北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第三章 线性方程组（3.5）线性方程组有解判别定理

S5线性方程组有解判别定理 设线性方程组为 a1x1+a12x2 a21x1+a2x2+…+a2xn=b2 x1+a,2x. 引入向量 B b 于是线性方程组(1)可以改写成向量方程 B (3) 显然,线性方程组(1)有解的充要条件为向量B可以表成向量组a1,a2…,an 的线性组合用秩的概念,线性方程组(1)有解的条件可以叙述如下: 定理7(线性方程组有解判别定理)线性方程组(1)有解的充要条件为它的系 数矩阵 A 1a2 a, a 与增广矩阵 a b b 2 b 有相同的秩 应该指出,这个判别条件与以前的消元法是一致的用消元法解线性方程组(1) 的第一步就是用初等行变换把增广矩阵A化成阶梯形这个阶梯形矩阵在适当调 动前列的顺序之后可能有两种情形

§5 线性方程组有解判别定理 设线性方程组为        + + + = + + + = + + + = s s sn n s n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 , , (1) 引入向量               =               =               =               = s n s n n n s s b b b a a a a a a a a a      2 1 2 1 2 22 12 2 1 21 11 1  , , ,  ,  . (2) 于是线性方程组(1)可以改写成向量方程 x11 + x2 2 ++ xn n =  . (3) 显然，线性方程组(1)有解的充要条件为向量  可以表成向量组    n , , , 1 2  的线性组合.用秩的概念，线性方程组(1)有解的条件可以叙述如下： 定理 7(线性方程组有解判别定理) 线性方程组(1)有解的充要条件为它的系 数矩阵               = s s sn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 与增广矩阵               = s s sn s n n a a a b a a a b a a a b A        1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 有相同的秩. 应该指出，这个判别条件与以前的消元法是一致的.用消元法解线性方程组(1) 的第一步就是用初等行变换把增广矩阵 A 化成阶梯形.这个阶梯形矩阵在适当调 动前列的顺序之后可能有两种情形：

0c2 C d 0 00 0 00 0 或者 C\ c2 0 d 00 d 00 00 其中cn≠0,l=1,2,…r,dn1≠0.在前一种情形,原方程组无解,而在后一种情形 方程组有解实际上,把这个阶梯形矩阵最后一列去掉,那就是线性方程组(1)的 系数矩阵A经过初等行变换所化成的阶梯形这就是说,当系数矩阵与增广矩阵 的秩相等时,方程组有解;当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加1时,方程组无 以上的说明可以认为是判别定理的另一个证明 根据克拉默法则,也可以给出一般线性方程组的一个解法 设线性方程组(1)有解,矩阵A与A的秩都等于r,而D是矩阵A的一个不为 零的r级子式(当然它也是A的一个不为零的子式),为了方便起见,不妨设D位 于A的左上角 显然,在这种情况下,A的前r行就是一个极大线性无关组,第r+1…,s行 都可以经它们线性表出因此,线性方程组(1)与

                          + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 22 2 2 2 11 12 1 1 1                       r r r r n r r n r n d c c d c c c d c c c c d 或者                           0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 22 2 2 2 11 12 1 1 1                       rr rn r r n r n c c d c c c d c c c c d 其中 cii  0 ,i =1,2,  ,r, dr+1  0.在前一种情形，原方程组无解，而在后一种情形 方程组有解.实际上，把这个阶梯形矩阵最后一列去掉，那就是线性方程组(1)的 系数矩阵 A 经过初等行变换所化成的阶梯形.这就是说，当系数矩阵与增广矩阵 的秩相等时，方程组有解；当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加 1 时，方程组无 解. 以上的说明可以认为是判别定理的另一个证明. 根据克拉默法则，也可以给出一般线性方程组的一个解法. 设线性方程组(1)有解，矩阵 A 与 A 的秩都等于 r ，而 D 是矩阵 A 的一个不为 零的 r 级子式(当然它也是 A 的一个不为零的子式)，为了方便起见，不妨设 D 位 于 A 的左上角. 显然，在这种情况下， A 的前 r 行就是一个极大线性无关组，第 r +1,  ,s 行 都可以经它们线性表出.因此，线性方程组(1)与

a1x1+…+a1x1+…+anxn=b1, b2 arI 1 同解 当r=n时,由克拉默法则,线性方程组(4)有唯一解,也就是线性方程组(1) 有唯一解 当r<n时,将线性方程组(4)改写为 b1-a1 2x1=b2 a.x1+…+ax a.x (5)作为x1…,x,的一个方程组,它的系数行列式由克拉默法则,对于x1…,xn的 任意一组值,线性方程组(5),也就是线性方程组(1),都有唯一的解.x1…,x就 是线性方程组(1)的一组自由未知量对(5)用克拉默法则,可以解出x,…x,: x=d d-c (6)就是线性方程组(1)的一般解 例λ取怎样的数值时,线性方程组 +x,+x x1+Ax2+x3=元 Ax,=2 有唯一解,没有解,有无穷多解?

       + + + + = + + + + = + + + + = r rr r rn n r r r n n r r n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b        1 1 21 1 2 2 2 11 1 1 1 1 , , (4) 同解. 当 r = n 时，由克拉默法则，线性方程组(4)有唯一解，也就是线性方程组(1) 有唯一解. 当 r  n 时，将线性方程组(4)改写为        + + = − − − + + = − − − + + = − − − + + + + + + . , , 1 1 , 1 1 21 1 2 2 2, 1 1 2 11 1 1 1 1, 1 1 1 r r r r r r r r r n n r r r r n n r r r r n n a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x        (5) (5)作为 r x , , x 1  的一个方程组，它的系数行列式.由克拉默法则，对于 r n x , , x +1  的 任意一组值，线性方程组(5)，也就是线性方程组(1)，都有唯一的解. r n x , , x +1  就 是线性方程组(1)的一组自由未知量.对(5)用克拉默法则，可以解出 r x , , x 1  ：        =  −  − −  =  −  − −  =  −  − −  + + + + + + . , , , 1 1 2 2 2, 1 1 2 1 1 1, 1 1 1 r r r r r rn n r r n n r r n n x d c x c x x d c x c x x d c x c x     (6) (6)就是线性方程组(1)的一般解. 例  取怎样的数值时，线性方程组      + + = + + = + + = , , 1, 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3      x x x x x x x x x 有唯一解，没有解，有无穷多解？