第十四章机械振动 y0 0 T 0 2丌 2.初相位 在0时,相位为φ,称为初相位,简称初相,它是决定初始时刻物体运动状态的物理量。对于一个 简谐运动来说,开始计时的时刻不同,初始状态就不同,与之对应的初相位就不同,即初相位与时间零点 的选择有关 结论:对于一个简谐振动,若A、ω、φ已知,就可以写出完整的运动方程,即掌握了该运动的全部 信息。因此,我们把A、ω、φ叫做描述简谐振动的三个特征量 3.相位差: 定义:两个振动在同一时刻的相位之差或同一振动在不同时刻的相位之差 对于同频率简谐运动、同时刻的相位差 x =A, coS(@t+p) x,=A,cos(ot+2) 相位差△=(ot+q2)-(ot+q1)=2 即两个同频率的简谐振动在任意时刻的相位差是恒定的。且始终等于它们的初始相位差。 讨论 )△q>0质点2的振动超前质点1的振动 △q<0质点2的振动落后质点1的振动 2)△q=±2kx,k=0,1,2 同相(步调相同) △q=±(2k+1),k=0,1,2,…,反相(步调相反) 四、积分常数A和φ的确定 简谐振动运动学方程为x=Acos(o+q) 其中圆频率是由系统本身的性质确定的,积分常数A和φ是求解简谐振动的微分方程时引入的,其值 由初始条件(即在τ=0时物体的位移与速度)来确定。将r0代入位移和速度的公式,即得物体在初始时 刻的位移xo和初速度v xo=Acos op =Asin 由此可解得 讨论: )一般来说φ的取值在一π和π(或0和2n)之间 2)在应用上面的式子求q时,一般来说有两个值,还要由初始条件来判断应该取哪个值 6
第十四章机械振动 3)常用方法:由A=1x2+ 求A,然后由=Acos 两者的共同部分求φ。 Vo =-Aosin p 例2:一弹簧振子系统,弹簧的劲度系数为k=0.72Nm,物体的质量为m=20g。今将物体从平衡位置 沿桌面向右拉长到004m处释放。求振动方程 解:要确定弹簧振子系统的振动方程,只要确定A、ω和φ即可 由题可知,k=0.72N/m,m=20g=002kg,x=0.04m,v=0, 代入公式可得 brad Vm Vo.02 =0.04m 又因为x0为正,初速度v=0,可得q=0 因而简谐运动的方程为:x=0.04cos(61)(m) 例3.已知某质点作简谐运动,振动曲线如图所示,试根据图中数据写出振动表达式 解:设振动表达式为 x= A cos(@t+o) 由图可见:A=2m,当t0时,有 =2 cOS (1) v=-2 psin gp>0(向上)(2) 图13-2 由(1)可得0=4,由(2)可知$ip<0,所以只能取2 当t=ls时,x1=2cosa 1=-20im-<0(向下)(4) 由(3)可得一=±,由(4)sm(m 9>0,取m-x=n,因而可得 所以振动方程为 x=2cOs(丌12
第十四章机械振动 s14-3旋转矢量( Rotary Vector) 前面介绍了用数学表达式及曲线表示简谐运动中位移和时间的关系。本节将介绍用旋转矢量表示位移 和时间的关系。 引入旋转矢量的优点 1)直观地、形象地了解简谐运动的各个物理量; 2)为简谐运动的合成提供了最简捷的研究方法。 、旋转矢量图示法 长度为A的矢量A,在xOy平面内绕O点沿逆时针方向旋转,其角速度为ω,在t=0时,矢量与X 轴的夹角为q,这样的矢量称为旋转矢量。在任意时刻,矢量A与x轴的夹角为ot+,A的矢端M 在x轴上的投影为x=Acos(t+q) r/cm Acosn 1/ 即:旋转矢量本身并不作简谐运动,而是旋转矢量的矢端,在x轴上的投影点亦在o点附近作周而复 始的周期性运动,相当于简谐运动 设:质点以沿逆时针方向作半径为A的匀速圆周运动,它在在Ⅹ轴上的投影点相当于质点的简谐 振动,此圆叫参考圆。在没有高等数学知识时,可以用它得出简谐振动的表示式。如某时刻质点在M位置, 它与X轴的夹角为ot+q。在x轴的投影x=Acos(Ot+q) 、旋转矢量与简谐运动的关系 简谐振动的方程x=Acos(t+q),根据儿何学原理可以把它看作一旋转着的矢量A在x轴上的投 影。当一矢量A绕其一端点o以角速度ω旋转时,另一端点在x轴或y轴上的投影点相当于作简谐振动。 振幅矢量转动一周,相当于振动一个周期 显然,投影点作简谐振动的振幅、圆频率、初相与A矢量大小、旋转角速度、初始A与x轴夹角 对应。当然,投影点的速度和加速度也与简谐振动的速度和加速度相对应 振幅 圆频率 初相位 相位 旋转矢量的应用: 1.作振动图: 用旋转矢量A来表示简谐振动,形象、直观,一日了然,在以后分析两个以上谐振动合成时十分有用 8