北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第四章 矩阵（4.2）矩阵的运算

§2矩阵的运算 现在来定义矩阵的运算,它们可以认为是矩阵之间一些最基本的关系.下面 要定义矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置 为了确定起见,我们取定一个数域,以下所讨论的矩阵全是由数域中的数组 成的 1.加法 定义1设 A 21a22 2n b. b B=(b) b2 i b b2 b, b 是两个sxn矩阵,则矩阵 ,u a,+b C=(=(a,+b, b21 a2+ b 称为A和B的和,记为 C=A+B 矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加当然,相加的矩阵必须要有相同的行 数和列数由于矩阵的加法归结为它们的元素的加法,也就是数的加法,所以不 难验证,它有 结合律:A+(B+C)=(A+B)+C; 交换律:A+B=B+A 元素全为零的矩阵称为零矩阵,记为O,,在不致引起含混的时候,可简单 地记为O.显然,对所有的A A+o=A 矩阵

§2 矩阵的运算 现在来定义矩阵的运算，它们可以认为是矩阵之间一些最基本的关系.下面 要定义矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置. 为了确定起见，我们取定一个数域，以下所讨论的矩阵全是由数域中的数组 成的. 1. 加法 定义 1 设 ( )               = = s s sn n n sn ij a a a a a a a a a A a       1 2 21 22 2 11 12 1 , ( )               = = s s sn n n sn ij b b b b b b b b b B b       1 2 21 22 2 11 12 1 是两个 sn 矩阵，则矩阵 ( ) ( )               + + + + + + + + + = = + = s s s s s n s n n n n n s n i j i j s n i j a b a b a b a b a b a b a b a b a b C c a b       1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 称为 A 和 B 的和，记为 C = A+ B. 矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加.当然，相加的矩阵必须要有相同的行 数和列数.由于矩阵的加法归结为它们的元素的加法，也就是数的加法，所以不 难验证，它有 结合律： A + (B + C) = (A + B) + C ; 交换律： A + B = B + A . 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为 Osn ，在不致引起含混的时候，可简单 地记为 O.显然，对所有的 A ， A+O = A. 矩阵

称为矩阵A的负矩阵,记为-A.显然有 A+(-A)=O 矩阵的减法定义为 A-B=A+(-B) 例如在§1我们看到,某一种物资如果有s个产地,n个销地,那么一个调 动方案就可表示为一个sxn矩阵矩阵中的元素a表示由产地A要运到销地B 的这个物资的数量,比如说吨数如果从这些产地还有另一个物资要运到这些销 地,那么,这种物资的调动方案也可以表示为一个矩阵于是从产地到销地的总 的运输量也可以表示为一个s×n矩阵显然,这个矩阵就等于上面两个矩阵的和 根据矩阵加法的定义应用关于向量组的秩的性质,很容易看出 秩(A+B)≤秩(A)+秩(B) 乘法 在给出乘法定义之前,先看一个引出矩阵问题 设x,x2,x3,x和y,y2,y3是两组变量,它们之间的关系为 x1=a1y1+a12y2+al13y3 x2=a2y1+a2y2+a23y3 x3=a31y1+a2y2+a3y3 x4=a4y1+a42y2+a43y3 又如1=2是第三组变量,它们与y1,y2,y2的关系为 b21=1+b22 y3=b31=1+b2 由(1)与(2)不难看出x2,x2,x2,x4与1=2的关系

              − − − − − − − − − s s sn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 称为矩阵 A 的负矩阵，记为− A .显然有 A + (−A) = O 矩阵的减法定义为 A − B = A + (−B) 例如 在§1 我们看到，某一种物资如果有 s 个产地，n 个销地，那么一个调 动方案就可表示为一个 sn 矩阵.矩阵中的元素 ij a 表示由产地 Ai 要运到销地 Bj 的这个物资的数量，比如说吨数.如果从这些产地还有另一个物资要运到这些销 地，那么，这种物资的调动方案也可以表示为一个矩阵.于是从产地到销地的总 的运输量也可以表示为一个 sn 矩阵.显然，这个矩阵就等于上面两个矩阵的和. 根据矩阵加法的定义应用关于向量组的秩的性质，很容易看出： 秩（ A + B ）≤ 秩（ A ）+秩（ B ） 2. 乘法 在给出乘法定义之前，先看一个引出矩阵问题. 设 1 2 3 4 x , x , x , x 和 1 2 3 y , y , y 是两组变量，它们之间的关系为        = + + = + + = + + = + + . , , , 4 41 1 42 2 43 3 3 31 1 32 2 33 3 2 21 1 22 2 23 3 1 11 1 12 2 13 3 x a y a y a y x a y a y a y x a y a y a y x a y a y a y (1) 又如 1 2 z ,z 是第三组变量，它们与 1 2 3 y , y , y 的关系为      = + = + = + . , , 3 31 1 32 2 2 21 1 22 2 1 11 1 12 2 y b z b z y b z b z y b z b z (2) 由(1)与(2)不难看出 1 2 3 4 x , x , x , x 与 1 2 z ,z 的关系：

x=∑ay=∑aC∑b=)=∑∑ab k=l j ∑ab=∑∑ab (=1,2,3,4) 如果我们用 ∑cn,(i=1,2,3,4) 来表示x1,x2x3,x4与x1,2的关系,比较(3)(4),就有 b(=1,2,3,4;j=1,2) 用矩阵的表示法,我们可以说,如果矩阵 A=(a)3,B=)2 分别表示变量x1,x2,x2x4与y,y2,y3以及y,y2,y3与2,=2之间的关系,那么表示 x1,x2,x3,x4与=1=2之间的关系的矩阵 就由公式(5)决定矩阵C称为矩阵A与B的乘积,记为 般地,我们有: 定义2设 B 那么矩阵 C=(e), 其中 abui+a2b, 称为矩阵A与B的乘积,记为 C=AB 由矩阵乘法的定义可以看出,矩阵A与B的乘积C的第行第j列的元素等 于第一个矩阵A的第i行与第二个矩阵B的第j列的对应元素的乘积的和当然, 在乘积的定义中,我们要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等

( ) ( 1,2,3,4) ( ) 2 1 3 1 2 1 3 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 = = = = = =        = = = = = = = = = a b z a b z i x a y a b z a b z j j k j k i k kj j i k kj k j i k kj j k j i k kj j k i i k k . (3) 如果我们用 ( 1,2,3,4) 2 1 =  = = x c z i j i ij j (4) 来表示 1 2 3 4 x , x , x , x 与 1 2 z ,z 的关系，比较(3),(4)，就有 ( 1,2,3,4; 1, 2) 3 1 =  = = = c a b i j k ij ik kj . (5) 用矩阵的表示法，我们可以说，如果矩阵 ( ) ( ) 43 32 , A = aik B = bkj 分别表示变量 1 2 3 4 x , x , x , x 与 1 2 3 y , y , y 以及 1 2 3 y , y , y 与 1 2 z ,z 之间的关系，那么表示 1 2 3 4 x , x , x , x 与 1 2 z ,z 之间的关系的矩阵 ( ) 42 ij C = c 就由公式(5)决定.矩阵 C 称为矩阵 A 与 B 的乘积，记为 C = AB 一般地，我们有： 定义 2 设 ( ) ( ) ik sn kj nm A = a , B = b , 那么矩阵 ( ) ij sm C = c , 其中 = = + + + = n k ij ai b j ai b j ai nbnj ai kbkj c 1 1 1 2 2  , (6) 称为矩阵 A 与 B 的乘积，记为 C = AB. 由矩阵乘法的定义可以看出，矩阵 A 与 B 的乘积 C 的第 i 行第 j 列的元素等 于第一个矩阵 A 的第 i 行与第二个矩阵 B 的第 j 列的对应元素的乘积的和.当然， 在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等

例1设 034 204 05-1 l21 那么 10-12 AB= 10 3 05-14 121 例2如果 A=(au) 是一线性方程组的系数矩阵,而 b2 b 分别是未知量和常数项所成的n×1和s×1矩阵,那么线性方程组就可以写成矩阵 的等式 A X= B 例3在空间中作一坐标系的转轴设由坐标系(x1y1,=1)到(x2,y2=2)的坐标 变换的矩阵为 a 22a23 a aaa a. 如果令 y 那么坐标变换的公式可以写成 如果再作一次坐标系的转轴,设由第二个坐标系(x2y2,=2)到第三个坐标系

例 1 设               − − =           − − − = 1 2 1 3 1 1 1 2 1 0 3 4 , 0 5 1 4 1 1 3 0 1 0 1 2 A B , 那么           − − − =               − −           − − − = 2 17 10 10 2 6 5 6 7 1 2 1 3 1 1 1 2 1 0 3 4 0 5 1 4 1 1 3 0 1 0 1 2 AB 例 2 如果 ( ) sn A = aij 是一线性方程组的系数矩阵，而               =               = n bs b b B x x x X   2 1 2 1 , 分别是未知量和常数项所成的 n1 和 s 1 矩阵，那么线性方程组就可以写成矩阵 的等式 AX = B . 例 3 在空间中作一坐标系的转轴.设由坐标系 ( , , ) 1 1 1 x y z 到 ( , , ) 2 2 2 x y z 的坐标 变换的矩阵为           = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a A 如果令           =           = 2 2 2 2 1 1 1 1 , z y x X z y x X , 那么坐标变换的公式可以写成 X1 = AX2 . 如果再作一次坐标系的转轴，设由第二个坐标系 ( , , ) 2 2 2 x y z 到第三个坐标系

(x3,y3z3)的坐标变换公式为 X=BX 3 其中 bu bu2 bus B=b21b2b23,X3 b3 b32 b33 那么不难看出,由第一个坐标系到第三个坐标系的坐标变换的矩阵即为 C=AB 矩阵的乘法适合结合律设 A=(an),B=(b),C=()m 则 (ABC=A(BC) 但是矩阵的乘法不适合交换律,即一般说来 AB≠BA 例如,设 A B AB 00 BA 由这个例子我们还可看出,两个不为零的矩阵的乘积可以是零,这是矩阵乘 法的一个特点由此还可得出矩阵消去律不成立即当AB=AC时不一定有 定义3主对角线上的元素全是1,其余元素全是0的nxn矩阵 0

( , , ) 3 3 3 x y z 的坐标变换公式为 X2 = BX3 , 其中           =           = 3 3 3 3 31 32 33 21 22 23 11 12 13 , z y x X b b b b b b b b b B . 那么不难看出，由第一个坐标系到第三个坐标系的坐标变换的矩阵即为 C = AB. 矩阵的乘法适合结合律.设 ( ) ( ) ( ) jk nm kl mr sn ij A = a , B = b , C = c 则 (AB)C = A(BC). 但是矩阵的乘法不适合交换律，即一般说来 AB  BA. 例如，设         − − =         − − = 1 1 1 1 , 1 1 1 1 A B         =        − −         − − = 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 AB , 而         − − =        − −         − − = 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 BA . 由这个例子我们还可看出，两个不为零的矩阵的乘积可以是零，这是矩阵乘 法的一个特点.由此还可得出矩阵消去律不成立.即当 AB = AC 时,不一定有 B = C. 定义 3 主对角线上的元素全是 1，其余元素全是 0 的 nn 矩阵               0 0 1 0 1 0 1 0 0      