例2证明：K有唯一的一因子分解。 证明：由习题5第一题知：K只有3个不同的完美匹配。 而k的每个1因子分解包含3个不同完美匹配，所以，其 1因子分解唯一
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 1 2 3 4 4 2 3 1 4 3 1 2 1 2 3 4 例2 证明：K4有唯一的一因子分解。 证明：由习题5第一题知：K4只有3个不同的完美匹配。 而k4的每个1因子分解包含3个不同完美匹配，所以，其 1因子分解唯一
例3证明：K2的不同的一因子数目为： 2n 证明：由习题5第一题知：Kn的不同完美匹配的个数为(2n 1)。所以，K2m的一因子数目为(2n-1)!个。即： (2n-1= (2n)川 2”.nl 例4证明：每个k(k>0)正则偶图G是一可因子分解的。 证明：因为每个k(k>0)正则偶图G存在完美匹配，设 Q是它的一个一因子，则GQ还是正则偶图，由归纳知， G可作一因子分解
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 例3 证明：K2n的不同的一因子数目为： 证明：由习题5第一题知：K2n的不同完美匹配的个数为(2n- 1)!!。所以，K2n的一因子数目为(2n-1)!!个。即： (2 )! 2 ! n n n (2 )! (2 1)!! 2 ! n n n n − = 例4 证明：每个k (k>0)正则偶图G是一可因子分解的。 证明：因为每个k (k>0)正则偶图G存在完美匹配，设 Q是它的一个一因子，则G-Q还是正则偶图，由归纳知， G可作一因子分解
定理2具有H圈的三正则图可一因子分解。 证明：先从三正则图G中抽取H圈，显然剩下边构成 G的一个一因子。而H圈显然可以分解为两个一因子。 所以G可以分解为3个一因子。 注：定理2的逆不一定成立。例如： 上图是三正则图，且可以一因子分解，但不存在H圈
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 定理2 具有H圈的三正则图可一因子分解。 证明：先从三正则图G中抽取H圈，显然剩下边构成 G的一个一因子。而H圈显然可以分解为两个一因子。 所以G可以分解为3个一因子。 注：定理2的逆不一定成立。例如： 上图是三正则图，且可以一因子分解，但不存在H圈
定理3若三正则图有割边，则它不能一因子分解。 证明：若不然，设G的三个一因子为G1,G2,G3。不失 一般性，设割边e∈G。 显然，G-G,的每个分支必然为圈。所以在G的某个 圈中，这与e是G的割边矛盾。 注：没有割边的三正则图可能也没有一因子分解，如 彼得森图就是如此！尽管它存在完美匹配。 (二)、图的二因子分解 如果一个图可以分解为若干2度正则因子之并，称G 可以2因子分解。注意：G的一个H圈肯定是G的一个2 因子，但是G的一个2因子不一定是G的H圈。2因子可 以不连通
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 定理3 若三正则图有割边，则它不能一因子分解。 证明：若不然，设G的三个一因子为G1 ,G2 ,G3。不失 一般性，设割边e∈G1。 显然，G-G2的每个分支必然为圈。所以e在G的某个 圈中，这与e是G的割边矛盾。 注：没有割边的三正则图可能也没有一因子分解，如 彼得森图就是如此！尽管它存在完美匹配。 (二)、图的二因子分解 如果一个图可以分解为若干2度正则因子之并，称G 可以2因子分解。注意：G的一个H圈肯定是G的一个2 因子，但是G的一个2因子不一定是G的H圈。2因子可 以不连通