Contents 3 Discrete wavelet transforms and frame theory …499 $1 Stability,continuity and boundedness of linear operators..499 §2 Frame theory……………501 §3 Frames of wavelets…507 4 Multiresolution analysis …51 $1 One-dimensional orthogonal multiresolution analysis..511 $2 Orthogonal multiresolution analysis in higher dimensions.......522 $3 Fast orthogonal discrete wavelet transforms..524 $4 One-dimensional biorthogonal multiresolution analysis …533 5 Orthogonal or biorthogonal bases of real,compactly supported and smooth discrete wavelets……538 1 Construction of real two-scale sequences538 §2 Check on some basic requirements…544 $3 Finite frequency width,regularity and vanishing moments..547 $4 Fast algorithm to compute father and mother wavelets-cascade alg0 rithm…559 §5 Symmetrical wavelets…56l 6 Wavelets'applications to solution for equations of mathematical physics …567 §1 Formulation of the problem…567 $2 Caderon-Zygmund operators and psudodifferential 83 Operator compression...573 $4 Second-generation wavelets,wavelet collocation method Problems …591 References……602 Index 605
３Ｄｉｓｃｒｅｔｅｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍｓａｎｄｆｒａｍｅｔｈｅｏｒｙ ………………………………………… ４９９ §１ Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ，ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙａｎｄｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓｏｆｌｉｎｅａｒｏｐｅｒａｔｏｒｓ ４９９ ………………… §２ Ｆｒａｍｅｔｈｅｏｒｙ …………………………………………………………………… ５０１ §３ Ｆｒａｍｅｓｏｆｗａｖｅｌｅｔｓ ５０７ …………………………………………………………… ４Ｍｕｌｔｉｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎａｎａｌｙｓｉｓ ………………………………………………………………… ５１１ §１ Ｏｎｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｍｕｌｔｉｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎａｎａｌｙｓｉｓ ５１１ ……………………… §２ Ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｍｕｌｔｉｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎａｎａｌｙｓｉｓｉｎｈｉｇｈｅｒｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ５２２ ………………… §３ Ｆａｓｔｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｄｉｓｃｒｅｔｅｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍｓ ５２４ ………………………………… §４ Ｏｎｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｂｉｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｍｕｌｔｉｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎａｎａｌｙｓｉｓ ５３３ …………………… ５Ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｏｒｂｉｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｂａｓｅｓｏｆｒｅａｌ，ｃｏｍｐａｃｔｌｙｓｕｐｐｏｒｔｅｄａｎｄｓｍｏｏｔｈ ｄｉｓｃｒｅｔｅｗａｖｅｌｅｔｓ…………………………………………………………………………… ５３８ §１ Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｏｆｒｅａｌｔｗｏｓｃａｌｅｓｅｑｕｅｎｃｅｓ ５３８ …………………………………… §２ Ｃｈｅｃｋｏｎｓｏｍｅｂａｓｉｃｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓ ５４４ …………………………………………… §３ Ｆｉｎｉｔｅｆｒｅｑｕｅｎｃｙｗｉｄｔｈ，ｒｅｇｕｌａｒｉｔｙａｎｄｖａｎｉｓｈｉｎｇｍｏｍｅｎｔｓ ５４７ ………………… §４ Ｆａｓｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｔｏｃｏｍｐｕｔｅｆａｔｈｅｒａｎｄｍｏｔｈｅｒｗａｖｅｌｅｔｓ—ｃａｓｃａｄｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ５５９ ………………………………………………………………………… §５ Ｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌｗａｖｅｌｅｔｓ ５６１ ………………………………………………………… ６Ｗａｖｅｌｅｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｔｏｓｏｌｕｔｉｏｎｆｏｒｅｑｕａｔｉｏｎｓｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｐｈｙｓｉｃｓ …………… ５６７ §１ Ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍ ５６７ …………………………………………………… §２ ＣａｄｅｒóｎＺｙｇｍｕｎｄｏｐｅｒａｔｏｒｓａｎｄｐｓｕｄｏｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｏｐｅｒａｔｏｒｓ ５６９ ……………… §３ Ｏｐｅｒａｔｏｒｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ ５７３ ………………………………………………………… §４ Ｓｅｃｏｎｄｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｗａｖｅｌｅｔｓ，ｗａｖｅｌｅｔｃｏｌｌｏｃａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ ５７９ ………………… Ｐｒｏｂｌｅｍｓ …………………………………………………………………………………… ５９１ Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ …………………………………………………………………………………… ６０２ Ｉｎｄｅｘ ………………………………………………………………………………………… ６０５ ４ 犆狅狀狋犲狀狋狊
第一 篇 单复变函数论
第 一 篇 单 复 变 函 数 论
引言 负数开方在实数范围内没有意义，即平方的逆运算产生了困难。为此将实数扩充为 复数。 任何一种扩充需且只需满足三个原则，即 1.对旧数学对象加以扩充而引入新数学对象，而旧数学对象是新数学对象的特殊 情况 2。对旧数学对象的运算加以扩充从而建立新数学对象的运算。 3.这种扩充与旧的数学对象和运算不发生矛盾，即新运算作用到旧对象上化为旧 运算。 以上三原则简单地说就是引入新对象和新运算，它们与旧的不发生矛盾。只要满足这 三原则，任何扩充都是科学的。其实整个数学和物理学都是基于这种扩充过程。复变函数 论、外微分形式、广义函数论以及伪微分算符等等都是这种扩充思想的产物，学习这些内容 时必须紧紧抓住这一点 复数是在纯数学研究中，特别是一元三次代数方程求解的研究中产生的，但是一直到它 有了几何解释并应用于物理和工程的研究，特别是流体力学的研究，单复变函数论才得到迅 速的发展和完善。现在几乎所有数学，物理和工程的研究中都离不开这个数学分支
引 言 负数开方在实数 范 围 内 没 有 意 义，即 平 方 的 逆 运 算 产 生 了 困难。为此将实数扩充为 复数。 任何一种扩充需且只需满足三个原则，即 １．对旧数学对象加以扩 充 而 引 入 新 数 学 对 象，而 旧 数 学 对 象 是 新 数 学 对 象 的 特 殊 情况。 ２．对旧数学对象的运算加以扩充从而建立新数学对象的运算。 ３．这种扩充与旧的数学 对 象 和 运 算 不 发 生 矛 盾，即 新 运 算 作 用 到 旧 对 象 上 化 为 旧 运算。 以上三原则简单地说就是引入新对象和新运算，它们与旧的不发生矛盾。只要满足这 三原则，任何扩充都是科学的。其实整个数学和物理学都是基于这种扩充过程。复变函数 论、外微分形式、广义函数论以及伪微分算符等等都是这种扩充思想的产物，学习这些内容 时必须紧紧抓住这一点。 复数是在纯数学研究中，特别是一元三次代数方程求解的研究中产生的，但是一直到它 有了几何解释并应用于物理和工程的研究，特别是流体力学的研究，单复变函数论才得到迅 速的发展和完善。现在几乎所有数学、物理和工程的研究中都离不开这个数学分支
第一章 单复变解析函数 引入新对象：复数：引入新运算：复数的代数运算、初等超越运算、极限运算和微商。定 义这些概念时需且只需遵循扩充三原则。 解析函数(analytic function),亦称全纯(holomorphic)函数，早先，亦称正则(regular)函 数或单演(monogenic)函数。它是复变函数主要研究对象。 §1复数表示及其初等运算 复数定义及其表示 复数定义形为g=x+iy的数称为复数，其中x,y为两实数，=一1.记x=Re, y=1m,分别称为复数z的实部和虚部。 复数表示几何表示，即用几何形象表示复 数。在平面上建立直角坐标系，这样平面上一点可 虚轴 用其坐标，即一对有序实数(x,y)表示，而复数亦为 一对有序实数即其实部和虚部决定。所以复数和平 2(x,y 面上的点（因而矢量O龙）建立了一一对应关系。这 样的点或矢量称为复数的几何表示。建立了这种对 应关系的平面称为复平面，x和y轴分别称为实轴 0 和虚轴。x十iy也称复数的直角表示，z称为复数的 实轴 图1.1.1复平面 抽象表示，它与坐标系的选择无关。 =+iy(r.y) 三角表示在平面上引入极坐标系 (x rcos r=vr+y 或 y =rsin o arctan (1.1.1) 则z=r(cosg十isin),称为复数的三角表示，其中r=|z|称为复数的模，g=arg:称为 复数的辐角(argument). 一个复数的辐角是多值的，它们之间相差2π的整数倍。这里规定，0≤arg:<2π（有 的规定一π≤arg之<π)为主辐角。有时为了区分任意辐角与主辐角，用Arg表示任意辐 角，用arg表示主辐角，即有 Arg之=arg之+2kπ，k=0(士1)士o∞ (1.1.2) 在不会引起混淆的地方，辐角都用arg之表示。还要注意，正切函数的周期是π，所以p= arctan义在主辐角范围内仍是两值的，即比值义还不能完全决定p,还取决于点(x,y)在复
第一章 单复变解析函数 引入新对象：复数；引入新运算：复数的代数运算、初等超越运算、极限运算和微商。定 义这些概念时需且只需遵循扩充三原则。 解析函数（ａｎａｌｙｔｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ），亦称全纯（ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ）函数，早先，亦称正则（ｒｅｇｕｌａｒ）函 数或单演（ｍｏｎｏｇｅｎｉｃ）函数。它是复变函数主要研究对象。 §１ 复数表示及其初等运算 复数定义及其表示 复数定义 形为ｚ＝ｘ＋ｉｙ的数称为复数，其中ｘ，ｙ为两实数，ｉ２ ＝－１。记ｘ＝Ｒｅｚ， ｙ＝Ｉｍｚ，分别称为复数ｚ的实部和虚部。 图１１１ 复平面 ｚ＝ｘ＋ｉｙ（ｘ，ｙ）Ｏｚ→ 复数表 示 几 何 表 示，即 用 几 何 形 象 表 示 复 数。在平面上建立直角坐标系，这样平面上一点可 用其坐标，即一对有序实数（ｘ，ｙ）表示，而复数亦为 一对有序实数即其实部和虚部决定。所以复数和平 面上的点（因 而 矢 量Ｏｚ→）建 立 了 一 一 对 应 关 系。这 样的点或矢量称为复数的几何表示。建立了这种对 应关系的平面称为复平面，ｘ 和ｙ 轴分别称为实轴 和虚轴。ｘ＋ｉｙ也称复数的直角表示，ｚ称为复数的 抽象表示，它与坐标系的选择无关。 三角表示 在平面上引入极坐标系 ｘ ＝ｒｃｏｓφ ｛ｙ＝ｒｓｉｎφ 或 ｒ＝ ｘ２ 槡 ＋ｙ２ 烅 φ＝ａｒｃｔａｎｙ 烄 烆 ｘ （１１１） 则ｚ＝ｒ（ｃｏｓφ＋ｉｓｉｎφ），称为复数的三角表示，其中ｒ＝｜ｚ｜称为复数的模，φ＝ａｒｇｚ称为 复数的辐角（ａｒｇｕｍｅｎｔ）。 一个复数的辐角是多值的，它们之间相差２π的整数倍。这里规定，０≤ａｒｇｚ＜２π（有 的规定 －π≤ａｒｇｚ＜π）为主辐角。有时为了区分任意辐角与主辐角，用 Ａｒｇ表示任意辐 角，用ａｒｇ表示主辐角，即有 Ａｒｇｚ＝ａｒｇｚ＋２ｋπ，ｋ＝０（±１）± ∞ （１１２） 在不会引起混淆的地方，辐角都用ａｒｇｚ表示。还要注意，正切函数的周期是 π，所以φ ＝ ａｒｃｔａｎｙ ｘ 在主辐角范围内仍是两值的，即比值ｙ ｘ还不能完全决定φ，还取决于点（ｘ，ｙ）在复
第一章单复变解析函数 5 平面上所在的象限。 指数表示定义虚指数函数为复数 e￥=cosg+isin (1.1.3) 则有 之=r(cosp+isin)=re (1.1.4) 称为复数的指数表示。为什么定义(1.1.3)是合理的？判断标准只能是一个，即这个定义符 合扩充三原则，特别是新旧不矛盾的原则。以后将通过复数项级数证明。 复数的三种表示，即三角表示、指数表示和几何表示各有各的用处。以后对复数运算的 定义都必须选择其中一个表示，而任何运算结果都必须最后落实于一种表示，不然不能算计 算已经完成。 几何表示的补充定义|：|=∞和复平面上一点对应，这个点称为无穷远点。引入了 单个无穷远点的复平面称为扩充了的复平面或称全复平面，而不含无穷远点的复平面称为 有限复平面。我们用一∞+i0,十o∞+i0,0一i∞和0+i∞等等，表示趋向于c∞的不同的 方向。为什么可以这样定义，即为什么可以定义复平面上只有一个无穷远点？回答也只能 是一个，即这种定义符合扩充三原则。复变函数理论的和谐证明了这种定义是合理的。 图1.1.2测地投影 一球面和平面相切，切点称为南极5，自S作平面垂线交球面于另一点，称为北极N:自V作任一直线和球 面、平面分别有交点P、P,这样平面上有限点P和球面上点P建立 一对应：当P∞时，无论沿什么方 向趋向于∞时，相应的P点都趋向于一点N。 有人用所谓测地投影，即球面上一点和平面一点之间的一一对应（见图1.1.2）米说明 复平面上只有一个无穷远点。但这是在假定一一对应的前提下才有的结论，所以不能作为 定义的根据。 复数的基本关系及代数运算引入新元素后，接下来便是对各种运算的扩充。记4= 工+iy4,k=1,2,定义 相等1=2←→=x2,=业，即复数相等，定义为实部虚部对应相等。 共轭乏≌x一iy 相加1十2会(x1十x)+i(y十) 相乘 ·✉（工一h)十i(为十），即假定运算满足分配律并利用= 一1而得。 减法和除法分别是加法和乘法的逆运算
平面上所在的象限。 指数表示 定义虚指数函数为复数 ｅｉφ ＝ｃｏｓφ＋ｉｓｉｎφ （１１３） 则有 ｚ＝ｒ（ｃｏｓφ＋ｉｓｉｎφ）＝ｒｅｉφ （１１４） 称为复数的指数表示。为什么定义（１１３）是合理的？判断标准只能是一个，即这个定义符 合扩充三原则，特别是新旧不矛盾的原则。以后将通过复数项级数证明。 复数的三种表示，即三角表示、指数表示和几何表示各有各的用处。以后对复数运算的 定义都必须选择其中一个表示，而任何运算结果都必须最后落实于一种表示，不然不能算计 算已经完成。 几何表示的补充 定义｜ｚ｜＝ ∞ 和复平面上一点对应，这个点称为无穷远点。引入了 单个无穷远点的复平面称为扩充了的复平面或称全复平面，而不含无穷远点的复平面称为 有限复平面。我们用 － ∞ ＋ｉ０，＋ ∞ ＋ｉ０，０－ｉ∞ 和０＋ｉ∞ 等等，表示趋向于∞的不同的 方向。为什么可以这样定义，即为什么可以定义复平面上只有一个无穷远点？回答也只能 是一个，即这种定义符合扩充三原则。复变函数理论的和谐证明了这种定义是合理的。 图１１２ 测地投影 一球面和平面相切，切点称为南极Ｓ，自Ｓ作平面垂线交球面于另一点，称为北极 Ｎ；自 Ｎ 作任一直线和球 面、平面分别有交点 Ｐ′、Ｐ，这样平面上有限点Ｐ 和球面上点Ｐ′建立一一对应；当 Ｐ→∞时，无论沿什么方 向趋向于∞时，相应的Ｐ′点都趋向于一点Ｎ。 有人用所谓测地投影，即球面上一点和平面一点之间的一一对应（见图１１２）来说明 复平面上只有一个无穷远点。但这是在假定一一对应的前提下才有的结论，所以不能作为 定义的根据。 复数的基本关系及代数运算 引入新元素后，接下来便是对各种运算的扩充。记ｚｋ ＝ ｘｋ ＋ｉｙｋ，ｋ＝１，２，定义 相等 ｚ１ ＝ｚ２ ｘ１ ＝ｘ２，ｙ１ ＝ｙ２，即复数相等，定义为实部虚部对应相等。 共轭 ｚ＝ △ ｘ－ｉｙ 相加 ｚ１ ＋ｚ２ ＝ △ （ｘ１ ＋ｘ２）＋ｉ （ｙ１ ＋ｙ２） 相乘 ｚ１·ｚ２ ＝ △ （ｘ１ｘ２ －ｙ１ｙ２）＋ｉ （ｘ１ｙ２ ＋ｙ１ｘ２），即假定运算满足分配律并利用ｉ２ ＝ －１而得。 减法和除法分别是加法和乘法的逆运算。 第一章 单复变解析函数 ５