1. Einfuhrung 1.6 Statik und dynamik FLM 1.6.2 Hydro-und Aerostatik 1.6.2. 1 Flussigkeitsdruck. statischer Druck In einem Fluid mit dem konstanten statischen Druck p gilt fur einen ruhenden Korper somit dass ohne Schwere das oberflachenintegral des statischen Drucks gleich Null sein muss pds=0 p=const p= const Die Summe der flachen elemente >ds fur einen Umlauf ist gleich null 手pd=p=0 Mit Berucksichtigung der Schwere: Satz von Archimedes, S. Ubung
26 FLM 1. Einführung 1.6 Statik und Dynamik 1.6.2 Hydro- und Aerostatik In einem Fluid mit dem konstanten statischen Druck p gilt für einen ruhenden Körper somit, dass ohne Schwere das Oberflächenintegral des statischen Drucks gleich Null sein muss. 0 Umlauf ist gleich null. elemente dsfür einen Die Summe der Flächen - 0 ⋅ = ⋅ = ⋅ = ∫ ∫ ∑ ∫ S S S p ds p ds p ds p = const y y x x ds Plausibilität y y x x ds p = const Plausibilität Mit Berücksichtigung der Schwere: Satz von Archimedes, s. Übung. 1.6.2.1 Flüssigkeitsdruck , statischer Druck
1. Einfuhrung 1.6 Statik und dynamik FLM 1.6.2 Hydro-und Aerostatik 16.2 2 Flussigkeitsdruck in Kraftfeldern Flussigkeitsdruck unter Wirkung der Schwerkraft In Kraftfeldern gilt fur die druckverteilung p(x,y=) Massenkraft im Schwerefeld grade=p f ap P wenn die schwerkraft in negativer z- Richtung wirkt p Hydrostatik: p=const pf d= P2=pb
27 FLM 1. Einführung 1.6 Statik und Dynamik 1.6.2 Hydro- und Aerostatik z y x f z p g 0 0 f ; f y p p f f x p = ⋅ ∂ ∂ − = ⋅ = ∂∂ = ⋅ = ⋅ ∂ ∂ & & grad Massenkraft im Schwerefeld, wenn die Schwerkraft in negativer z - Richtung wirkt. 1.6.2.2 Flüssigkeitsdruck in Kraftfeldern Flüssigkeitsdruck unter Wirkung der Schwerkraft In Kraftfeldern gilt für die Druckverteilung p (x,y,z) pb z p 2=pb p1 H 2 1 pb z p p2=pb p1 H 2 1 g z p = − ⋅ ∂ ∂ Hydrostatik :ρ = const
1. Einfuhrung 1.6 Statik und dynamik FLM 1.6.2 Hydro-und Aerostatik 1.6.2.2 Flussigkeitsdruck in Kraftfeldern Die z-Koordinate ist entgegen der erdschwere gerichtet Fur medien konstanter Dichte erhalt man einen linear abnehmenden druck p=const pla=p-pgz wahrend sich fur kompressible Medien p=p(3) nach dem Gesetz fur ideale gase p=p.RT folgender Zusammenhang ergibt 0p_p.:9=-g;p dz dp dz RrP, dp dp g p dp g d= dp g d z dz RT P RT P R T T=T1 Fur isotherm Gasschichten T=T=const gilt p()=p1 1=e
28 FLM 1. Einführung 1.6 Statik und Dynamik 1.6.2 Hydro- und Aerostatik 1.6.2.2 Flüssigkeitsdruck in Kraftfeldern • Die z-Koordinate ist entgegen der Erdschwere gerichtet. • Für Medien konstanter Dichte erhält man einen linear abnehmenden Druck p(z) p g z 1 = − ⋅ ⋅ während sich für kompressible Medien ρ = ρ (z) nach dem Gesetz für ideale Gase p = ρ·R·T folgender Zusammenhang ergibt ; T T (z) Tz Rg pp Tz Rg R T g z = ∂ = − ⋅ ∂ ∂ = − ⋅ ∂ ⇒ ⋅⋅ = − ∂∂ ; p RT p RT g p 1 ; 1 ; z = ∂∂ρ = −ρ ρ = ∂∂ ; z ∂z∂⋅ ∂∂ = ∂∂ p p ρ ρ Für isotherme Gasschichten T = T1 = const gilt: z R T g z R T g p(z) p e ; ] e ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − = ⋅ = ⋅ 1 1 1 1 z p p1 T=T1 z p p1 ρ =const. g
1. Einfuhrung 1.6 Statik und dynamik FLM 1.6.2 Hydro-und Aerostatik 16.2 2 Flussigkeitsdruck in Kraftfeldern Flussigkeitsdruck unter Wirkung der Fliehkraft und Schwere grade=pf, f g >0 2, C Starrkorperrotation einer Flussigkeit in einem rotierenden behalter H p p p =pro y p
29 FLM 1. Einführung 1.6 Statik und Dynamik 1.6.2 Hydro- und Aerostatik 1.6.2.2 Flüssigkeitsdruck in Kraftfeldern Flüssigkeitsdruck unter Wirkung der Fliehkraft und Schwere − = ⋅ = g yx p f f 22 grad ; ωω ρ & & g z p y y p x x p ρ ω ρ ω = −ρ ∂∂ = ∂∂ = ∂∂ ; ; 2 2 Starrkörperrotation einer Flüssigkeit in einem rotierenden Behälter g ∇ pb H > 0 = 0 z, ρ 0 z
1. Einfuhrung 1.6 Statik und dynamik FLM 1.6.2 Hydro-und Aerostatik 16.2 2 Flussigkeitsdruck in Kraftfeldern Aus der stuckweisen integration folgt p(x)=x20+C p(x, y) 3+y0+Cn=Pr202+C 2 0)> p()=pya+C,C, =F()=p() O)=0 p(-)=-8p2+C p(,) Pr20-g.2+C Randbedingungen: r=0 und ==50 = p(0, =o)=pb →C:=Pb+g·p-0 p(r,2)=Ps=510-gP-(=--0)Hydrostatischer Druck in einer rotierenden Flussigkeit
30 FLM 1. Einführung 1.6 Statik und Dynamik 1.6.2 Hydro- und Aerostatik 1.6.2.2 Flüssigkeitsdruck in Kraftfeldern ( ) ( ) ( ) 2 2 ( , ) 2 2 2 2 2 C F z p z p x y x y C r C xy xy xy = = = ⋅ + ⋅ + = ⋅ ⋅ω + ρ ω ρ Aus der stückweisen Integration folgt: Hydrostatischer Druck in einer rotierenden Flüssigkeit ( ) 2 ( , ) Randbedingungen : 0 und (0, ) 2 ( , ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 0 2 2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 p r z p r g z z C p g z r z z p z p p r z r g z C p z g z C p y y C p x x C b z b b z z y x − = − ⋅ ⋅ − ⇒ = + ⋅ ⋅ = = ⇒ = = − ⋅ ⋅ + = − ⋅ ⋅ + = + = + ω ρ ρ ρ ω ρ ρ ρ ω ρ ω ρ g ∇ pb H > 0 = 0 z, ρ 0 z