第五章 李雅普诺夫稳定性理论
第五章 李雅普诺夫稳定性理论
1892年,俄国 Lyapunov在《运动稳 定性的一般问题》中提出了稳定性理 区无法显示该图片 主要内容: 今李氏第一法(间接法):求解特征方程 特征值 令李氏第二法(直接法):利用经验和技巧来 构造L函数
1892年，俄国Lyapunov在《运动稳 定性的 一般问题》中提出了稳定性理 论 主要内容： ❖ 李氏第一法（间接法）：求解特征方程 特征值 ❖ 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来 构造L函数
5.1稳定性基本概念 1.自治系统:输入为0的系统x=Ax+Bu(u=0) 2初态x=f(x,t)的解为x(t,x0,0) 05~050 0 初态 3平衡状态: i=f(x2,t)=0x→系统的平衡状态 a线性系统i=Axx∈R A非奇异:Ax2=0→x2=0 A奇异:4元0→有无多个x
5.1稳定性基本概念 1.自治系统：输入为0的系统 =Ax+Bu(u=0) 2.初态 =f(x,t)的解为 初态 3.平衡状态： 系统的平衡状态 a.线性系统 A非奇异： A奇异： 有无穷多个 x x ( , , ) 0 0 x t x t x(t 0 , x0 ,t 0 ) = x0 x e = f (xe ,t) = 0 xe → x = Ax n x R Axe = 0 xe = 0 Axe = 0 e x
b.非线性系统 x=f(x2,t)=0→可能有多个 eg.x,=x x2=x1+x,-x 2 令元=0元=0 0 0 0 110
b.非线性系统 可能有多个 eg. 令 x = f (xe ,t) = 0 e x 3 2 1 2 2 1 1 x x x x x x = + − = x 1 = 0 x 2 = 0 = 0 0 1 e x − = 1 0 2 e x = 1 0 3 e x
52李雅普诺夫意义下的稳定 1.李氏意义下的稳定 如果对每个实数E>0都对应存在另一个 实数o(a,)>0满足|x-x|≤() o =r.r 0 Mle, x2 ne xo-x|=[(xo-x)2+…+(xm-xm)2]2
5.2李雅普诺夫意义下的稳定 1.李氏意义下的稳定 如果对每个实数 都对应存在另一个 实数 满足 0 (,t 0 ) 0 ( , ) 0 0 x x t e − T n x [x , x x ] 0 = 1 0 2 0 0 T e e e n e x [x , x x ] = 1 2 2 1 2 0 2 0 1 0 1 [( ) ( ) ] e e n n e x − x = x − x ++ x − x