-30第一篇力学+FNFTatma[Bmgmg(a)(b)题2-5图惯性参考系求解，则两物体的加速度和a均应对地而言，本题中a和a的大小与方向均不相同.其中a应斜向上.对aa和a'之间还要用到相对运动规律，求解过程较繁.有兴趣的读者不妨自已尝试一下。2-6图示一斜面，倾角为α，底边AB长为l=2.1m，质量为m的物体从斜面顶端由静止开始向下滑动，斜面的摩擦因数为μ=0.14.试问，当α为何值时，物体在斜面上FA下滑的时间最短？其数值为多少？分析动力学问题一般分为两类：（1）已知物体受力求其运动情况；（2）已知物体的运动情况来分析其所受的力.当然，在一个具体题吕中，这两类问题并无截然的界限，且都是以加速度作为中介，把动力学方程和运动学规律联系起来本题关键在列出动力学和运动学方程后，解出倾题2-6图角与时间的函数关系α=t），然后运用对求极值的方法即可得出数值来，解取沿斜面为坐标轴0x，原点0位于斜面顶点，则由牛顿第二定律有(1)mgsinα-mgucosα=ma又物体在斜面上作匀变速直线运动，故有1-12-1=e(sin α-μcos a)2cosa"at21则(2)Ngcos ax(sin a-μcosα)dt0，由式（2）有为使下滑的时间最短，可令da
31第二章牛顿定律-Bin α(sin α-μcos α) + cos α( cos α +μsin α) =01α = 49°则可得tan 2α =21此时= 0. 99 sfautNgcosα(sinα-ucosα)2-7工地上有--吊车，将甲、乙两块混凝土预制板吊起送至高空，甲块质量为m，=2.00×102kg，乙块质量为mz=1.00×102kg.设吊车、框架和钢丝绳的质量不计.试求下述两种情况下，钢丝绳所受的张力以及乙块对甲块的作用力：（1）两物块以10.0ms-2的加速度上升；（2）两物块以1.0m·s-2的加速度上升.从本题的结果，你能体会到起吊重物时必须缓慢加速的道理吗？分析预制板、吊车框架、钢丝等可视为一FN组物体，处理动力学问题通常采用“隔离体”的IF.方法，分析物体所受的各种作用力，在所选定的惯性系中列出它们各自的动力学方程.根据连甲接体中物体的多少可列出相应数目的方程式。tp,结合各物体之间的相互作用和联系，可解决物体的运动或相互作用力P,+ P2解按题意，可分别取吊车（含甲、乙）和乙题2-7图作为隔离体，画示力图，并取竖直向上为0y轴正方向（如图所示）.当框架以加速度上升时，有F-(m, +m2)g=(m) +m2)a(1)Fna -m2g =mza(2)解上述方程，得F, =(m, +m2)(g+a)(3)Fnz =m,(g+a)(4)（1）当整个装置以加速度α=10m，s-2上升时，由式（3）可得绳所受张力的值为F,=5.94×10°N乙对甲的作用力为Fy = -Fnz= -mz(g +a) = -1.98 ×10" N
32第一篇力学(2）当整个装置以加速度a=1ms-2上升时，得绳张力的值为F,=3.24×10"N此时，乙对甲的作用力则为F'N= -1. 08 ×10'N由上述计算可见，在起吊相同重量的物体时，由于起吊加速度不同，绳中所受张力也不同，加速度大，绳中张力也大.因此，起吊重物时必须缓慢加速，以确保起吊过程的安全，2-8如图（a）所示，已知两物体A、B的质量均为m=3.0kg，物体A以加速度a=1.0m·s2运动，求物体B与桌面间的摩擦力.（滑轮与连接绳的质量不计)分析该题为连接体问题，同样可用隔B离体法求解分析时应注意到绳中张力大小处处相等是有条件的，即必须在绳的质量和伸长可忽略、滑轮与绳之间的摩擦不计的前提下成立，同时也要注意到张力方向是不同的.A解分别对物体和滑轮作受力分析[图(b)J.由牛顿定律分别对物体A、B及滑轮列(a)动力学方程，有T(1)mag-F,=maaFT-F,=mga'(2)F.Ft-2FM=0(3)考虑到m,=m=m,F,=F,Fm=FT,a'=2a，可联立解得物体与桌面的摩擦力F(=mg二(m+4m)a=7.2 NFI2(bh)讨论动力学问题的一般解题步骤可分为：（1）分析题意，确定研究对象，分析受力，题2-8图选定坐标；（2）根据物理的定理和定律列出原始方程组；（3）解方程组，得出文字结果；（4）核对量纲，再代入数据，计算出结果来.2-9质量为㎡的长平板A以速度在光滑平面上作直线运动，现将质量为m的木块B轻轻平稳地放在长平板上，板与木块之间的动摩擦因数为μ，求木块在长平板上滑行多远才能与板取得共同速度？分析当木块B平稳地轻轻放至运动着的平板A上时，木块的初速度可视
33第二章牛顿定律为零，由于它与平板之间速度的差异而存在滑动摩擦力，该力将改变它们的运动状态.根据牛顿定律可得到它们各自相对地面的加速度，换以平板为参考系来分析，此时，木块以初速度－（与平板运动速率大小相等、方向相反）作勾减速运动，其加速度为相对加速度，按运动学公式即可解得该题也可应用第三章所讲述的系统国BA系7的动能定理来解.将平板与木块作为系统，该系统的动能由平板原有的动能变BFFiA为木块和平板一起运动的动能，面它们的共同速度可根据动量定理求得，又因题2-9图为系统内只有摩擦力作功，根据系统的动能定理，摩擦力的功应等于系统动能的增量，本块相对平板移动的距离即可求iti.解1以地而为参考系，在摩擦力F,=umg的作用下，根据牛顿定律分别对木块、平板列出动力学方程F=umg=maiF'= -F,=m'a2a,和a,分别是木块和木板相对地面参考系的加速度.若以木板为参考系，木块相对平板的加速度a=a，+a2，本块相对平板以初速度-作勾减速运动直至最终停止，由运动学规律有-0=245由上述各式可得木块相对于平板所移动的距离为m'n"2S=2ug(m'+m)解2以木块和平板为系统，它们之间一对摩擦力作的总功为W=F(s+I)-F,l=umgs式中1为平板相对地而移动的距离由于系统在水平方向上不受外力，当木块放至平板上时，根据动量守恒定律,有m'n'=(m"+m)o"由系统的动能定理，有1 m'g"-↓(m'+m)omumgs=22由上述各式可得m'g"22μg(m+m)
34学第-篇力2-10如图（a）所示，在一只半径为R的半球形碗内，有一粒质量为m的小钢球，当小球以角速度@在水平面内沿碗内壁作勾速圆周运动时，它距碗底有多高？分析维持钢球在水平面内作匀角速度转动时，必须使钢球受到一与向心加速度相对应的O力（向心力），而该力是由碗内壁对球的支持力F的分力来提供的，由于支持力F始终垂直于碗内壁，所以支持力的大小和方向是随而变h的.取图示0xy坐标，列出动力学方程，即可求解钢球距碗底的高度(a)解取钢球为隔离体，其受力分析如图（b）1所示.在图示坐标中列动力学方程(1)Fysin@=ma,=mRo'sinf+Fycos f =mg(2)tpcos - (R-h)且有(3)R(b)由上述各式可解得钢球距碗底的高度为题2-10图h=R-Ro?可见，h随的变化而变化2-11火车转弯时需要较大的向心力，如果两条铁轨都在同一水平面内（内轨、外轨等高），这个向心力只能由外轨提供，也就是说外轨会受到车轮对它很大的向外侧压力，这是很危险的.因此，对应于火车的速率及转弯处的曲率半径，必须使外轨适当地高出内轨，称为外轨超高.现有一质量为㎡的火车，以速率沿半径为R的圆孤轨道转弯，已知路面倾角为，试求：（1）在此条件下，火车速率%为多大时，才能使车轮对铁轨内外轨的侧压力均为零？（2）如果火车的速率手，则车轮对铁轨的侧压力为多少？分析如题所述，外轨超高的目的欲使火车转弯的所需向心力仪由轨道支持力的水平分量Fsin提供（式中角为路面倾角）.从而不会对内外轨产生挤压.与其对应的是火车转弯时必须以规定的速率行驶，当火车行驶速率子时，则会产生两种情况：如图所示，如>时，外轨将会对车轮产生斜向内的侧压力F，以补偿原向心力的不足，如<时，则内轨对车轮产生斜向外的侧压力F，，以抵消多余的向心力，无论哪种情况火车都将对外轨或内轨产生挤压。由此可知，铁路部门为什么会在每个铁轨的转弯处规定时速，从而确保行车安全解（1）以火车为研究对象，建立如图所示坐标系，据分析，由牛顿定律有