含微裂缝页岩储层渗流模型及压裂井产能

工程科学学报，第38卷，第3期：306-313,2016年3月 Chinese Journal of Engineering,Vol.38,No.3:306-313,March 2016 D0l:10.13374/j.issn2095-9389.2016.03.002:http://journals.ustb.edu.cn 含微裂缝页岩储层渗流模型及压裂井产能 亓倩，朱维耀四，邓佳，马千 北京科技大学土木与环境工程学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:weiyaook@sina.com 摘要根据页岩气储层纳微米孔隙和微裂缝结构特征，建立含微裂缝表面层基质一裂缝双重介质球形模型.综合考虑扩散 和滑移对页岩气产能的影响，利用Langmuir等温吸附方程描述页岩气的解吸吸附，通过Laplace变换和Stehfest数值反演，得 到页岩气藏压裂井定产和定压条件下的井底流压和产量的解析解，并进行页岩气藏压裂井产能预测及影响因素分析.结果 表明：微裂缝是页岩气基质微观孔隙和宏观裂缝运移的主要渗流通道：微裂缝的渗透率越大和长度越长，页岩气井产量越大. 关键词页岩气：裂缝：渗流：数学模型：产能 分类号TE37 Seepage model and productivity prediction of fractured wells in shale gas reservoirs with discontinuous micro-fractures QI Qian,ZHU Wei-yao,DENG Jia,MA Qian School of Civil and Environmental Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:weiyaook@sina.com ABSTRACT A dual-porosity medium with micro-fractured spherical matrix blocks was achieved on the basis of the structure charac- teristics of nano-micro pores and micro-fractures in shale gas reservoirs.The Laplace space solution of the dimensionless bottom hole pressure of fractured well production was obtained in consideration of the seepage,diffusion and desorption mechanism of shale gas and applying the Laplace transform and the Stehfest numerical inversion.Type curves of dimensionless production were plotted and the in- fluencing factors of the type curves were identified.The results show that the matrix surface improves gas transfer from the matrix medi- um to the fracture network due to matrix micro fractures.Increasing the permeability and length of micro fractures accelerate the pro- ductivity significantly. KEY WORDS shale gas:fractures:seepage:mathematical models:productivity 页岩气储层基质与微裂缝结构复杂，基质主要为 对于页岩储层多尺度流动方面，Javadpour等网和 纳微米孔隙，且含有大量天然诱导微裂缝.通过扫描 Wang等面指出气体在人工裂缝中为达西流动，为页岩 电镜观察，无机质中微裂缝部分不连续，有机质中微裂 气非线性渗流理论的建立奠定了基础：朱维耀等阿和 缝多为平行且呈簇状分布，并由构造微裂缝连接贯 Deng等网建立了考虑扩散和滑移的纳微米级孔隙气 通皿.近来研究表明，微裂缝可能是沟通基质微观孔 体流动模型，并指出气体在天然微裂缝及人工裂缝中 隙和宏观裂缝网络的主要渗流通道回，因此，微裂缝 为达西流动，本文中采用此模型作为纳微米孔隙中气 对页岩气藏产能预测影响很大，原有的双重孔隙模型 体流动模型. 已不再适用页岩储层，必须建立考虑页岩气纳微米孔 在页岩气多重介质渗流方面，国外部分学者切提 隙流动和微裂缝特征的新渗流数学模型. 出应采用基质一微裂缝一大裂缝三重介质模型来描述 收稿日期：20150209 基金项目：国家重点基础研究发展计划资助项目(2013CB228002)

工程科学学报，第 38 卷，第 3 期: 306--313，2016 年 3 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 38，No． 3: 306--313，March 2016 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2016． 03． 002; http: / /journals． ustb． edu． cn 含微裂缝页岩储层渗流模型及压裂井产能 亓 倩，朱维耀，邓 佳，马 千 北京科技大学土木与环境工程学院，北京 100083  通信作者，E-mail: weiyaook@ sina． com 摘 要 根据页岩气储层纳微米孔隙和微裂缝结构特征，建立含微裂缝表面层基质--裂缝双重介质球形模型． 综合考虑扩散 和滑移对页岩气产能的影响，利用 Langmuir 等温吸附方程描述页岩气的解吸吸附，通过 Laplace 变换和 Stehfest 数值反演，得 到页岩气藏压裂井定产和定压条件下的井底流压和产量的解析解，并进行页岩气藏压裂井产能预测及影响因素分析． 结果 表明: 微裂缝是页岩气基质微观孔隙和宏观裂缝运移的主要渗流通道; 微裂缝的渗透率越大和长度越长，页岩气井产量越大． 关键词 页岩气; 裂缝; 渗流; 数学模型; 产能 分类号 TE37 Seepage model and productivity prediction of fractured wells in shale gas reservoirs with discontinuous micro-fractures QI Qian，ZHU Wei-yao ，DENG Jia，MA Qian School of Civil and Environmental Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China  Corresponding author，E-mail: weiyaook@ sina． com ABSTＲACT A dual-porosity medium with micro-fractured spherical matrix blocks was achieved on the basis of the structure charac￾teristics of nano-micro pores and micro-fractures in shale gas reservoirs． The Laplace space solution of the dimensionless bottom hole pressure of fractured well production was obtained in consideration of the seepage，diffusion and desorption mechanism of shale gas and applying the Laplace transform and the Stehfest numerical inversion． Type curves of dimensionless production were plotted and the in￾fluencing factors of the type curves were identified． The results show that the matrix surface improves gas transfer from the matrix medi￾um to the fracture network due to matrix micro fractures． Increasing the permeability and length of micro fractures accelerate the pro￾ductivity significantly． KEY WOＲDS shale gas; fractures; seepage; mathematical models; productivity 收稿日期: 2015--02--09 基金项目: 国家重点基础研究发展计划资助项目( 2013CB228002) 页岩气储层基质与微裂缝结构复杂，基质主要为 纳微米孔隙，且含有大量天然诱导微裂缝． 通过扫描 电镜观察，无机质中微裂缝部分不连续，有机质中微裂 缝多为平行且呈簇状分布，并由构造微裂缝连接贯 通［1］． 近来研究表明，微裂缝可能是沟通基质微观孔 隙和宏观裂缝网络的主要渗流通道［2］． 因此，微裂缝 对页岩气藏产能预测影响很大，原有的双重孔隙模型 已不再适用页岩储层，必须建立考虑页岩气纳微米孔 隙流动和微裂缝特征的新渗流数学模型． 对于页岩储层多尺度流动方面，Javadpour 等［3］和 Wang 等［4］指出气体在人工裂缝中为达西流动，为页岩 气非线性渗流理论的建立奠定了基础; 朱维耀等［5］和 Deng 等［6］建立了考虑扩散和滑移的纳微米级孔隙气 体流动模型，并指出气体在天然微裂缝及人工裂缝中 为达西流动，本文中采用此模型作为纳微米孔隙中气 体流动模型． 在页岩气多重介质渗流方面，国外部分学者［7］提 出应采用基质--微裂缝--大裂缝三重介质模型来描述

元倩等：含微裂缝页岩储层渗流模型及压裂井产能 ·307 页岩气藏中气体的宏观流动和运移.Dehghanpour和 在基质一微裂缝双重介质模型的基础上加入微裂缝表 Shirdel扩展了Warren和Root可提出的拟稳态模型 面层作为沟通基质与人工裂缝网络的通道，建立含微 和0kan等0提出的瞬时双重介质模型.朱琴等四 裂缝表面层基质一裂缝双重介质球形模型，并进行页 在Dehghanpour提出的三重介质模型基础上，研究微 岩气藏压裂水平井产能预测及影响因素分析 裂缝和有机质中解吸机理对非稳态压力动态及其产 能的影响.目前，对考虑微裂缝的页岩气藏渗流模型 1页岩气多尺度流动规律 研究仍处于起步阶段，现有的模型均假设微裂缝均 页岩气藏属于“自生自储”气藏，天然气主要以吸 匀连续分布，渗流方程采用达西定律，并未考虑页岩 附态、游离态和溶解态3种形式存在，吸附态和游离态 储层纳微米孔隙内气体扩散、滑移及有机质孔隙中 占主体，其中吸附态天然气含量在20%~85%.页岩 气体解吸对渗流产生的综合影响，存在明显不足.因 气在储层中的流动可描述为图1所示的解吸、滑移扩 此，亟需形成一个新的流动理论，建立含微裂缝的页 散、渗流等多种流动方式：①在压降作用下，页岩气在 岩气藏多重介质渗流模型，建立页岩气藏多尺度压 页岩基质表面发生解吸：②纳微米孔隙中分子与孔壁 裂井产能模型，为页岩气的开发理论的形成奠定 发生碰撞滑移扩散：③页岩气在微裂缝一裂缝网络中 基础. 流动.多尺度流动分为四大流态：连续流（达西流、非 为此，本文将基于Apaydin等四建立的基质一裂 达西流和管流)、滑移流、过渡流和自由分子流.其流 缝双重介质球形模型，考虑纳微米孔隙的非线性渗流 动规律表现为存在解吸、扩散、滑移、渗流的多尺度特 特征，将连续微裂缝的影响范围看作页岩基质表面层， 性和非线性流动特征 00 图1页岩气流动示意图.()基质表面解吸：(b)纳微米孔隙中流动：（©）微裂缝-裂缝网络中流动 Fig.1 Diagram of shale gas flow:(a)desorption on the matrix surface:(b)flow in nano-micro pores:(c)flow in fracture networks 1.1页岩气多尺度流动模型 而改善储层的渗流特性，为页岩气渗流提供有效通道. 页岩储层中存在大量的纳微米孔隙，孔直径主要 由理论推导和实验验证得到气体在天然微裂缝及人工 分布在2~50nm.由于储层渗透率极低，气体流动已 裂缝中服从达西定律，即《=0. 偏离达西定律，扩散和滑移作用对多孔介质内气体流 基于上述页岩气多尺度流动模型，选取我国南方 动影响增加 海相露头区下志留统龙马溪组钻井取心样品，开展气 Beskok等3-得出在连续介质、滑脱、对流和不 体流动规律实验.岩心基础数据如表1所示. 同分子类型下渗透率变化表达式，获得普遍适用于连 表1岩心基础数据表 续流区、滑移流区、过渡流区和自由分子流区的理想气 Table 1 Core parameters 体流动方程.朱维耀等和Deng等基于Beskok一 岩心编号长度/cm 直径1cm渗透率/10-6μm2孔隙度/% Karniadakis模型，对纳微米级孔隙内的气体流动方程 1# 6.02 2.51 0.56 3.274 进行简化和推广，建立了适用于不同流态的纳微米级 2 6.00 2.5 3.54 2.146 孔隙内气体流动数学模型： 3* 5.99 2.49 7.52 4.127 +器哈)) (1) 4 6.00 2.5 21.75 5.521 式中：v为气相的渗流速度，m·s:k。为绝对渗透率， 由图2可以看出：随着压力平方差的增加，气体渗 μmμ为气体黏度，Pas:D,为气体扩散系数，m2·sl; 流流量增加：随着渗透率的增加，气体流动具有非达西 p为压力，Pa;a为稀疏因子，a=1.34. 渗流特征，在10-”~10-6μm2范围内流量变化幅度不 页岩储层天然裂缝网络结构复杂，开度主要分布 大，在106~10-5μm范围内变化的幅度较大，且当渗 在10~20μm,连续贯通的微裂缝的存在提升了比表 透率增大到10-5μm2时，气体流动逐渐表现出达西渗 面积和富含有机物的页岩储层空间，增大吸附气和游 流特征.因此气体渗规律具有多尺度效应.实验数据 离气的储存空间，具有较高的有效孔隙度和渗透率，从 与理论模型相吻合，因此该模型适用页岩储层多尺度

亓 倩等: 含微裂缝页岩储层渗流模型及压裂井产能 页岩气藏中气体的宏观流动和运移． Dehghanpour 和 Shirdel ［8］扩展了 Warren 和 Ｒoot ［9］提出的拟稳态模型 和 Ozkan 等［10］提出的瞬时双重介质模型． 朱琴等［11］ 在 Dehghanpour 提出的三重介质模型基础上，研究微 裂缝和有机质中解吸机理对非稳态压力动态及其产 能的影响． 目前，对考虑微裂缝的页岩气藏渗流模型 研究仍处于起步阶段，现有的模型均假设微裂缝均 匀连续分布，渗流方程采用达西定律，并未考虑页岩 储层纳微米孔隙内气体扩散、滑移及有机质孔隙中 气体解吸对渗流产生的综合影响，存在明显不足． 因 此，亟需形成一个新的流动理论，建立含微裂缝的页 岩气藏多重介质渗流模型，建立页岩气藏多尺度压 裂井产 能 模 型，为页岩气的开 发理论的形成奠定 基础． 为此，本文将基于 Apaydin 等［12］ 建立的基质--裂 缝双重介质球形模型，考虑纳微米孔隙的非线性渗流 特征，将连续微裂缝的影响范围看作页岩基质表面层， 在基质--微裂缝双重介质模型的基础上加入微裂缝表 面层作为沟通基质与人工裂缝网络的通道，建立含微 裂缝表面层基质--裂缝双重介质球形模型，并进行页 岩气藏压裂水平井产能预测及影响因素分析． 1 页岩气多尺度流动规律 页岩气藏属于“自生自储”气藏，天然气主要以吸 附态、游离态和溶解态 3 种形式存在，吸附态和游离态 占主体，其中吸附态天然气含量在 20% ～ 85% ． 页岩 气在储层中的流动可描述为图 1 所示的解吸、滑移扩 散、渗流等多种流动方式: ①在压降作用下，页岩气在 页岩基质表面发生解吸; ②纳微米孔隙中分子与孔壁 发生碰撞滑移扩散; ③页岩气在微裂缝--裂缝网络中 流动． 多尺度流动分为四大流态: 连续流( 达西流、非 达西流和管流) 、滑移流、过渡流和自由分子流． 其流 动规律表现为存在解吸、扩散、滑移、渗流的多尺度特 性和非线性流动特征． 图 1 页岩气流动示意图． ( a) 基质表面解吸; ( b) 纳微米孔隙中流动; ( c) 微裂缝--裂缝网络中流动 Fig． 1 Diagram of shale gas flow: ( a) desorption on the matrix surface; ( b) flow in nano-micro pores; ( c) flow in fracture networks 1. 1 页岩气多尺度流动模型 页岩储层中存在大量的纳微米孔隙，孔直径主要 分布在 2 ～ 50 nm． 由于储层渗透率极低，气体流动已 偏离达西定律，扩散和滑移作用对多孔介质内气体流 动影响增加． Beskok 等［13--14］得出在连续介质、滑脱、对流和不 同分子类型下渗透率变化表达式，获得普遍适用于连 续流区、滑移流区、过渡流区和自由分子流区的理想气 体流动方程． 朱维耀等［5］ 和 Deng 等［6］ 基于 Beskok-- Karniadakis 模型，对纳微米级孔隙内的气体流动方程 进行简化和推广，建立了适用于不同流态的纳微米级 孔隙内气体流动数学模型: v = － k0 ( μ 1 + 3πa 16k0 μDk ) ( p dp d ) x ． ( 1) 式中: v 为气相的渗流速度，m·s － 1 ; k0 为绝对渗透率， μm2 ; μ 为气体黏度，Pa·s; Dk为气体扩散系数，m2 ·s － 1 ; p 为压力，Pa; α 为稀疏因子，α = 1. 34． 页岩储层天然裂缝网络结构复杂，开度主要分布 在 10 ～ 20 μm，连续贯通的微裂缝的存在提升了比表 面积和富含有机物的页岩储层空间，增大吸附气和游 离气的储存空间，具有较高的有效孔隙度和渗透率，从 而改善储层的渗流特性，为页岩气渗流提供有效通道． 由理论推导和实验验证得到气体在天然微裂缝及人工 裂缝中服从达西定律，即 α = 0． 基于上述页岩气多尺度流动模型，选取我国南方 海相露头区下志留统龙马溪组钻井取心样品，开展气 体流动规律实验． 岩心基础数据如表 1 所示． 表 1 岩心基础数据表 Table 1 Core parameters 岩心编号 长度/cm 直径/cm 渗透率/10 － 6 μm2 孔隙度/% 1# 6. 02 2. 51 0. 56 3. 274 2# 6. 00 2. 5 3. 54 2. 146 3# 5. 99 2. 49 7. 52 4. 127 4# 6. 00 2. 5 21. 75 5. 521 由图 2 可以看出: 随着压力平方差的增加，气体渗 流流量增加; 随着渗透率的增加，气体流动具有非达西 渗流特征，在 10 － 7 ～ 10 － 6 μm2 范围内流量变化幅度不 大，在 10 － 6 ～ 10 － 5 μm2 范围内变化的幅度较大，且当渗 透率增大到 10 － 5 μm2 时，气体流动逐渐表现出达西渗 流特征． 因此气体渗规律具有多尺度效应． 实验数据 与理论模型相吻合，因此该模型适用页岩储层多尺度 ·307·

·308· 工程科学学报，第38卷，第3期 渗流. 3.0 ,渗透率21.75x10m2 25 ·渗透率752×10m2 ·海透率3.54×10山2 基质 。20 ·渗透率056x106m3 裂缝 开简 1.5 据1.0 05 2 6 8 10 乐力半方差MPa 图3双重介质球形模型示意图切 图2岩心渗流规律 Fig.3 Schematic illustration of a radial dual-porosity medium with Fig.2 Gas flow law in the porous core spherical matrix blocks 1.2页岩气吸附-解吸模型 中连续分布的微裂缝对渗流的贡献，建立球形基质表 页岩气藏中吸附气和游离气共存，吸附气的解吸 面层模型.假设球形基质分为两部分：内部为球形基 是页岩气藏重要的产气机理，研究页岩气藏的吸附解 质核，基质中微裂缝长度较短且不连续，只作为气体的 吸机理对页岩气藏的开发具有重要的影响的 储集空间而忽略其对渗流的影响：外部为附着在球形 L,angmuir从分子动力学理论推导出单分子层吸附 基质核表面的同心球微裂缝表面层，表面层基质中微 等温式.郭为等对我国川南地区龙马溪组页岩的 裂缝连通，且与人工裂缝连通，既是气体的储集空间， 吸附与解吸特征进行实验研究，根据吸附/解吸仿真实 又是主要的渗流通道，如图4所示.图中为球形基 验仪采集的压力、温度等，经处理计算不同平衡压力下 质核半径，m;h为含微裂缝表面层基质宽度，m;h为 吸附和解吸过程的含气量.将吸附模型和解吸模型分 微裂缝开度，m;h为微裂缝表面层厚度，m;L为为微 别对等温吸附实验和等温解吸实验数据进行对比拟 裂缝表面层长度，m;A为微裂缝表层面积，m2.分别 合，得出用Langmuir模型描述页岩气等温吸附过程比 推导出基质核与表面层的流动方程，并通过之间的边 较合适. 界耦合，得到基质核与表面层微裂缝耦合模型. 气体吸附服从Langmuir等温吸附方程： =(+n) (2) A-42 式中：Ve为总吸附体积，m3t';V为Langmuir体积，表 示最大吸附量，m3t;P,为Langmuir压力，表示吸附 Ln-nnhmthd 量达到最大吸附量50%时的压力，MPa 考虑瞬时平衡条件，解吸量可以表示为 =(B-p1 P:+P.p+pr (3) 式中：V为单位体积基质累计解吸量，m3tp,为原始 地层压力，Pap为气藏当前平均压力，Pa h=teTor 2页岩气压裂井物理模型及求解 图4球形基质和球形基质表层模型示意图☒ Fig.4 Representation of the fractured matrix-surface layer by a sys- 2.1含微裂缝表面层基质一裂缝双重介质球形模型 tem of slabs in paralle De Swaan叨提出非稳态双重介质球形模型，如图 3所示。图中R为压裂直井供给半径，m;r.为球形基 Kazemi图提出层状经典双重介质模型，基于Ka- 质半径，m.假设储层由等径圆球状基质块分布排列， zmi模型将表面层基质简化为一组均匀间隔的水平基 裂缝则由圆球基质之间的孔隙表示.流体从基质块内 质层，微裂缝系统等价于基质之间的空间，如图5 流到球面，其压力等于裂缝压力，基质块中流体为裂缝 所示 中流动提供源项. 基质表面层的厚度取决于微裂缝的长度，假设表 Apaydin四基于双重介质球形模型，考虑页岩储层 面层的厚度(h=rm-r)小于基质核的半径；认为基

工程科学学报，第 38 卷，第 3 期 渗流． 图 2 岩心渗流规律 Fig． 2 Gas flow law in the porous core 1. 2 页岩气吸咐--解吸模型 页岩气藏中吸附气和游离气共存，吸附气的解吸 是页岩气藏重要的产气机理，研究页岩气藏的吸附解 吸机理对页岩气藏的开发具有重要的影响［15］． Langmuir 从分子动力学理论推导出单分子层吸附 等温式． 郭为等［16］对我国川南地区龙马溪组页岩的 吸附与解吸特征进行实验研究，根据吸附/解吸仿真实 验仪采集的压力、温度等，经处理计算不同平衡压力下 吸附和解吸过程的含气量． 将吸附模型和解吸模型分 别对等温吸附实验和等温解吸实验数据进行对比拟 合，得出用 Langmuir 模型描述页岩气等温吸附过程比 较合适． 气体吸附服从 Langmuir 等温吸附方程: VE = VL ( p p + p ) L ． ( 2) 式中: VE为总吸附体积，m3 ·t － 1 ; VL为 Langmuir 体积，表 示最大吸附量，m3 ·t － 1 ; PL为 Langmuir 压力，表示吸附 量达到最大吸附量 50% 时的压力，MPa． 考虑瞬时平衡条件，解吸量可以表示为 Vd = VL ( pi pi + pL － p p + p ) L ． ( 3) 式中: Vd为单位体积基质累计解吸量，m3 ·t － 1 ; pi为原始 地层压力，Pa; p 为气藏当前平均压力，Pa． 2 页岩气压裂井物理模型及求解 2. 1 含微裂缝表面层基质--裂缝双重介质球形模型 De Swaan ［17］提出非稳态双重介质球形模型，如图 3 所示． 图中 Ｒm为压裂直井供给半径，m; rm为球形基 质半径，m． 假设储层由等径圆球状基质块分布排列， 裂缝则由圆球基质之间的孔隙表示． 流体从基质块内 流到球面，其压力等于裂缝压力，基质块中流体为裂缝 中流动提供源项． Apaydin ［12］基于双重介质球形模型，考虑页岩储层 图 3 双重介质球形模型示意图［17］ Fig． 3 Schematic illustration of a radial dual-porosity medium with spherical matrix blocks ［17］ 中连续分布的微裂缝对渗流的贡献，建立球形基质表 面层模型． 假设球形基质分为两部分: 内部为球形基 质核，基质中微裂缝长度较短且不连续，只作为气体的 储集空间而忽略其对渗流的影响; 外部为附着在球形 基质核表面的同心球微裂缝表面层，表面层基质中微 裂缝连通，且与人工裂缝连通，既是气体的储集空间， 又是主要的渗流通道，如图 4 所示． 图中 rmc为球形基 质核半径，m; hmm为含微裂缝表面层基质宽度，m; hmf为 微裂缝开度，m; hms为微裂缝表面层厚度，m; Lms为为微 裂缝表面层长度，m; Ams为微裂缝表层面积，m2 ． 分别 推导出基质核与表面层的流动方程，并通过之间的边 界耦合，得到基质核与表面层微裂缝耦合模型． 图 4 球形基质和球形基质表层模型示意图［12］ Fig． 4 Ｒepresentation of the fractured matrix-surface layer by a sys￾tem of slabs in parallel ［12］ Kazemi ［18］提出层状经典双重介质模型，基于 Ka￾zemi 模型将表面层基质简化为一组均匀间隔的水平基 质层，微 裂 缝 系 统 等 价 于 基 质 之 间 的 空 间，如 图 5 所示． 基质表面层的厚度取决于微裂缝的长度，假设表 面层的厚度( hms = rm － rmc ) 小于基质核的半径; 认为基 ·308·

亓倩等：含微裂缝页岩储层渗流模型及压裂井产能 ·309· 质核与表面层接触面压力和气体流量均匀分布：近似 为气体初始黏度，Pa·s:c为气体初始综合压缩系数， 气体在表面层裂缝中的流动为线性达西流动：忽略毛 Pa'.其他无因次参数如表2所示. 细管力和重力对渗流的影响. 表2其他主要无因次参数 Table 2 Non-dimensional parameters ./2 参数 表达式 无因次拟时间 无因次导压系数 细-改-ar小长 r（中ecs)k mre 窜流系数刀 A=10 furn 12 L2 kush kth ,A-=l2×2had 图5球形基质表层模型示意图☒ 2(中c,)frn (中e,)mh=n Fig.5 Geometry of the matrix and fracture slabs used to represent 弹性储容比网 w=3ch,“=hi the matrix surface layer rD =r/L,Rp =R/L, 无因次距离 2.2渗流数学模型建立及求解 Bp =0/(h2),hmmD =hmm/L 在建立数学模型之前，作以下假设：(1)球形基质 注：L为特征长度，本文中取水平井压裂裂缝半长x,m 和表面层基质向微裂缝提供气源：(2)基质和微裂缝 2.2.2球形基质渗流数学模型的建立 同时向人工裂缝提供气源：(3)流向井筒的球形流只 考虑解吸和扩散作用，基于天然气渗流连续性方 通过人工裂缝. 程、运动方程和状态方程，建立球形基质不稳定渗流控 由于人工裂缝网络的渗透率比页岩基质的渗透率 制方程： 高几个甚至几十个数量级，因此认为假设(1)是合理 的.假设(2)和(3)成立的前提是微裂缝有效沟通基 误险险 质与人工裂缝网络，并且假设气体从球形基质流到内 P.T 表面层时其压力等于微裂缝压力，即在r=r处mD= 刀乙P9.=$“2,0≤r≤r(8) mm,气体经微裂缝流到球面时其压力等于裂缝压力， 式中：Z为标准状态下气体压缩因子P为标准状态 即在r=r.处mm=mm 下气体密度，kg"m3 2.2.1定义模型参数和无因次参数 因此，解吸量随时间的变化可以表示为 定义导压系数： 9a=Po at (9) 刀s= (4) 中cg 其中， 定义拟压力： PLVL (10) m(p）=2 1+ (5) 将式(10)代入式(9)，并作以下定义. 定义拟时间： 压缩系数： Cune =cm +Cd (11) t.(p)=)o (ueg; (6) 其中，气体扩散压缩系数： 定义无因次拟压力： .98×10-h:T4mg c.=c3m4D’ (12) m知=一 9.P.T (7) Pne+16km 式中：下标专为mc、ms、mf和f,分别表示球形核基质 11 dZ C.= (13) 区、表面层基质区、表面层微裂缝区和人工缝网区： Pre Z dpue 解吸压缩系数： m知为不同区域无因次拟压力，Pa;b.为拟时间，d;cs为 综合压缩系数，Pa:q为标准条件下气井流量，m3· ca P.TZ PLVL T.Z.中(p+P)2 (14) 3TauD dl:k,为缝网区整体渗透率，μm2;h。为裂缝总长度，m; 16ke T为标准状态下温度，K:P为标准压力，Pa;T为多孔 因为压缩系数c,(P）为压力P的函数，代入拟 介质温度，K:中为储层孔隙度：Z为气体压缩因子山 时间，得到气体在球形基质中的渗流数学模型为

亓 倩等: 含微裂缝页岩储层渗流模型及压裂井产能 质核与表面层接触面压力和气体流量均匀分布; 近似 气体在表面层裂缝中的流动为线性达西流动; 忽略毛 细管力和重力对渗流的影响． 图 5 球形基质表层模型示意图［12］ Fig． 5 Geometry of the matrix and fracture slabs used to represent the matrix surface layer ［12］ 2. 2 渗流数学模型建立及求解 在建立数学模型之前，作以下假设: ( 1) 球形基质 和表面层基质向微裂缝提供气源; ( 2) 基质和微裂缝 同时向人工裂缝提供气源; ( 3) 流向井筒的球形流只 通过人工裂缝． 由于人工裂缝网络的渗透率比页岩基质的渗透率 高几个甚至几十个数量级，因此认为假设( 1) 是合理 的． 假设( 2) 和( 3) 成立的前提是微裂缝有效沟通基 质与人工裂缝网络，并且假设气体从球形基质流到内 表面层时其压力等于微裂缝压力，即在 r = rmc处mmcD = mmfD，气体经微裂缝流到球面时其压力等于裂缝压力， 即在 r = rm处 mmfD = mfD ． 2. 2. 1 定义模型参数和无因次参数 定义导压系数: ηξ = kξ ξμctξ ． ( 4) 定义拟压力: mξ ( p) = 2 ∫ p p ( ξ 1 + 3πa 16kξ μDK ) p p μZ dp． ( 5) 定义拟时间: ta ( p) = ∫ t 0 μicti ( μcξ ) p dt． ( 6) 定义无因次拟压力: mξD = 1. 988 × 10 － 5 kfhftTsc qsc pscT Δmξ ． ( 7) 式中: 下标 ξ 为 mc、ms、mf 和 f，分别表示球形核基质 区、表面层基质区、表面层微裂缝区和人工缝网区; mξD为不同区域无因次拟压力，Pa; ta 为拟时间，d; ctξ为 综合压缩系数，Pa － 1 ; qsc为标准条件下气井流量，m3 · d － 1 ; kf为缝网区整体渗透率，μm2 ; hft为裂缝总长度，m; Tsc为标准状态下温度，K; psc为标准压力，Pa; T 为多孔 介质温度，K;  为储层孔隙度; Z 为气体压缩因子; μi 为气体初始黏度，Pa·s; cti为气体初始综合压缩系数， Pa － 1 ． 其他无因次参数如表 2 所示． 表 2 其他主要无因次参数 Table 2 Non-dimensional parameters 参数 表达式 无因次拟时间 tD = ηf L2 ta 无因次导压系数 ηξD = ηξ ηf = ( fctfμ) kξ ( ξ ctξμ) kf 窜流系数［17］ λ = 10 kmfrm L2 kfhfr 2 m ，λms = 12 × L2 h2 mm kmshmm kmfhmf 弹性储容比［17］ ω = 2 ( ct ) mfrm 3 ( ct ) fhf ，ωms = ( ct ) mshmm ( ct ) mfhmf 无因次距离 rD = r/L，ＲD = Ｒ/L， θD = θ /( hmm /2) ，hmmD = hmm /L 注: L 为特征长度，本文中取水平井压裂裂缝半长 xF，m． 2. 2. 2 球形基质渗流数学模型的建立 考虑解吸和扩散作用，基于天然气渗流连续性方 程、运动方程和状态方程，建立球形基质不稳定渗流控 制方程: 1 r 2   [ r r 2 ·( 1 + 3πa 16kmc μDK p ) mc pmc μZ dpmc d ] r + pscT TscZscρgsc kmc qd = mcμctmc kmc pmc μZ pmc t ，0≤r≤rmc ． ( 8) 式中: Zsc为标准状态下气体压缩因子; ρgsc为标准状态 下气体密度，kg·m － 3 ． 因此，解吸量随时间的变化可以表示为 qd = ρgsc Vd t = ρgsc ( Vd p ) ( mc pmc  ) t ． ( 9) 其中， Vd pmc = － pL VL ( pmc + pL ) 2 ． ( 10) 将式( 10) 代入式( 9) ，并作以下定义． 压缩系数: ctmc = cm + cd ． ( 11) 其中，气体扩散压缩系数: cm = cg · pmc pmc + 3πaμDK 16kmc ， ( 12) cg = 1 pmc － 1 Z dZ dpmc ． ( 13) 解吸压缩系数: cd = pscTZ TscZscmc pL VL ( pmc + pL ) 2 1 pmc + 3πaμDK 16kmc ． ( 14) 因为压缩系数 ct ( pmc ) 为压力 pmc的函数，代入拟 时间，得到气体在球形基质中的渗流数学模型为 ·309·

·310 工程科学学报，第38卷，第3期 gn(r,l）= 2k=pm） 0≤r≤rc (15) _9(0,t）lo2d=- Achu h u ae (e=h2,0 代入无因次参数，令0D（rn,Rn,tn）=IpmaeD（tn, (27) Rnln),并进行Laplace变换，得到球形基质无因次流 式中，A为基质与裂缝接触的表面积，m2. 动方程，式(15)化为 式(27)代入式(26)得 iwes =0. (16) a om 2kn△m= 1 aAm ar品 TmeD a ar -kh ae (e=6_2)门m。 初始条件： (28) 0nn(rn=0,R。,s）=0. (17) 代入无因次参数，并进行Laplace变换： 边界条件： 0e(rD,Rns）=iwn(rD,Rn,s）. (18) 子mn_入_dnb -s m=0: 300p(。-l,)7mD 代入边界条件可得球形基质压力分布Laplace空 rrn≤rn≤rD (29) 间解： 其中， mn='sinh（V/gn) (19) omaeD 30m -stanh 30m rosinh(√s/DfweD） a0p (ae-l,ta） N入n7m 式中，s为拉普拉斯算子，m,为拉普拉斯变换拟压力函数. (30) 2.2.3球形基质表面层渗流数学模型的建立 将式(30)代入式(29)得 (1)表面层基质渗流数学模型.表面层基质不稳 定渗流控制方程： imm_u.m.m-0. (31) arp d△m-Lm=,0≤0≤h_2. (20) 初始条件： Tu dt mm(ron=0）=0. (32) 代入无因次参数，并进行Laplace变换，得到无因次流 边界条件： 动方程，式(20)化为 mm(rns）=mm(Rp,s）, (33) m-30mn=0,0≤8≤1.(（21） 30p A.. dm. kaeham ommeD areirn (34) 初始条件： 代入边界条件可得复合层微裂缝压力分布La- mn(0n=0,s）=0. (22) place空间解： 边界条件： m= omD =0, (23) 80n(8.-0) （a-fi)+（un-f.)exp B√ue(rn-ri] mnn(0n=l,s）=mm(rn,s）. (24) (vuf)+(u-f)exp u (r-r 代入边界条件可得复合层基质压力分布Laplace exp Wu (rr ]m (35) 空间解： 式中： u。=sf(s), (36) cosh 入mD m。 (25) A.tanh cosh (37) (2)表面层微裂缝渗流数学模型.假设流入裂缝 的基质窜流量由相邻两基质的一半提供，基于天然气 fa)-[V5mnod(Vmb)-小. 渗流连续性方程、运动方程和状态方程，建立表面层微 (38) 裂缝不稳定渗流控制方程： 2.2.4人工缝网区气体渗流数学模型 对于圆形封闭边界地层中心直井，考虑基质一微 裂缝一人工裂缝网络，假设流体从基质到人工裂缝仅 re≤r≤「m· (26) 经由微裂缝，并且从每个球形基质块流出的瞬时平均 式中，￠(，)表示单位时间、单位体积表面层基质流 流量为基质块外部裂缝体积的一半，利用双重介质模 入微裂缝表层的窜流量，m3·s 型，基于天然气渗流连续性方程、运动方程和状态方

工程科学学报，第 38 卷，第 3 期 1 r 2   ( r r 2 dΔmmc d ) r = 1 ηmc Δmmc ta ， 0≤r≤rmc ． ( 15) 代入无 因 次 参 数，令 wmcD ( rD，ＲmD，tD ) = rDmmcD ( rD， ＲmD，tD ) ，并进行 Laplace 变换，得到球形基质无因次流 动方程，式( 15) 化为  2 wmcD r 2 D － s ηmcD wmcD = 0． ( 16) 初始条件: wmcD ( rD = 0，ＲD，s) = 0． ( 17) 边界条件: wmcD ( rmcD，ＲD，s) = wmfD ( rmcD，ＲD，s) ． ( 18) 代入边界条件可得球形基质压力分布 Laplace 空 间解: mmcD = rmcD sinh ( 槡s/ηmD rD ) rD sinh ( 槡s/ηmD rmcD ) mmfD ( 19) 式中，s 为拉普拉斯算子，mξD为拉普拉斯变换拟压力函数． 2. 2. 3 球形基质表面层渗流数学模型的建立 ( 1) 表面层基质渗流数学模型． 表面层基质不稳 定渗流控制方程:  2 Δmms θ 2 = 1 ηms Δmms ta ，0≤θ≤hmm /2． ( 20) 代入无因次参数，并进行 Laplace 变换，得到无因次流 动方程，式( 20) 化为  2 mmsD θ 2 D － 3ωm λmsηmfD s mmsD = 0，0≤θD≤1． ( 21) 初始条件: mmsD ( θD = 0，s) = 0． ( 22) 边界条件: mmsD θD ( θD = 0，s) = 0， ( 23) mmsD ( θD = 1，s) = mmfD ( rD，s) ． ( 24) 代入边界条件可得复合层基质压力分布 Laplace 空间解: mmsD = ( cosh 3ωms 槡λmsηmfD sθD ) ( cosh 3ωms 槡λmsηmfD ) s mmfD ． ( 25) ( 2) 表面层微裂缝渗流数学模型． 假设流入裂缝 的基质窜流量由相邻两基质的一半提供，基于天然气 渗流连续性方程、运动方程和状态方程，建立表面层微 裂缝不稳定渗流控制方程:   ( r Δmmf  ) r － μ kmf q槇ms( r，t) = 1 ηmf Δmmf ta ， rmc≤r≤rm ． ( 26) 式中，q槇ms( r，t) 表示单位时间、单位体积表面层基质流 入微裂缝表层的窜流量，m3 ·s － 1 ． q槇ms( r，t) = － qms( θ，t) | ( θ = hmm /2，t) Amfhmf /2 = － 2 h ( mf kms μ pms  ) θ ( θ = hmm /2，t) ． ( 27) 式中，Amf为基质与裂缝接触的表面积，m2 ． 式( 27) 代入式( 26) 得   ( r Δmmf  ) r － 2kms kmfhmf Δmms θ ( θ = hmm /2，t) = 1 ηmf Δmmf ta ． ( 28) 代入无因次参数，并进行 Laplace 变换:  2 mmfD r 2 D － λm 3 mmsD θD ( θD = 1，s) － s ηmfD mmfD = 0， rmcD≤rD≤rmD ． ( 29) 其中， mmsD θD ( θD = 1，tD) = 3ωm 槡λm ηmfD s ( tanh 3ωm 槡λm ηmfD ) s mmfD ． ( 30) 将式( 30) 代入式( 29) 得  2 mmfD r 2 D － um mmfD = 0． ( 31) 初始条件: mmfD ( rD，tD = 0) = 0． ( 32) 边界条件: mmfD ( rmD，s) = mfD ( ＲD，s) ， ( 33) mmfD rD ( rmcD，s) = kmchmm kmfhmf mmcD rD ( rmcD，s) ． ( 34) 代入边界条件可得复合层微裂缝压力分 布 La￾place 空间解: mmfD = ( 槡um － fmf ) + ( 槡um － fmf ) exp［2 槡um ( rD － rmcD) ］ ( 槡um － fmf ) + ( 槡um － fmf ) exp［2 槡um ( rmD － rmcD) ］· exp［槡um ( rmD － rmcD) ］mfD． ( 35) 式中: um = sfm ( s) ， ( 36) fm ( s) = 1 η [ mfD 1 + λm ωm ηmfD 槡 3s ( tanh 3ωm 槡λm ηmfD ) ] s ， ( 37) fmf ( s) = h2 mmDλm 12rmcDL2 ［槡s/ηmDrmcDcoth ( 槡s/ηmDrmcD) －1］． ( 38) 2. 2. 4 人工缝网区气体渗流数学模型 对于圆形封闭边界地层中心直井，考虑基质--微 裂缝--人工裂缝网络，假设流体从基质到人工裂缝仅 经由微裂缝，并且从每个球形基质块流出的瞬时平均 流量为基质块外部裂缝体积的一半，利用双重介质模 型，基于天然气渗流连续性方程、运动方程和状态方 ·310·