第一章单复变解析函数 21 相应的多叶：平面上的三叶(w-1,o,四)间如何粘合就足够了。下面就讨论它们之间的 边界Ret=士π/2与割线上下岸间对应关系。 uo的边界Rew=π/2，由(1.1.22)式得：=chv≥1，所以Reu=π/2映射为x平 面上沿实轴的直线段[1，○)的上下岸。对于。分支而言，由(1.1.22)式知其上半带 一π/2<Rew<π/2，v=1mw>0映射为z平面的下半平面，下半带则映射为上半平面 所以其上半带的边界Rew=π/2，mw≥0映射为o叶的割线[1，∞)的下岸，而下半带 的边界Rew=受，Imw≤0映射为割线[1，∞)的上岸。类似地可得的边界Rew一 -π/2中上半带边界Rew=一/2，mw≥0映射为叶割线（一oo,一l]的下岸，下半 带边界Ree=一π/2，Im≤0映射为o叶割线（一oo,一1]的上岸。 类似的讨论可知，1的上半带和下半带的边界Ree=π/2，Im心≥0和Imw≤0分 别映射为叶割线[1，o∞)的上下岸，而w-,的上下半带的边界Rew=一π/2，Ime≥0和 Im≤0分别映射为-1叶割线（一c∞，一1]的上下岸。所以最后沿w-1,o和上下 半带的边界各自对应的割线[1，∞)，（一∞，一1]的上下岸粘合起来，即将。叶沿割线 [1,∞)的下岸与相应割线上岸，割线[1，∞)下岸与o相应割线的上岸分别粘合 将叶沿割线（一0，一1]的下岸与w-:相应割线的上岸，-割线（一○，一1]的下岸与 。相应割线的上岸粘合起来。将无穷多叶之平面的所有上下叶间按上法粘合起来便得 w=arcsin之的黎曼面。 w. 图1.1.17函数w=aresin的黎曼面 相邻三叶间沿割线（一6∞，一1]，[1，+6∞）的粘合， 从黎曼面可以看出，=士l是=arcsin一阶支点，=o∞为其无穷阶支点：在支点 之=士1处，并不是把黎曼面的所有叶都连在一起，只是将。，叶在x=1点连在一起，将 -1,o叶在x=一I点连在一起。因为单叶性区域边界Ree=牙十kπ映射为z平面上 的割线：=（一1）产ch,所以当k为偶数时，相邻，1叶在之=1点相连，k为奇数时 ,4,叶在：=一1点相连。所以：=士1在黎曼面上形成无穷多个一阶支点。由此，支 点的阶数还可以定义为它连接的黎曼面的叶数。 小 结 1.引入新对象：复数，实数是其特例
相应的多叶ｚ平面上的三叶（ｗ－１，ｗ０，ｗ１）间如何粘合就足够了。下面就讨论它们之间的 边界 Ｒｅｗ ＝±π／２与割线上下岸间对应关系。 ｗ０ 的边界 Ｒｅｗ ＝π／２，由（１１２２）式得ｚ＝ｃｈｖ≥１，所以 Ｒｅｗ ＝π／２映射为ｚ平 面上沿实 轴 的 直 线 段［１，∞）的 上 下 岸。 对 于 ｗ０ 分 支 而 言，由（１１２２）式 知 其 上 半 带 －π／２＜Ｒｅｗ ＜π／２，ｖ＝Ｉｍｗ ＞０映射为ｚ平面的下半平面，下半带则映射为上半平面， 所以其上半带的边界 Ｒｅｗ ＝π／２，Ｉｍｗ ≥０映射为ｗ０ 叶的割线［１，∞）的下岸，而下半带 的边界 Ｒｅｗ ＝ π ２，Ｉｍｗ ≤０映射为割线［１，∞）的上岸。类似地可得 ｗ０ 的边界 Ｒｅｗ ＝ －π／２中上半带边界 Ｒｅｗ ＝－π／２，Ｉｍｗ ≥０映射为ｗ０ 叶割线（－ ∞，－１］的下岸，下半 带边界 Ｒｅｗ ＝－π／２，Ｉｍｗ ≤０映射为 ｗ０ 叶割线（－ ∞，－１］的上岸。 类似的讨论可知，ｗ１ 的上半带和下半带的边界 Ｒｅｗ ＝π／２，Ｉｍｗ ≥０和Ｉｍｗ ≤０分 别映射为ｗ１ 叶割线［１，∞）的上下岸，而ｗ－１的上下半带的边界 Ｒｅｗ ＝－π／２，Ｉｍｗ ≥０和 Ｉｍｗ ≤０分别映射为ｗ－１叶割线（－ ∞，－１］的上下岸。所以最后沿 ｗ－１，ｗ０ 和ｗ１ 上下 半带的边界各自对应的割线［１，∞），（－ ∞，－１］的 上 下 岸 粘 合 起来，即 将 ｗ０ 叶 沿 割 线 ［１，∞）的下岸与 ｗ１ 相应割线上岸，ｗ１ 割线［１，∞）下岸与 ｗ０ 相应割线的上岸分别粘合； 将ｗ０ 叶沿割线（－∞，－１］的下岸与ｗ－１相应割线的上岸，ｗ－１割线（－∞，－１］的下岸与 ｗ０ 相应割线的上岸 粘 合 起 来。将 无 穷 多 叶ｚ 平 面 的 所 有 上 下 叶 间 按 上 法 粘 合 起 来 便 得 ｗ ＝ａｒｃｓｉｎｚ的黎曼面。 图１１１７ 函数ｗ ＝ａｒｃｓｉｎｚ的黎曼面 相邻三叶间沿割线（－ ∞，－１］，［１，＋ ∞）的粘合。 从黎曼面可以看出，ｚ＝±１是ｗ ＝ａｒｃｓｉｎｚ一阶支点，ｚ＝ ∞ 为其无穷阶支点；在支点 ｚ＝±１处，并不是把黎曼面的所有叶都连在一起，只是将ｗ０，ｗ１ 叶在ｚ＝１点连在一起，将 ｗ－１，ｗ０ 叶在ｚ＝－１点连在一起。因为单叶性区域边界 Ｒｅｗ ＝ π ２ ＋ｋπ映射为ｚ平面上 的割线ｚ＝（－１）ｋ ｃｈｖ，所以当ｋ为偶数时，相邻ｗｋ，ｗｋ＋１ 叶在ｚ＝１点相连，ｋ为奇数时， ｗｋ，ｗｋ＋１ 叶在ｚ＝－１点相连。所以ｚ＝±１在黎曼面上形成无穷多个一阶支点。由此，支 点的阶数还可以定义为它连接的黎曼面的叶数。 小 结 １ 引入新对象：复数，实数是其特例。 第一章 单复变解析函数 １２
第一篇单复变函数论 2.引入新运算，即对实数的运算进行扩充，定义复数的运算，本章涉及代数运算、初级 超越运算和极限运算、微商运算。还有积分和无穷级数，这是后两章的内容。 3。新旧不矛盾。在定义复数的运算时需且只需遵循新旧不矛盾的原则，即当复数退化 为实数时，其运算结果和实数相应运算结果相同。这种相容性(consistency)是扩充过程的 核心。从不矛盾性出发就容易理解诸如虚指数函数的定义(1.1.3)和复平面上只有一个无 穷远点的定义的合理性。 本章的重点是解析函数概念，这里是从导数出发定义的，即开区域内处处可导的函数， 是一个区域性质。复变函数在开区域内处处可导（即解析）并不和其实部、虚部处处可导等 价，而必需且只需附加C-R条件，这就是所谓解析函数的导数特征。 本章的难点是多值函数及其单值化，特别是黎曼面，它是现代数学的一个基本概念一 流形(manifold)的最初例子，它描述了多值解析函数的整体性质，它在实际应用中是很重要 的。本书只举了若干比较简单的例子，有兴趣的读者可阅有关参考文献
２ 引入新运算，即对实数的运算进行扩充，定义复数的运算，本章涉及代数运算、初级 超越运算和极限运算、微商运算。还有积分和无穷级数，这是后两章的内容。 ３ 新旧不矛盾。在定义复数的运算时需且只需遵循新旧不矛盾的原则，即当复数退化 为实数时，其运算结果和实数相应运算结果相同。这种相容性（ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ）是扩充过程的 核心。从不矛盾性出发就容易理解诸如虚指数函数的定义（１１３）和复平面上只有一个无 穷远点的定义的合理性。 本章的重点是解析函数概念，这里是从导数出发定义的，即开区域内处处可导的函数， 是一个区域性质。复变函数在开区域内处处可导（即解析）并不和其实部、虚部处处可导等 价，而必需且只需附加 ＣＲ条件，这就是所谓解析函数的导数特征。 本章的难点是多值函数及其单值化，特别是黎曼面，它是现代数学的一个基本概念——— 流形（ｍａｎｉｆｏｌｄ）的最初例子，它描述了多值解析函数的整体性质，它在实际应用中是很重要 的。本书只举了若干比较简单的例子，有兴趣的读者可阅有关参考文献。 ２２ 第一篇 单复变函数论
第二章单复变函数积分 继续扩充，引入新运算：复变函数积分。 §1复变函数积分 定义复变函数f()沿有向有限曲线c的积分 ∫rea 。=B 如下：将曲线c任意细分（见图1.2.1），然后作部分和 s.=K)△4 k-1 若极限 limS. 存在，且与曲线c的细分方法：无关，则称函数八：)沿曲从A到B把曲线分成小假，设分点为” 图1.2.1将曲线c细分 线c可积，此极限值称为函数(z)沿曲线c的积分，记作 =A,,…,-1,…,=B △4=一-1，为小段[-1,4]上 limS.-f()d (1.2.1)任意一点. 若c是闭曲线，记作为 6f(edz 表示因自变数和函数各有多种表示，所以积分也有多种表示，其结果都化为两个普通 的平面线积分。如自变数和函数都取直角表示，则有积分的直角表示 f()d:=(u+iv)(dr+idy)=udr-vdy+iudy+ur (1.2.2) 积分性质和普通线积分类似，复变函数积分具有下列性质： (1)线性性质 (aifi+azf:)dz=a fidz+az f:dz (2)沿全路线积分和沿部分路线积分 ,=+,a 十严格地说，还要求厂0压=0：ana为，e的交集：
第二章 单复变函数积分 继续扩充，引入新运算：复变函数积分。 §１ 复变函数积分 定义 复变函数ｆ（ｚ）沿有向有限曲线ｃ的积分 图１２１ 将曲线ｃ细分 从Ａ 到Ｂ 把曲线分成小段，设分点为ｚ０ ＝Ａ，ｚ１，…，ｚｋ－１，ｚｋ，…，ｚｎ ＝ Ｂ， Δｚｋ ＝ｚｋ－ｚｋ－１，ζｋ为小段［ｚｋ－１，ｚｋ］上 任意一点。 ∫ｃ ｆ（ｚ）ｄｚ 如下：将曲线ｃ任意细分（见图１２１），然后作部分和 Ｓｎ ＝ ∑ ｎ ｋ＝１ ｆ（ζｋ）Δｚｋ 若极限 ｌｉｍΔｚｋ→０ Ｓｎ 存在，且与曲线ｃ的细分方法ζｋ 无关，则称函数ｆ（ｚ）沿曲 线ｃ可积，此极限值称为函数ｆ（ｚ）沿曲线ｃ的积分，记作 ｌｉｍΔｚｋ→０ Ｓｎ ＝∫ｃ ｆ（ｚ）ｄｚ （１２１） 若ｃ是闭曲线，记作为 ∮ｃ ｆ（ｚ）ｄｚ 表示 因自变数和函数各有多种表示，所以积分也有多种表示，其结果都化为两个普通 的平面线积分。如自变数和函数都取直角表示，则有积分的直角表示 ∫ｃ ｆ（ｚ）ｄｚ＝∫ｃ （ｕ＋ｉｖ）（ｄｘ＋ｉｄｙ）＝∫ｃ ｕｄｘ－ｖｄｙ＋∫ｉｃ ｕｄｙ＋ｖｄｘ （１．２．２） 积分性质 和普通线积分类似，复变函数积分具有下列性质： （１）线性性质 ∫ｃ （α１ｆ１ ＋α２ｆ２）ｄｚ＝α∫１ ｃ ｆ１ｄｚ＋α∫２ ｃ ｆ２ｄｚ （２）沿全路线积分和沿部分路线积分 严格地说，还要求∫ｃ１∩ｃ２ ｆｄｚ＝０，ｃ１ ∩ｃ２ 为ｃ１，ｃ２ 的交集。 ∫ｃ＝ｃ１∪ｃ２ ｆｄｚ＝∫ｃ１ ｆｄｚ＋∫ｃ２ ｆｄｚ
第一篇单复变函数论 其中c1Uc2为，c2的并集，以后亦记为c+c2。 (3)积分曲线反向 ∫f:d=-∫f:d (4)不等式 1fxal≤Ix)dkl 计算方法若将复平面上曲线用参数方程表示，设为 z=z(t),t:a→b 则有 ∫fede-re'd (1.2.3) 即化成单实变数复值函数的一元积分。计算时要根据具体的积分来选择参数，：和∫(：) 的表示，以便简化计算。 例1计算积分 1:ldz 其中c分别取c1和c2。 解G的参数方程选为x=iy,y:一1→1，的参数方程选为x=,p:号x→艺， 于是有 eld=-de-lde -2i 复变函数广义积分定义分两种情况，一种 是沿无限曲线的广义积分，一种是被积函数在曲 线上一些点处取∞时的广义积分。只需定义曲线 一端在无穷远处的无穷限广义积分和在曲线的一 个端点处被积函数取无穷值时的无穷值广义积分。 曲线一端在无穷远处时的广义积分在曲线 上任取一有限点B,若在c上从另一端点A到B 的积分存在，且当B→∞时的极限m(e)d: 图1.2.2曲线c1,c2 亦存在，则称此极限值为函数f(:)沿曲线c的 c1:从一i到i的直线段：c:以O为心，从一i到i的 (无穷限)广义积分，记作f(z)d:。 左半圆周。 在有限曲线的一端A被积函数取∞时的无穷值广义积分在c上取离端点A很近的 点A若沿曲线c从点A,到另一端点B的积分八：止和其极限职了：)d都存 在，则称此极限值为f(z)沿c的（无穷值）广义积分，也记作f(z)dz
其中ｃ１ ∪ｃ２ 为ｃ１，ｃ２ 的并集，以后亦记为ｃ１ ＋ｃ２。 （３）积分曲线反向 ∫ｃ＋ｆ（ｚ）ｄｚ＝－∫ｃ－ｆ（ｚ）ｄｚ （４）不等式 ｜∫ｃ ｆ（ｚ）ｄｚ｜≤∫ｃ ｜ｆ（ｚ）｜｜ｄｚ｜ 计算方法 若将复平面上曲线用参数方程表示，设为 ｚ＝ｚ（ｔ），ｔ：ａ→ｂ 则有 ∫ｃ ｆ（ｚ）ｄｚ＝∫ ｂ ａ ｆ（ｚ（ｔ））ｚ′（ｔ）ｄｔ （１．２．３） 即化成单实变数复值函数的一元积分。计算时要根据具体的积分来选择参数ｔ，ｚ和ｆ（ｚ） 的表示，以便简化计算。 例１ 计算积分 ∫ｃ ｜ｚ｜ｄｚ 其中ｃ分别取ｃ１ 和ｃ２。 解 ｃ１ 的参数方程选为ｚ＝ｉｙ，ｙ：－１→１，ｃ２ 的参数方程选为ｚ＝ｅｉφ，φ：３ ２π→ π ２， 于是有 ∫ｃ１ ｜ｚ｜ｄｚ＝∫ １ －１ ｜ｉｙ｜ｄｉｙ＝ｉ， ∫ｃ２ ｜ｚ｜ｄｚ＝∫ π ２ ３π ２ ｜ｅｉφ ｜ｄｅｉφ ＝２ｉ 图１２２ 曲线ｃ１，ｃ２ ｃ１：从－ｉ到ｉ的直线段；ｃ２：以Ｏ 为心，从－ｉ到ｉ的 左半圆周。 复变函数广义积分定义 分两种情况，一种 是沿无限曲线的广义积分，一种是被积函数在曲 线上一些点处取∞时的广义积分。只需定义曲线 一端在无穷远处的无穷限广义积分和在曲线的一 个端点处被积函数取无穷值时的无穷值广义积分。 曲线一端在无穷远处时的广义积分 在曲线 上任取一有限点Ｂ，若在ｃ上从另一端点Ａ 到Ｂ 的积分存在，且 当 Ｂ→∞时 的 极 限ｌｉｍＢ→∫∞ Ｂ Ａ ｆ（ｚ）ｄｚ 亦存在，则称 此 极 限 值 为 函 数 ｆ（ｚ）沿 曲 线ｃ的 （无穷限）广义积分，记作∫ｃ ｆ（ｚ）ｄｚ。 在有限曲线的一端 Ａ 被积函数取∞时的无穷值广义积分 在ｃ上取离端点Ａ 很近的 点Ａε，若沿曲线ｃ从点Ａε 到另一端点Ｂ 的积分∫ Ｂ Ａε ｆ（ｚ）ｄｚ和其极限 ｌｉｍＡε→Ａ∫ Ｂ Ａε ｆ（ｚ）ｄｚ都存 在，则称此极限值为ｆ（ｚ）沿ｃ的（无穷值）广义积分，也记作∫ｃ ｆ（ｚ）ｄｚ。 ４２ 第一篇 单复变函数论
第二章单复变函数积分 25 §2柯西定理一解析函数的积分特征 问题上节的积分计算例子说明，当始终点相同但积分路线不同时，其积分值不同， 即积分值不仅与始终点有关而且与积分路线也有关。因为函数！：处处不解析，所以导 致积分与路线有关。那么什么情况下积分值只与始终点有关而与积分路线无关呢？本 节的核心就是讨论这个问题。结论是若f(:)在单通区域D内解析，c在D内，那么积分 与路线无关。 若干名词为便于叙述，介绍几个名词。 (l)若尔当(Jordan)曲线，也称简单曲线或连续曲线 若曲线的参数方程为x=(t),a≤t≤b,具有性质 (1.1)z(t)是1在[a,b]上的单值连续函数， (1.2)t1≠t2时，(1)≠(t2),即曲线没有重点，则称该曲线为若尔当曲线。 (2)光滑和分段光滑曲线 若曲线有连续变化的切线，则称它为光滑曲线。若曲线参数方程为：=(：)，则曲线的 光滑性可表述为 (2.1)导数x'(t)(a≤t≤b)存在且连续， (2.2)z'(t)≠0，它保证在任一t∈[a,b们邻域，x(t)和y(t)都存在唯一连续可导反函 数.例如曲线：()=号(+i),-1≤1≤1，显然：()存在且连续，但：(0)-0， 此时y=|tP在1=0邻域反函数不唯一，且该曲线在t=0点无切线。这是显然的，因为 消去参数后，曲线方程为y=|x|。 若一曲线分成若干段，每一段都光滑，则称其为分段光滑曲线。 (3)有限闭曲线的逆和顺时针方向 相对于有限闭曲线所围的面积（为单通区域）而言，若人沿曲线的某方向移动时，所围之 面积始终在左（右）边时，则称这个方向为这个闭曲线的逆（顺）时针方向。沿逆时针方向有 限闭曲线的积分记作少f(x)d· 也可以定义如下：设一指针，其始点固定在有限闭曲线所围面积之内，若指针沿曲线某 方向移动时为逆（顺）时针方向，则称这个方向为闭曲线的逆（顺）时针方向。 (4)被考察区域的边界的正向和负向 相对于被考察区域而言，若人沿这个方向移动时使 被考察区域始终在左（右）边时，称这个方向为该边界的 D 正（负）向。显然这个定义适用性很广，包括单通、复通 区域，也包括有界与无界区域。沿正向的积分也常记作 ∮f(xd。 定理1.2.1（柯西第一（积分）定理)D为有限单通 图1.2.3被考察复通区域 区域，其边界为c(常记为D,为取正向的边界)， D的边界的正向
§２ 柯西定理———解析函数的积分特征 问题 上节的积分计算例子说明，当 始 终 点 相 同 但 积 分 路 线 不 同时，其 积 分 值 不 同， 即积分值不仅与始终点有关而且与积分路线也有关。因为函数｜ｚ｜处 处 不 解 析，所 以 导 致积分与路线有关。那 么 什 么 情 况 下 积 分 值 只 与 始 终 点 有 关 而 与 积 分 路 线 无 关 呢？ 本 节的核心就是讨论这个问题。结论是若ｆ（ｚ）在 单 通 区 域 Ｄ 内 解 析，ｃ在 Ｄ 内，那 么 积 分 与路线无关。 若干名词 为便于叙述，介绍几个名词。 （１）若尔当（Ｊｏｒｄａｎ）曲线，也称简单曲线或连续曲线 若曲线的参数方程为ｚ＝ｚ（ｔ），ａ≤ｔ≤ｂ，具有性质 （１１）ｚ（ｔ）是ｔ在［ａ，ｂ］上的单值连续函数， （１２）ｔ１ ≠ｔ２ 时，ｚ（ｔ１）≠ｚ（ｔ２），即曲线没有重点，则称该曲线为若尔当曲线。 （２）光滑和分段光滑曲线 若曲线有连续变化的切线，则称它为光滑曲线。若曲线参数方程为ｚ＝ｚ（ｔ），则曲线的 光滑性可表述为 （２１）导数ｚ′（ｔ）（ａ≤ｔ≤ｂ）存在且连续， （２２）ｚ′（ｔ）≠０，它保证在任一ｔ∈［ａ，ｂ］邻域，ｘ（ｔ）和ｙ（ｔ）都存在唯一连续可导反函 数。例如曲线ｚ（ｔ）＝ １ ３ （ｔ３ ＋ｉ｜ｔ｜３），－１≤ｔ≤１，显然ｚ′（ｔ）存在且连续，但ｚ′（０）＝０， 此时ｙ＝｜ｔ｜３ 在ｔ＝０邻域反函数不唯一，且该曲线在ｔ＝０点无切线。这是显然的，因为 消去参数后，曲线方程为ｙ＝｜ｘ｜。 若一曲线分成若干段，每一段都光滑，则称其为分段光滑曲线。 （３）有限闭曲线的逆和顺时针方向 相对于有限闭曲线所围的面积（为单通区域）而言，若人沿曲线的某方向移动时，所围之 面积始终在左（右）边时，则称这个方向为这个闭曲线的逆（顺）时针方向。沿逆时针方向有 限闭曲线的积分记作ｃ ｆ（ｚ）ｄｚ。 也可以定义如下：设一指针，其始点固定在有限闭曲线所围面积之内，若指针沿曲线某 方向移动时为逆（顺）时针方向，则称这个方向为闭曲线的逆（顺）时针方向。 图１２３ 被考察复通区域 Ｄ 的边界的正向 （４）被考察区域的边界的正向和负向 相对于被考察区域而言，若人沿这个方向移动时使 被考察区域始终在左（右）边时，称这个方向为该边界的 正（负）向。显 然 这 个 定 义 适用 性 很 广，包 括 单 通、复 通 区域，也包括有界与无界区域。沿正向的积分也常记作 ｃ ｆ（ｚ）ｄｚ。 定理１２１（柯西第一（积分）定理） Ｄ 为有限单通 区域，其边界为ｃ（常记为Ｄ，为取正向的边界）， 第二章 单复变函数积分 ５２