个f是L可积的由定理3.。f,d可以视为 Lebesgue积分由于 ∫n 1*x2,(n→∞).利用控制收敛定理得到 nsin (1+x2) dx=Jo dx 例3证田11,1 证明由泰勒级数知道

110 (L) lim(L) lim(L) lim (R) (R) . n n aa a n n n n a a fdx f dx fdx fdx fdx +∞ +∞ →∞ →∞ +∞ ←∞∞ = = = = ∫∫ ∫ ∫ ∫ (6) 定理证毕.■ 定理 2 和定理 3 表明, 若 f 在[a,b]上 Riemann 可积, 或者 f 在有界或无界区间上的广 义 Riemann 积分绝对收敛, 则 f 是 Lebesgue 可积的并且这两种积分值相等. 在这种情况下, 此时 f 的 Riemann 积分可视为 Lebesgue 积分, 因而可以应用 Lebesgue 积分的性质例如极限 定理等. 定理 2 和定理 3 也表明, 若 f 在某区间上同时是(正常或者广义)R 可积和 L 可积的, 则 这两种积分值相等. 因此以后 f 在区间上的 R 积分和 L 积分都用 b a fdx ∫ 和 a fdx +∞ ∫ 等表 示, 不会发生混淆. 例 1 设 . sin ( ) x x f x = 在数学分析课程中熟知, f 在[0,+ ∞) 上的广义 Riemann 积分 是收敛的但不是绝对收敛的. 由定理 3, f 在[0,+ ∞) 上不是 L 可积的. 例 2 证明 2 0 sin lim . n (1 ) 2 x n n dx x x +∞ π →∞ = + ∫ 证明 令 , (1 ) sin ( ) 2 x x n x n f x n + = n ≥ 1. . 1 1 ( ) 2 x g x + = 则 f ≤ g, n ≥ 1. n 由于广义 Riemann 积分 0 gdx +∞ ∫ 收敛. 由定理 3 知道 g 在[0,+ ∞) 上是 L 可积的. 因此每个 n f 是 L 可积的. 由定理 3, 0 nf dx +∞ ∫ 可以视为 Lebesgue 积分.由于 , 1 1 2 x f n + → (n → ∞). 利用控制收敛定理得到 2 2 0 0 0 sin 1 lim arctg . n (1 ) 1 2 x n n dx dx x xx x +∞ +∞ +∞ π →∞ = == + + ∫ ∫ 例 3 证明 1 2 0 1 11 1 ln . 1 n dx x x n ∞ = = ∫ − ∑ 证明 由泰勒级数知道