0元图1-27圆柱形流体上的受力F2= rr? p2外表面上的剪切力F-2元rlt圆柱体的重力F元r2lpg式中p1、p2"--两端面中心处的压强，Pa,T-圆柱体外表面上所受的剪应力，Pa；流体密度，kg/m2。因流体在均匀直管内作等速运动，各外力之和必为零，即F1-F2+Fgsina-F=0将F1、F2、F和F。代入上式并加以整理可得剪应力分布9一泌T-(1-63)21式（1-63）表示圆管中沿管截面上的剪应力分布。由上推导可知，剪应力分布与流动截面的几何形状有关，与流体种类、层流或流无关，即对层流和流皆适用。由此式可以看出：在圆形直管内剪应力与半径成正比。在管中心r二0处·剪应力为零：在管壁(二)R。剪应力分布如r=R处，剪应力最大，其值为（21图1-28所示。层流时的速度分布流体在管内作层流流动时，剪应力与速度梯度的关系服从牛顿黏性定律，即du(1-64)Tmpdr(24)R由于管内流动的du/dr为负，为使剪应力保持正号，上式图1-28圆管内的剪应力分布右方加一负号。此式是描述牛顿型流体层流流动的特征方程式。将此式代入式（1-63），并利用壁面上流体速度为零（即r=R时，u=0）的边界条件将其积分，可以得到圆管内层流速度分布为甲-%(R2-)r2)(1-65)4pμl管中心的最大流速为M(1-66)UmaAul25
将umax代人上式得[1-()](1-67)u=umax从式（1-65）或式（1-67）可知，层流时圆管截面上的速度呈抛物线分布，如图1-29所示。层流时的平均速度和动能校正系数α根据速度分布图1-29层流速度分布式（1-67）不难求出管流的平均速度为："[(R)2元rdudAumnxJ.元元R2A1(纳一)R?(1-68)i2uma8μul即圆管内作层流流动时的平均速度为管中心最大速度的一半。在1.3.2中指出，动能校正系数α值与速度分布有关。将式（1-67）代人式（1-40）可得：umaxR2元rdr1a=(R)u3元R2J应用式（1-68）关系积分上式可得a=2.0。因此，当流体在圆管内作层流流动时，以平均速度证计算平均动能，动能校正系数α值为2。圆管内渊流的速度分布由理论导出层流速度分布的基础是牛顿黏性定律。但当流体作流流动时，虽然剪应力也可写成牛顿黏性定律的形式［见式（1-61）]，但其中流黏度并非物性常数，它随Re及离壁距离而变，因此上述速度分布不适用于端流。流时的速度分布曾经作过不少实验研究，通常将其表示成下列经验关系式。-(1-R)"(1-69)umax式中n系与Re有关的指数，在不同的Re范围内取不同的值14×104<Re<1.1×105时，n=61.1×105<Re<3.2×106时，n=亏1Re>3. 2×10° 时，n=101不论取或瑞流的速度分布可作如下推想：近管中心部分剪应力不大而流黏度数值很大，由式（1-61）可知端流核心处的速度梯度必定很小。而在壁面附近很薄的层流内层中，剪应力相当大且以分子黏度μ的作用为主，但u的数值又远较满流核心处的为小，故此薄层中的速度梯度必定很大。图1-30表示流时的速度分布。Re数愈大，近壁区以外的速度分布愈均匀。满流时的平均速度及动能校正系数α由图1-30可见，湍流时截面速度分布比层流时均匀得多。也即流时的平均速度应比层流时更接近于管中心的最大速度umax。在发达的流情况下，其平均速度约为最大流速的0.8倍，即(1-70)u=0.8unax图1-30渊流速度分布26
由于层流内层很薄，总体来说可认为流速度分布是均匀的，由式（1-40）可求出溯流时的动能校正系数接近1。1.5阻力损失1.5.1两种阻力损失直管阻力和局部阻力化工管路主要由两部分组成：一种是直管，另一种是弯头、三通、阀门等各种管件。无论是直管或管件都对流动有一定的阻力，消耗一定的机械能。直管造成的机械能损失称为直管阻力损失（或称沿程阻力损失），管件造成的机械能损失称为局部阻力损失。对阻力损失作此划分是因为两种不同阻力损失起因于不同的外部条件，也为了工程计算及研究的方便，但这并不意味着两者有质的不同。此外，应注意将直管阻力损失与固体表面间的摩擦损失相区别。固体摩擦仅发生在接触的外表面，而直管阻力损失发生在流体内部，紧贴管壁的流体层与管壁之间并没有相对滑动。阻力损失表现为流体势能的降低图1-31表示流体在均匀直管中作定态流动，u=u2。截面1、2之间未加入机械能，h。一0。由机械能衡算式（1-42）可知：hr=(分+21g)-(+22g)-m=丝(1-71)Tp10p由此可知，对于通常的管路，无论是直管阻力或是局部阻力，也不论是层流或端流，阻力损失均主要表现为流体势能的降低，即△/p。该式同时表明，只有水平管道，才能以△p（即pl一p2）代图1-31阻力损失替以表达阻力损失。层流时直管阻力损失流体在直管中作层流流动时，因阻力损失造成的势能差可直接由式（1-68）求出：49=32ulu(1-72)d2式（1-72）称为泊课叶（Poiseuille）方程。层流阻力损失为hf=32ulu(1-73)pd?1.5.2端流时直管阻力损失的实验研究方法层流时阻力损失的计算式是由理论推导得到的。端流时由于情况复杂得多，未能得出理论式，但可以通过实验研究，获得经验的计算式。这种实验研究方法是化工中常用的方法。因此本节通过湍流时直管阻力损失的实验研究，对此法作介绍。实验研究的基本步骤如下。（1）析因实验寻找影响过程的主要因素对所研究的过程做初步的实验和经验的归纳，尽可能地列出影响过程的主要因素。对于湍流时直管阻力损失hr，经分析和初步实验获知诸影响因素如下。流体性质：密度P、黏度；流动的几何尺寸：管径d、管长l、管壁粗糙度e（管内壁表面高低不平）；流动条件：流速u。于是待求的关系式应为：hf=- f(d,l,μ.p.u,e)(1-74)（2）规划实验一减少实验工作量27
当一个过程受多个变量影响时，通常用网络法通过实验以寻找自变量与过程结果的关系。以式（1-74）为例，需要多次改变一个自变量的数值测取h的值而其他自变量保持不变。这样，自变量个数越多，所需的实验次数急剧增加。为减少实验工作量，需要在实验前进行规划，包括应用正交设计法、量纲分析法等。以尽可能减少实验次数。量纲分析法是通过将变量组合成无量纲数群、从而减少实验自变量的个数，大幅度地减少实验次数，因此在化工上广为应用。量纲分析法的基础是：任何物理方程的等式两边或方程中的每一项均具有相同的量纲，此称为量纲和谐或量纲的致性。从这一基本点出发，任何物理方程都可以转化成无量纲形式（具体的量纲分析方法可参阅附录或其他有关著作）。以层流时的阻力损失计算式为例、不难看出，式（1-73）可以写成如下形式()=32()(p)(1-75)式中每一项都为无量纲项，称为无量纲数群。换言之，未作无量纲处理前，层流时阻力的函数形式为：(1-76)hi=f(d,l.μ.p,u)作无量纲处理后，可写成()=()(1-77)1对照式（1-74）与式（1-75），不难推测，湍流时的式（1-74）也可写成如下的无量纲形式()-()(1-78)式中，due即为雷诺数（Re)）；二称为相对粗糙度。将式（1-74）与式（1-78）作比较可以u看出，经变量组合和无量纲化后，自变量数目由原来的6个减少到3个。这样进行实验时无需一个个地改变原式中的6个自变量，而只要逐个地改变Re、（l/d）和（e/d）即可。显然，所需实验次数将大大减少，避免了大量的实验工作量。尤其重要的是，若按式（1-74）进行实验时，为改变β和，实验中必须换多种液体；为改变d，必须改变实验装置。而应用量纲分析所得的式（1-78）指导实验时，要改变dup/μ只需改变流速；要改变（l/d），只需改变测量段的距离，即两测压点的距离。这是一个极为重要的特性，从而可以将水、空气等的实验结果推广应用于其他流体，将小尺寸模型的实验结果应用于大型装置。无量纲化是一项简单的工作，但由此带来的好处却是巨大的。因此，实验前的无量纲化工作是规划一个实验的一种有效手段。（3）数据处理·实验结果的正确表达获得无量纲数群之后，各无量纲数群之间的函数关系仍需由实验并经分析确定。方法之一是将各无量纲数群（元1、*2、元3）之间的函数关系近似地用幕函数的形式表达，=K元3(1-79)此函数可线性化为Ig=lgK+algx2+blg"3(1-80)此后不难将元1、元2、元3的实验值，用线性回归的方法求出系数K、α、b的值，同时也检验了式（1-79）的函数形式是否适用。对式（1-78）而言，根据经验，阻力损失与管长1成正比，该式可改写为：28
Re.(1-81)3涵数Re）的具体形式可按实验结果用图线或方程表达。1.5.3直管阻力损失的计算式统一的表达方式对于直管阻力损失，无论是层流或满流，均可将式（1-81）改写成如下的统一形式，以便于工程计算。u?hf=入(1-82)d2式（1-82）中摩擦系数入为Re数和相对粗糙度的函数，即入=9(Re, )(1-83)摩擦系数入对Re<2000的层流直管流动，根据理论推导，将式（1-73）改写成（1-82）的形式后可得α=α(Re<2000)(1-84)研究表明，满流时的摩擦系数入可用下式计算(2618.71=1.74—2lg(分）(1-85)SXRey使用简单的选代程序不难按已知Re数和相对粗糙度e/d求出入值，工程上为避免试差选代，也为了使入与Re、e/d的关系形象化，将式（1-84）、式（1-85）制成图线。见图1-32。0.1T过渡区下0.090.08以层流满流完全尚流粗精管0.050.070.040.060.030.05E0.07s洲0.040.011飞福0.006p/30.030.0040.0250.0028.800.020.00060.0150.0004光滑管0.00020.00010.010.000050.0000050.0090.0000010.008A0.000011032461024610246106246107246108雷诺数Re图1-32摩擦系数入与雷诺数Re及相对粗糙度e/d的关系该图为双对数坐标。Re<2000为层流，lg\随lgRe直线下降，由式（1-84）可知其斜率为一1。此时阻力损失与流速的一次方成正比。在Re=2000～4000的过渡区内，管内流型因环境而异，摩擦系数波动。工程上为安全计，常作满流处理。当Re>4000，流动进人湍流区，摩擦系数入随雷诺数Re的增大而减小。至足够大的Re后，入不再随Re而变，其值仅取决于相对粗糙度/d。此时式（1-85）右方括号中第29