北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第四章 矩阵（4.1）矩阵概念的一些背景

第四章矩阵 §1矩阵概念的一些背景 在线性方程组的讨论中,我们看到,线性方程组的一些重要性质反映在它的 系数矩阵和增广矩阵的性质上,并且解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵 的过程除了线性方程组之外,还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念, 并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究,甚至于有些性质完 全不同的、表面上完全没有联系的问题,归结成矩阵问题以后却是相同的这使 矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念,因而也就使矩阵成为代数特别 是线性代数的一个主要研究对象 1.在解析几何中考虑坐标变换时,如果只考虑坐标系的转轴(反时针方向转 轴),那么平面直角坐标变换的公式为 =x'cos sin 8 y=xsn 8+y'cos8 (1) 其中θ为x轴与x轴的夹角显然新旧坐标之间的关系,完全通过公式中系数所排 成的2×2矩阵 sin 6 cose 表示出来通常,矩阵(2)称为坐标变换(1)的矩阵在空间的情形,保持原点不动的 仿射坐标系的变换有公式 x=aur+a,2y+a132 y=a21x+a2y'+a2-, 同样,矩阵 aa 33 就称为坐标变换(3)的矩阵 2.二次曲线的一般方程为 ax+2bxy+cy+2dx+2ey +f=0 (5)的左端可以简单地用矩阵

第四章 矩 阵 §1 矩阵概念的一些背景 在线性方程组的讨论中，我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的 系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵 的过程.除了线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念， 并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完 全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这使 矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特别 是线性代数的一个主要研究对象. 1. 在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标系的转轴(反时针方向转 轴)，那么平面直角坐标变换的公式为    =  +  =  −  sin cos , cos sin ,     y x y x x y (1) 其中  为 x 轴与 x  轴的夹角.显然新旧坐标之间的关系，完全通过公式中系数所排 成的 2  2 矩阵         −     sin cos cos sin (2) 表示出来.通常，矩阵(2)称为坐标变换(1)的矩阵.在空间的情形，保持原点不动的 仿射坐标系的变换有公式      =  +  +  =  +  +  =  +  +  . , , 31 32 33 21 22 23 11 12 13 z a x a y a z y a x a y a z x a x a y a z (3) 同样，矩阵           31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a (4) 就称为坐标变换(3)的矩阵. 2. 二次曲线的一般方程为 2 2 2 0 2 2 ax + bxy + cy + dx + ey + f = . (5) (5)的左端可以简单地用矩阵

d d e f 来表示通常,(6称为二次曲线(5)的矩阵以后我们会看到,这种表示法不只是形 式的 3.在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵例如,假设在某一地区 某一种物资,比如说煤,有s个产地A13A2,…,A1,n个销地B,B2,…,Bn,那么 一个调动方案就可以用一个矩阵 a22 sl s2 来表示,其中an表示由产地A运到销地B的数量 4!.n维向量也可以看成矩阵的特殊情形.n维行向量就是1×n矩阵,n维列 向量就是n×1矩阵 以后用大写的拉丁字母A,B1…,或者 a)(b,) 来表示矩阵 有时候,为了指明所讨论的矩阵的级数,可以把s×n矩阵写成An,Bmn…, 或者 (注意矩阵符号与行列式的符号的区别) 设A=(2)、),如果m=,n=k,且an=b,对1=1,2,m=12…n都 成立,我们就说A=B即只有完全一样的矩阵才叫做相等

          d e f b c e a b d (6) 来表示.通常，(6)称为二次曲线(5)的矩阵.以后我们会看到，这种表示法不只是形 式的. 3. 在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵.例如，假设在某一地区， 某一种物资，比如说煤，有 s 个产地 A A As , , , 1 2  ，n 个销地 B B Bn , , , 1 2  ，那么 一个调动方案就可以用一个矩阵               s s sn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 来表示，其中 ij a 表示由产地 Ai 运到销地 Bj 的数量. 4. n 维向量也可以看成矩阵的特殊情形. n 维行向量就是 1n 矩阵， n 维列 向量就是 n1 矩阵. 以后用大写的拉丁字母 A, B,  ，或者 (aij),(bij),  来表示矩阵. 有时候，为了指明所讨论的矩阵的级数，可以把 sn 矩阵写成 Asn ,Bsn , ， 或者 (aij) sn ,(bij) sn ,  (注意矩阵符号与行列式的符号的区别). 设 ( ) ( ) lk A aij mn bij = , ，如果 m = l, n = k ，且 aij = bij ，对 i = 1,2,  ,m; j = 1,2,  ,n 都 成立，我们就说 A = B .即只有完全一样的矩阵才叫做相等