独立试验序列是贝努里( Bernoulli)首先研究 的故也称为贝努里试验贝努里试验是一种很重 要的数学模型,它在实际中具有广泛的应用在n 王重贝努里试验中事件A发生的次数X是一个随 机变量如果每次试验中发生的概率为p称x服 从参数为nP的二项分布或贝努里分布,记 王x-n)二项分布是概率论中的一种重要分布 上页
独立试验序列是贝努里(Bernoulli)首先研究 的,故也称为贝努里试验.贝努里试验是一种很重 要的数学模型,它在实际中具有广泛的应用.在 n 重贝努里试验中事件 A 发生的次数 X 是一个随 机变量,如果每次试验中A发生的概率为p,称X服 从 参数 为 n, p 的二项分布或贝努里分布,记 X~ B(n, p) .二项分布是概率论中的一种重要分布
王 例:将一枚均匀的骰子连续抛掷次考察六点出现 王的次数及相应的概率 解设六点出现的次数为x则xB3b 上设第i次抛掷中出现点6的事件为4=123则 P(x=0)=P(442A)=()3=C()9.()3=0578704 P(X=1)=P(4424UAA243∪A4)=C152=03472 6 P(X=2)=P(434241A241)=C3()2.5=06944 66 P(x=3)=P44)=(4)=c3()()y=0060 王页下
例:将一枚均匀的骰子连续抛掷3次,考察六点出现 的次数及相应的概率. 解 设六点出现的次数为 X,则 设第 i 次抛掷中出现点 6 的事件为 Ai ,i =1,2,3 ,则 ) 6 1 X ~ B(3, ) 0.578704 6 5 ) ( 6 1 ) ( 6 5 ( 0) ( ) ( 0 0 3 3 3 P X = = P A1 A2 A3 = = C = ( 1) ( ) P X = = P A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 ) 0.347222 6 5 ( 6 1 1 2 = C3 = ( 2) ( ) P X = = P A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 0.069444 6 5 ) 6 1 ( 2 2 = C3 = ( 3) ( ) P X = = P A1 A2 A3 ) 0.004630 6 5 ) ( 6 1 ) ( 6 1 ( 3 3 0 3 3 = = C =
定理:如果每次试验中事件A发生的概率为 p(0<P<D,则在n次贝努里试验中事件A恰好发生 k次的概率为 P(k)=C6pq,k=0,1,…,n 其中q=1-P 庄证按独立事件的乘法公式n次试验中事件A在某 平k次(例如前k次)发生而其余nk次不发生的概率应 上等于PP k k p..q=p. n-k 上页
定 理: 如果每次试验中事 件 A 发生的概率为 p(0 p 1) ,则在 n 次贝努里试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P k C p q k n k k n k n n ( ) = , = 0,1, , − . 其中 q = 1− p . 证 按独立事件的乘法公式,n 次试验中事件 A 在某 k 次(例如前 k 次)发生而其余 n-k 次不发生的概率应 等于 k n k k n k p p p q q q p q − − =
王 王因为我们只考虑事件A在n次试验中发生k次而 王不论在哪k次发生所以由组合论可知应有C种 不同的方式按概率加法定理,便得所求概率 P(k)=Cp·qn 牛即当随机变量xp时 工工 P(X=k)=Cpq”,k=0,1,…,n 上页
因为我们只考虑事件 A 在 n 次试验中发生 k 次而 不论在哪 k 次发生,所以由组合论可知应有 k Cn 种 不同的方式,按概率加法定理,便得所求概率 k k n k Pn k Cn p q − ( ) = 即当随机变量 X~ B(n, p)时, P X k C p q k n k k n k n ( = ) = , = 0,1, , −
例:在初三的一个班中,有14的学生成绩优秀 如果从班中随机地找出5名学生那么其中“成 绩优秀的学生数”X服从二项分布XBS4) A即 P{X=k}=C0.25k(1-0.25)k 0.1..5 ·X的概率分布表如下 0 2 30 45 2434052709 151 P 10241024102410241024|104 上页
• X的概率分布表如下: X 0 1 2 3 4 5 P 243 1024 405 1024 270 1024 90 1024 15 1024 1 1024 •例:在初三的一个班中,有1/4的学生成绩优秀. 如果从班中随机地找出5名学生,那么其中“成 绩优秀的学生数”X服从二项分布X~B(5,1/4). 即 P{X=k}=C5 k 0.25k (1-0.25)5-k k=0,1,…,5