定理7:在增广关联矩阵A中,对应于G的任一个回路 的列是线性相关的。 定理8:连通图G的关联矩阵A的一个n阶子矩阵是 非奇异的必要和充分条件是:此子矩阵的列对应于 图G的一个树的树支。 比纳一柯西 定理9: Binet-Cauchy定理:设P、Q分别为n×m 和m×n阶矩阵,且m≥n, 则det(PQ)=∑(P的大子式乘以对应的Q的大子式) 推论:de(AAT)=∑(±1(±1)=树数目 所有树
定理7：在增广关联矩阵Aa中，对应于G的任一个回路 的列是线性相关的。 定理8： 连通图G的关联矩阵A的一个n阶子矩阵是 非奇异的必要和充分条件是：此子矩阵的列对应于 图G的一个树的树支。 定理9：Binet-Cauchy定理：设P、Q分别为n×m 和m×n阶矩阵，且m≥n， 则det (P·Q )=Σ(P的大子式乘以对应的Q的大子式) 比纳－柯西 推论：det(AAT )=Σ (±1) (±1)=树数目 所有树
、回路矩阵B和基本回路矩阵B 增广回路矩阵B表示G的回路和支路的关联性质 Ba=[b1是一个L×b的矩阵,L表示回路数,b表示 支路数。 1,若支路k在回路,且方向一致; 1,若支路k在回路j,且方向相反; 0,若支路k不在回路j 注意:B2的行间不是线性独立的
二、回路矩阵Ba和基本回路矩阵Bf 增广回路矩阵Ba表示G的回路和支路的关联性质 Ba=[bjk]是一个L×b的矩阵，L表示回路数，b表示 支路数。 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = − . , ; , ; 0 , 1 , 1 , 若支路 不在回路 中 若支路 在回路 中 且方向相反 若支路 在回路 中 且方向一致 k j k j k j jk b 注意：Ba的行间不是线性独立的
⑤ 5 b b6 b4 ④
b6 b1 b2 b b4 3 b5 ① ② ③ ④ ⑤ b7
, b2 b3 b4 56 b, 10 B 0010111 101 0 0 1001101 1001 0 100 Ba中的行中的是线性相关的,即Ba的秩小于其行数。 定理10:对于一个具有n=n+1个节点,b条支路的 连通图G,其增广矩阵的秩为b-η
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 - 1 1 - 1 0 0 0 1 - 1 1 0 1 - 1 0 1 - 1 0 - 1 0 1 - 1 0 0 1 - 1 - 1 0 1 1 - 1 0 0 1 0 - 1 0 0 1 0 0 - 1 1 0 0 0 - 1 - 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 B b b b b b b b a B a中的行中的是线性相关的，即 B a的秩小于其行数。 定理10： 对于一个具有 n t=n+1个节点， b条支路的 连通图 G，其增广矩阵的秩为b-n
★基本回路矩阵B 选定一个树后,选取基本回路的方向,使之与它们 所关联的连支方向一致。 基本回路与支路的关联性质可用基本回路矩阵B表 小。 B=[b是一个(b-n)×b的矩阵,它的每一行对应于 一个基本回路,每一列对应于一条支路 单连支回路所对应的回路矩阵
★基本回路矩阵Bf 选定一个树后，选取基本回路的方向，使之与它们 所关联的连支方向一致。 基本回路与支路的关联性质可用基本回路矩阵Bf表 示。 Bf=[bjk]是一个(b-n)×b的矩阵，它的每一行对应于 一个基本回路，每一列对应于一条支路。 单连支回路所对应的回路矩阵