16 第一篇单复变函数论 (见图1.1.11)旋转时，都是逆时针方向。由定义可知，之一0 的辐角的多值性是：绕点。旋转产生的。 (分)支点当自变量在之平面上绕某点：=（在它足够 小的邻域内沿任一闭曲线)旋转一周时，函数不回到原值时，就 称之=。点为该函数的一个（分）支点：如果沿同方向绕行有限 的n圈后回到原值，称这样的支点为该函数的n一1阶（代数 型)支点，若n=o0,则称为超越性支点。 例1w=反-个地，k=0,1. 若起始值取=√个0Te学，绕：=0逆时针旋转一周， 沿4分 arg o的辐角增加2π，即0=|0|e《。+2x,于是2= 1绕0 角加向沿 √个0Tea6+a/2=一1，绕x=0逆时针旋转二周，o的辐角 转时，则减少 又增加2π，即0=|0|·emo+t,则=√个0Tem:w:=,所以之=0是函数E 的一阶支点：同样之=∞也是其一阶支点。 例2w=-I,之=1，o∞是其n-1阶支点。 例3地=√2一T,:=士1是其一阶支点，但x=∞不是其支点。 例4=ln=ln|:|+i(arg十2kπ)，k=0(士)士∞，之=0，∞是其无穷阶 支点，即超越支点。 多值函数的单值化函数的多值性常引起概念和计算上的混乱，所以必须将它单值 化，这样就可以用处理单值函数的方法来处理多值函数。当然单值化过程必需保留原有 的解析性，否则单值化就失去意义了。常用两种单值化方法，一个是分析单值化：一个是 几何单值化。 (1)分析单值化一单值分支 通常把一个多值解析函数拆成若干个单值解析函数，每一个这样的单值解析函数称为 该多值函数的一个正则分支。正则分支可以这样获得：或对引起函数的多值性的自变数+的 辐角加以限制，或对函数取值加以限制。例如=√E,若限制0<Arg之<2x和2x <Arg之<4x或限制Imw>0和I1mw<0,就把二值函数√E拆成两个正则分支。 若多值函数心一f(x)的反函数：一f-1(心)是单值函数，那么这样的多值函数的多值 性是由于不同的w对应相同的：值造成的，即≠时，一()=f-(?)。如果限制 的取值范围，使其不可能成立，那么就得到按函数值划分单值分支了。为此定义，若函数 e=f(z)在（开）区域D内单值解析，且当≠2时，（之）≠f(2),则称f(z)为D内单 叶解析函数，简称单叶函数(univalent function),D称为其单叶性区域。 在单叶性区域内，之和f(:)间建立了一一对应关系，称为内射(injective)关系。显然单 叶函数的反函数必是单值函数(single-valued function)。 十有的书把其辐角的多值性“直接"导致函数多值性的自变数称为其宗量(argument),例如=√一工，直接导 其多值性的是自变数：一1的辐角多值性，所以称：一1为其宗量。按此定义，函数w=√：一1(：一2万的宗量藏不止 比较常用的单值化方
图１１１１ ｚ沿ｌ１，ｌ２ 旋转一周，ａｒｇ（ｚ－ｚ０） 不变。 因 为 沿ｌ１ 绕ｚ０ 旋 转 时， ｚ－ｚ０ 的 转 角 增 加φ，而 沿ｌ′２ 旋 转时，则减少φ。 ｌ′２ （见图１１１１）旋转时，都是逆时针方向。由定义可知，ｚ－ｚ０ 的辐角的多值性是ｚ绕点ｚ０ 旋转产生的。 （分）支点 当自变量在ｚ平面上绕某点ｚ ＝ｚ０（在它足够 小的邻域内沿任一闭曲线）旋转一周时，函数不回到原值时，就 称ｚ＝ｚ０ 点为该函数的一个（分）支点；如果沿同方向绕行有限 的ｎ圈后回到原值，称 这 样 的 支 点 为该函数的ｎ－１阶（代 数 型）支点，若ｎ＝ ∞，则称为超越性支点。 例１ ｗ ＝ 槡ｚ ＝ ｜槡ｚ｜ｅｉ ａｒｇｚ＋２ｋπ ２ ，ｋ＝０，１。 若起始值取ｗ１ ＝ ｜槡ｚ０｜ｅｉ ａｒｇｚ０ ２ ，绕ｚ＝０逆时针旋转一周， ｚ０ 的 辐 角 增 加 ２π，即 ｚ０ ＝｜ｚ０ ｜ｅｉ （ａｒｇｚ０＋２π），于 是 ｗ２ ＝ 槡｜ｚ０｜ｅｉ （ａｒｇｚ０＋２π）／２ ＝－ｗ１，绕ｚ＝０逆时针旋转二周，ｚ０ 的辐角 又增加２π，即ｚ０ ＝｜ｚ０｜·ｅｉ （ａｒｇｚ０＋４π），则ｗ３ ＝ ｜槡ｚ０｜ｅｉ （ａｒｇｚ０＋４π）／２ ＝ｗ１，所以ｚ＝０是函数 槡ｚ 的一阶支点；同样ｚ＝ ∞ 也是其一阶支点。 例２ ｗ ＝ ｎ 槡ｚ－１，ｚ＝１，∞是其ｎ－１阶支点。 例３ ｗ ＝ ｚ２ 槡 －１，ｚ＝±１是其一阶支点，但ｚ＝ ∞ 不是其支点。 例４ ｗ ＝ｌｎｚ＝ｌｎ｜ｚ｜＋ｉ （ａｒｇｚ＋２ｋπ），ｋ＝０（±１）± ∞，ｚ＝０，∞是其无穷阶 支点，即超越支点。 多值函数的单值化 函数的多值性常引起概念和计算上 的 混 乱，所 以 必 须 将 它 单 值 化，这样就可以用处理单值函数的方法来处 理 多 值 函 数。 当 然 单 值 化 过 程 必 需 保 留 原 有 的解析性，否则单值化就失去意义了。常用两 种 单 值 化 方 法，一 个 是 分 析 单 值化；一 个 是 几何单值化。 （１）分析单值化———单值分支 通常把一个多值解析函数拆成若干个单值解析函数，每一个这样的单值解析函数称为 该多值函数的一个正则分支。正则分支可以这样获得：或对引起函数的多值性的自变数的 辐角加以 限 制，或 对 函 数 取 值 加以限制。例如 ｗ ＝ 槡ｚ，若 限 制 ０ ＜ Ａｒｇｚ ＜ ２π 和 ２π ＜ Ａｒｇｚ＜４π或限制Ｉｍｗ ＞０和Ｉｍｗ ＜０，就把二值函数 槡ｚ 拆成两个正则分支。 有的书把其辐角的多值性“直接”导致函数多值性的自变数称为其宗量（ａｒｇｕｍｅｎｔ），例如ｗ ＝ 槡ｚ－１，直接导致 其多值性的是自变数ｚ－１的辐角多值性，所以称ｚ－１为其宗量。按此定义，函数 ｗ ＝ 槡（ｚ－１）（ｚ－２）的宗量就不止 一个。实际上，ｚ的辐角多值性必然导致ｚ－１，ｚ－２的辐角多值性，限制了ｚ，ｚ－１，ｚ－２中任何一个的辐角就必然限 制了其他两个的辐角，但限制函数的某个宗量的辐角是比较常用的单值化方法。 若多值函数ｗ ＝ｆ（ｚ）的反函数ｚ＝ｆ－１ （ｗ）是单值函数，那么这样的多值函数的多值 性是由于不同的 ｗ 对应相同的ｚ 值造成的，即ｗ１ ≠ｗ２ 时，ｆ－１ （ｗ１）＝ｆ－１ （ｗ２）。如果限制 ｗ 的取值范围，使其不可能成立，那么就得到按函数值划分单值分支了。为此定义，若函数 ｗ ＝ｆ（ｚ）在（开）区域Ｄ 内单值解析，且当ｚ１ ≠ｚ２ 时，ｆ（ｚ１）≠ｆ（ｚ２），则称ｆ（ｚ）为Ｄ 内单 叶解析函数，简称单叶函数（ｕｎｉｖａｌｅｎｔｆｕｎｃｔｉｏｎ），Ｄ 称为其单叶性区域。 在单叶性区域内，ｚ和ｆ（ｚ）间建立了一一对应关系，称为内射（ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ）关系。显然单 叶函数的反函数必是单值函数（ｓｉｎｇｌｅｖａｌｕｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎ）。 ６１ 第一篇 单复变函数论
第一章单复变解析函数 17 若多值函数的反函数是单值解析函数，那么这样的多值函数的反函数彼此不相交的单 通单叶性区域就构成相应多值函数的不同正则分支：当这些彼此不相交的单通单叶性区域 充满相应多值函数（除单叶性区域边界外）的值域时，就构成该多值函数按其函数值加以限 制的所有正则分支。所以只要求出多值函数的单值反函数的单叶性区域，便得到其所有正 则分支。 例5将w=E按上法划分单值正则分支。 为此要求：=的单叶性区域，即要求≠时，≠，或者说排除≠时 =2的点。采用指数表示e=|e|em, =→|-|l,arg心一arg=2红，k为任意整数 显然只需 I arg w -arg w:< (1.1.18) 就排除了≠而=的可能性。满足(1.1.18)式的区域D是很多的。最简单的是 从原点出发的射线为其边界、张角为的任何一个扇形区域，例如 2经<rg0<2+,k=01m-1 (1.1.19) k取这些不同值时，这些单通单叶性区域彼此不相交，所有这些单通单叶性区域连同它们的 边界充满了整个w平面（即心=F的值域）。所以(1.1.19)式便构成w=F所有正值分 支。这是一个极简单的例子，用不着这样处理。但对于比较复杂的多值函数，这个方法就有 用了。 例6将=arcsinz按上法划分其正则分支。 求x=sin心的单叶性区域，即排除≠时sin=sin的点。采用欧拉公式得 e-=-=，于是有 (e-e)(e'+1)=0 即有 (1.1.20 其中k1,z为任意整数。(1.1.20)式的第二式要求心，的算术平均值在实轴上且为 十k2π。排除这种可能性的区域也是很多的。比较简单的是以直线为边界，特别是平行于虚 轴宽为π的带形域 牙+(k-1)m<Re<号+kπ，k=0(士1)士∞ (1.1.21) 因为在这区域内部的实轴上不可能出现无+kπ这种点。满足(1.1.21)式的点也不满足
若多值函数的反函数是单值解析函数，那么这样的多值函数的反函数彼此不相交的单 通单叶性区域就构成相应多值函数的不同正则分支；当这些彼此不相交的单通单叶性区域 充满相应多值函数（除单叶性区域边界外）的值域时，就构成该多值函数按其函数值加以限 制的所有正则分支。所以只要求出多值函数的单值反函数的单叶性区域，便得到其所有正 则分支。 例５ 将 ｗ ＝ ｎ 槡ｚ 按上法划分单值正则分支。 为此要求ｚ＝ ｗｎ 的单叶性区域，即要求ｗ１ ≠ｗ２ 时，ｚ１ ≠ｚ２，或者说排除ｗ１ ≠ｗ２ 时 ｚ１ ＝ｚ２ 的点。采用指数表示 ｗ ＝｜ｗ｜ｅｉａｒｇｗ ， ｚ１ ＝ｚ２ ｜ｗ１｜＝｜ｗ２｜，ａｒｇｗ１ －ａｒｇｗ２ ＝２ｋπ ｎ ，ｋ为任意整数 显然只需 ｜ａｒｇｗ１ －ａｒｇｗ２｜＜２π ｎ （１．１．１８） 就排除了 ｗ１ ≠ｗ２ 而ｚ１ ＝ｚ２ 的可能性。满足（１１１８）式的区域Ｄ 是很多的。最简单的是 从原点出发的射线为其边界、张角为２π ｎ的任何一个扇形区域，例如 ２ｋπ ｎ ＜ａｒｇｗ ＜２（ｋ＋１）π ｎ ，ｋ＝０（１）ｎ－１ （１１１９） ｋ取这些不同值时，这些单通单叶性区域彼此不相交，所有这些单通单叶性区域连同它们的 边界充满了整个 ｗ 平面（即 ｗ ＝ ｎ 槡ｚ 的值域）。所以（１１１９）式便构成 ｗ ＝ ｎ 槡ｚ 所有正值分 支。这是一个极简单的例子，用不着这样处理。但对于比较复杂的多值函数，这个方法就有 用了。 例６ 将 ｗ ＝ａｒｃｓｉｎｚ按上法划分其正则分支。 求ｚ＝ｓｉｎｗ 的单叶性区域，即排除ｗ１ ≠ｗ２ 时ｓｉｎｗ１ ＝ｓｉｎｗ２ 的点。采用欧拉公式得 ｅｉｗ１ －ｅｉｗ２ ＝ｅ－ｉｗ１ －ｅ－ｉｗ２ ＝ｅｉｗ２ －ｅｉｗ１ ｅｉ （ｗ１＋ｗ２） ，于是有 （ｅｉｗ１ －ｅｉｗ２）（ｅ－ｉ （ｗ１＋ｗ２） ＋１）＝０ 即有 ｗ１ －ｗ２ ＝２ｋ１π 或 ｗ１ ＋ｗ２ ２ ＝ （ ） ｋ２ ＋ １ ２ π （１．１．２０） 其中ｋ１，ｋ２ 为任意整数。（１１２０）式的第二式要求 ｗ１，ｗ２ 的算术平均值在实轴上且为 π ２ ＋ｋ２π。排除这种可能性的区域也是很多的。比较简单的是以直线为边界，特别是平行于虚 轴宽为π的带形域 π ２ ＋（ｋ－１）π＜ Ｒｅｗ ＜ π ２ ＋ｋπ，ｋ＝０（±１）± ∞ （１．１．２１） 因为在这区域内部的实 轴 上 不 可 能 出 现 π ２ ＋ｋπ这 种 点。满 足（１１２１）式 的 点 也 不 满 足 第一章 单复变解析函数 ７１
第一篇单复变函数论 (1.1.20)式的第一式，且(1.1.21)式中单通单叶性区域彼此不相交，连同其边界充满整个 平面，所以(1.1.21)式便构成=arcsin:的所有正则分支。 -Re w -3- 图1.1.12函数z=snw的单叶性区域w4,k=0(士1)士∞ (2)几何单值化—黎曼面 划分正则分支可以达到单值化目的，但还没有给出不同正则分支之间的联系。下面的 黎曼面则得出了一个完全的解析函数。几何单值化的思想不是限制多值函数的取值而是将 之平面上一个点看成若干个不同的点，把一个之平面看成多个之平面，从而建立多叶之平面 与心平面间一一对应，达到单值化目的：再将多叶之平面适当（即将函数取值相同处）粘合 起米构成所谓黎曼面。例如心=√E,可将之=|之|e:和：=|之|e+)看成两个不同 的点，但：=||e=和之=||e+)看成同一个点，因 为相应的√E值相同。这样，将一个之平面看成两个重叠的 上叶 上岸 上岸 之平面，分别称为上叶和下叶：又因为在正实轴上之=x> 0,之=xe°和z=xe“代表同一个点，所以应将两叶之平面 下岸 下片 沿正实轴（称为割线）粘合起米。如果规定上叶割线上岸取 arg之=0，下岸取arg之=2r,下叶割线上岸取arg之=2x 下叶割线下岸取arg之=4π，则应将下叶割线上岸与上叶 割线下岸相粘合，下叶割线下岸与上叶割线上岸粘合而构图1.1.13函数w=E的黎曼面 成两叶黎曼面，见图1.1.13。 为看得清楚，把上叶制线两岸奇大为两 条折线O妇和O肠，把下叶割线两岸夺大 一般地，多值函数的黎曼面的构造比较复杂，原则上可 为两条折线Ok和Qd:在垂直于割线的 以按如下构造： 截面内，b点和位于下叶的点粘合，位 于下叶的d点与位于上叶的a点粘合， (1)找出多值函数的所有支点： (2)作割线形成多叶之平面并规定每个正则分支取值即由支点出发作割线以切断 切可能绕支点的回路达到单值化的目的，再规定每个单值分支的取值。割线的具体作 法，可以根据实际需要而定，例如按自变量辐角的取值范围或按函数取值划分正则分支， 而且只要规定正则分支在一线段上的函数值，有时甚至在一点处的函数值便决定了整个 正则分支： (3)粘合即将多叶：平面按函数取值相同时相应的割线上下岸粘合起来便构成该多 值函数的黎曼面。 例7w=ln之=ln|z+i(arg之+2kx),k=0(士1)士∞ (1)之=0，∞是其超越性支点。 (2)沿正实轴作割线(0，十∞)，形成无穷多个正则分支，这样将一个之平面看成是 沿正实轴割开的无穷多叶之平面，并规定|：-1在=i2kπ
（１１２０）式的第一式，且（１１２１）式中单通单叶性区域彼此不相交，连同其边界充满整个 ｗ 平面，所以（１１２１）式便构成 ｗ ＝ａｒｃｓｉｎｚ的所有正则分支。 图１１１２ 函数ｚ＝ｓｉｎｗ的单叶性区域ｗｋ，ｋ＝０（±１）± ∞ （２）几何单值化———黎曼面 划分正则分支可以达到单值化目的，但还没有给出不同正则分支之间的联系。下面的 黎曼面则得出了一个完全的解析函数。几何单值化的思想不是限制多值函数的取值而是将 ｚ平面上一个点看成若干个不同的点，把一个ｚ平面看成多个ｚ 平面，从而建立多叶ｚ平面 与ｗ 平面间一一对应，达到单值化目的；再将多叶ｚ平面适当（即将函数取值相同处）粘合 起来构成所谓黎曼面。例如 ｗ ＝ 槡ｚ，可将ｚ＝｜ｚ｜ｅｉａｒｇｚ 和ｚ ＝｜ｚ｜ｅｉ （ａｒｇｚ＋２π） 看成两个不同 图１１１３ 函数ｗ ＝ 槡ｚ的黎曼面 为看得清楚，把上叶割线两岸夸大为两 条折线Ｏａ和Ｏｂ，把下叶割线两岸夸大 为两条折线Ｏｃ和Ｏｄ；在垂直于割线的 截面内，ｂ点和位于下叶的ｃ点粘合，位 于下叶的ｄ点与位于上叶的ａ 点粘合。 的点，但ｚ＝｜ｚ｜ｅｉａｒｇｚ 和ｚ＝｜ｚ｜ｅｉ （ａｒｇｚ＋４π）看成同一个点，因 为相应的槡ｚ值相同。这样，将一个ｚ平面看成两个重叠的 ｚ 平面，分别称为上叶和下叶；又因为在正实轴上ｚ ＝ｘ ＞ ０，ｚ＝ｘｅｉ０ 和ｚ＝ｘｅｉ４π代表同一个点，所以应将两叶ｚ平面 沿正实轴（称为割线）粘合起来。如果规定上叶割线上岸取 ａｒｇｚ＝０，下岸取ａｒｇｚ＝２π，下叶割线上岸取ａｒｇｚ＝２π， 下叶割线下岸取ａｒｇｚ ＝４π，则应将下叶割线上岸与上叶 割线下岸相粘合，下叶割线下岸与上叶割线上岸粘合而构 成两叶黎曼面，见图１１１３。 一般地，多值函数的黎曼面的构造比较复杂，原则上可 以按如下构造： （１）找出多值函数的所有支点； （２）作割线形成多叶ｚ平面并规定每个正则分支 取 值 即由支点出发作割线以切断 一切可能绕支点的回路达到单值化的目的，再 规 定 每 个 单 值 分 支 的 取值。割线的具体作 法，可以根据实际需要而定，例如按自变量辐角 的 取 值 范 围 或按函数取值划分正则分支， 而且只要规定正则分支在一线段上的函数值，有 时 甚 至 在 一 点 处 的 函 数 值 便 决 定 了 整 个 正则分支； （３）粘合 即将多叶ｚ平面按函数取值相同时相应的割线上下岸粘合起来便构成该多 值函数的黎曼面。 例７ ｗ ＝ｌｎｚ＝ｌｎ｜ｚ｜＋ｉ （ａｒｇｚ＋２ｋπ），ｋ＝０（±１）± ∞。 （１）ｚ＝０，∞是其超越性支点。 （２）沿正实轴作割线（０，＋∞），形成无穷多个正则分支 ｗｋ，这样将一个ｚ平面看成是 沿正实轴割开的无穷多叶ｚ 平面，并规定 ｗｋ｜ｚ＝１在ｃ－ ＝ｉ２ｋπ。 ８１ 第一篇 单复变函数论
第一章单复变解析函数 (3)把上叶的割线的下岸c+与下叶+1割线 的上岸~粘合即形成函数e-ln:的黎曼面。 黎曼面构成后，它任一叶上任一点处的函数值就 完全确定了，例如 wl-k在第o叶上=lni+i牙=交i,因为此时之 e,wl-在1时上=号i,因为此时：=e(+a)。 C 0 例8=√②2一I按函数值1m地≥0和1mw≤ 图1.1.14c和c+分别表示 0划分单值分支并构造黎曼面。 割线的上岸和下岸 (1):=士1是其一阶支点： (2)按函数取值划分：规定1mw≥0和1m心≤0为两个正则分支，此时割线为1mw 0.因1mw=0即w=√-I=t为实数，所以有x2一y2-1=t2,xy=0,解得y=0, x2=1+2即x2≥1，所以割线为沿实轴的(-o∞， -1)和(1，十o∞)。规定上叶为： mw≥0，下叶2：me≤0： (3)粘合：讨论在割线上下岸两个分支的取值：它取决于Re心的取值。令地=u十i,则 u2=d-o2+i2uw=2-1=x2-y2-1+i2xy,所以有1m2=2w=2xy,即Ree= u的取值取决于：在上叶>0，因而有“之0，之0所以有在，G上取u>0 在 u<0,y<0 在G,支上取u<0 下时<0因面流0：”8所有在，上“>0 在中，g上取u<0所以应将上叶的c 与下叶的c,下叶的c与上叶的c相粘合，并将上叶的c生与下叶的c,下叶的c与上 叶的？相粘合而构成两叶黎曼面。 w,(w,) 4<0u>0) 4>0(t<0) mw-0、 Im w-0 >0(u<0) <0(u>0) 图1.1.15割线(1，十∞)的上下岸c和c寸和割线(-∞，-1)的上下岸c和cG ·例9构造e=arcsin的黎曼面。 我们已得之=sie的单叶性区域，由此得其无穷多个正则分支e(见图1.1.12)，其中 一个正则分支即单连通单叶性区域经映射 =sin w sin u ch v-icos u shv (1.1.22) 后变为z平面上去掉割线、即去掉沿实轴上的线段（一○，1）和(1，十∞)的全平面，其边界
图１１１４ ｃ－ 和ｃ＋ 分别表示 割线的上岸和下岸 （３）把上叶 ｗｋ 的割线的下岸ｃ＋ 与下叶 ｗｋ＋１ 割线 的上岸ｃ－ 粘合即形成函数 ｗ ＝ｌｎｚ的黎曼面。 黎曼面构成 后，它 任 一 叶 上 任 一 点 处 的 函 数 值 就 完全确定了，例如 ｗ｜ｚ＝ｉ，在 第０叶 上 ＝ｌｎ｜ｉ｜＋ｉπ ２ ＝ π ２ｉ，因为此时ｚ＝ ｅｉπ／２，ｗ｜ｚ＝ｉ，在 第１叶 上 ＝ ５ ２πｉ，因为此时ｚ＝ｅｉ π （ ） ２＋２π 。 例８ ｗ ＝ ｚ２ 槡 －１按函数值Ｉｍｗ ≥０和Ｉｍｗ ≤ ０划分单值分支并构造黎曼面。 （１）ｚ＝±１是其一阶支点； （２）按函数取值划分：规定Ｉｍｗ ≥０和Ｉｍｗ ≤０为两个正则分支，此时割线为Ｉｍｗ ＝ ０。因Ｉｍｗ ＝０即ｗ ＝ ｚ２ 槡 －１＝ｔ为实数，所以有ｘ２ －ｙ２ －１＝ｔ２，ｘｙ ＝０，解得ｙ＝０， ｘ２ ＝１＋ｔ２ 即ｘ２ ≥１，所以割线为 沿 实 轴 的（－ ∞，－１）和（１，＋ ∞）。规 定 上 叶 为 ｗ１： Ｉｍｗ ≥０，下叶 ｗ２：Ｉｍｗ ≤０； （３）粘合；讨论在割线上下岸两个分支的取值：它取决于 Ｒｅｗ 的取值。令ｗ ＝ｕ＋ｉｖ，则 ｗ２ ＝ｕ２ －ｖ２ ＋ｉ２ｕｖ ＝ｚ２ －１＝ｘ２ －ｙ２ －１＋ｉ２ｘｙ，所以有Ｉｍｗ２ ＝２ｕｖ ＝２ｘｙ，即 Ｒｅｗ ＝ ｕ的取值取决于ｘｙ：在上叶ｖ＞０，因而有 ｕ＞０，ｘｙ ＞０ ｛ｕ＜０，ｘｙ ＜０ ，所以有 在ｃ＋ １ ，ｃ－ ２ 上取ｕ＞０ 在ｃ－ １ ，ｃ＋ ２ 上取ｕ＜ 烅 烄 烆 ０ ；在 下叶ｖ＜０，因而有 ｕ＜０，ｘｙ ＞０ ｛ｕ ＞０，ｘｙ ＜０ ，所以有 在ｃ－ １ ，ｃ＋ ２ 上取ｕ＞０ 在ｃ＋ １ ，ｃ－ ２ 上取ｕ＜ 烅 烄 烆 ０ 。所以应将上叶的ｃ＋ １ 与下叶的ｃ－ １ ，下叶的ｃ＋ １ 与上叶的ｃ－ １ 相粘合，并将上叶的ｃ＋ ２ 与下叶的ｃ－ ２ ，下叶的ｃ＋ ２ 与上 叶的ｃ－ ２ 相粘合而构成两叶黎曼面。 图１１１５ 割线 （１，＋ ∞）的上下岸ｃ－ ２ 和ｃ＋ ２ 和割线 （－ ∞，－１）的上下岸ｃ－ １ 和ｃ＋ １ 例９ 构造 ｗ ＝ａｒｃｓｉｎｚ的黎曼面。 我们已得ｚ＝ｓｉｎｗ 的单叶性区域，由此得其无穷多个正则分支 ｗｋ （见图１１１２），其中 一个正则分支即单连通单叶性区域经映射 ｚ＝ｓｉｎｗ ＝ｓｉｎｕｃｈｖ－ｉｃｏｓｕｓｈｖ （１．１．２２） 后变为ｚ平面上去掉割线、即去掉沿实轴上的线段（－∞，１）和（１，＋∞）的全平面，其边界 第一章 单复变解析函数 ９１
第一篇单复变函数论 分别映射为：平面上的割线的上下岸。 下面要弄清单叶性区域的边界与割线上下岸间的映射关系，从而决定如何粘合。例如 要弄清边界即直线R心=π/2中哪一部分映射为割线的上岸，哪一部分映射为割线的下 岸，然后将相邻正则分支对应多叶：平面的上下叶按其共同边界相对应的上、下岸粘合起 来。当然只需讨论其中一个正则分支（例如）和它左右相邻的两个正则分支(-1和，) Rce=-π2 Re w=/2 1mw≥0 mw≥0 Rew=-π2 Rew=π/2 Im w<0 Im w<0 z sin w Rew=-π2 Rew=开/2 1me>0 1mw>0 Rew=-π2 Re1=元2 Imw≤0 lmw≤0 w平面：w,正则分支 z平面：w。叶 (a) Re w=/ Rcw= 2 sin w Re w /2 Imw≤0 W,正则分支 w叶 Rew=-π/2 lmw≥0 Re w-R/2 1mw≥0 z=sin w 1 Re w=-π2 Im w<0 Re w ”正则分支 w,叶 (e) 图1.1.16正则分支w,%,w-1的上下半带的边界分别映射为z 平面上相应黎曼面各叶,，-1上相应割线的上下岸
分别映射为ｚ平面上的割线的上下岸。 下面要弄清单叶性区域的边界与割线上下岸间的映射关系，从而决定如何粘合。例如 要弄清边界即直线 Ｒｅｗ ＝π／２中哪一部分映射为割线的上岸，哪一部分映射为割线的下 岸，然后将相邻正则分支对应多叶ｚ平面的上下叶按其共同边界相对应的上、下岸粘合起 来。当然只需讨论其中一个正则分支（例如 ｗ０）和它左右相邻的两个正则分支（ｗ－１和 ｗ１） 图１１１６ 正则分支ｗ０，ｗ１，ｗ－１的上下半带的边界分别映射为ｚ 平面上相应黎曼面各叶ｗ０，ｗ１，ｗ－１上相应割线的上下岸 ０２ 第一篇 单复变函数论