§4矩阵的秩 、矩阵的秩 如果把矩阵的每一行看成一个向量,那么矩阵就可以认为是由这些向量组成 的同样,如果把每一列看成一个向量,那么矩阵也可以认为是由列向量组成的 定义15所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩;矩阵的列秩就是矩阵 的列向量组的秩 例如,矩阵 3 0 1200 05 00 的行向量组是 a1=(1,1,3,1),a2=(0,2,-1,4),a3=(0,00,5),a4=(0,0.0,0) 它的秩是3它的列向量组是 B1=(1,0,0,0),B2=(1,20,0),B3=(3,-1,0,0),B4=(1,45,0) 它的秩也是3 矩阵A的行秩等于列秩,这点不是偶然的 引理如果齐次线性方程组 anx1+a2x2+…+a1nxn=0 a2x1+a2x2+…+a2nxn=0, x,+ 的系数矩阵 2 A 2n a 2 的行秩r<n,那么它有非零解 定理4矩阵的行秩与列秩相等 因为行秩等于列秩,所以下面就统称为矩阵的秩 、矩阵的秩与行列式的联系
§4 矩阵的秩 一、矩阵的秩 如果把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就可以认为是由这些向量组成 的.同样，如果把每一列看成一个向量，那么矩阵也可以认为是由列向量组成的. 定义 15 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵 的列向量组的秩. 例如，矩阵 − = 0 0 0 0 0 0 0 5 0 2 1 4 1 1 3 1 A 的行向量组是 (1,1,3 ,1), (0,2, 1,4) , (0,0,0,5), (0,0,0,0) 1 = 2 = − 3 = 4 = 它的秩是 3.它的列向量组是 (1,0,0,0) , (1,2,0,0) , (3, 1,0 ,0) , (1,4 ,5,0) 1 2 3 4 = = = − = 它的秩也是 3. 矩阵 A 的行秩等于列秩，这点不是偶然的. 引理 如果齐次线性方程组 + + + = + + + = + + + = 0 0, 0, 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 s s sn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x （1） 的系数矩阵 = s s sn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 的行秩 r n ，那么它有非零解. 定理 4 矩阵的行秩与列秩相等. 因为行秩等于列秩，所以下面就统称为矩阵的秩. 二、矩阵的秩与行列式的联系
定理5n×n矩阵 a a2n 的行列式为零的充要条件是A的秩小于n 推论齐次线性方程组 a1x1+a12x2+…+a1nxn=0 a21x1+a2x2+…+a2nxn=0, lanXi+an2x2 0 有非零解的充要条件是它的系数矩阵 A 的行列式等于零 定义16在一个sxn矩阵A中任意选定k行和k列,位于这些选定的行和列 的交点上的k2个元素按原来的次序所组成的k级行列式,称为A的一个k级子 在定义中,当然有k≤min(s,n),这里min(s,n)表示s,n中较小的一个 定理6一矩阵的秩是r的充要条件为矩阵中有一个r级子式不为零,同时所 有r+1级子式全为零 从定理的证明可以看出,这个定理实际上包含两部分,一部分是,矩阵A的 秩≥r的充要条件为有一个r级子式不为零:另一部分是,矩阵的秩≤r的充要条 件为的所有r+1级子式全为零从定理的证明还可以看出,在秩为r的矩阵中,不 为零的r级子式所在的行正是它行向量组的一个极大线性无关组,所在的列正是 它列向量的一个极大线性无关组 、矩阵的秩的计算 在前面,作为解线性方程组的一个方法,对矩阵作行的初等变换,把矩阵化 成阶梯形实际上,这也是计算矩阵的秩的一个方法
定理 5 nn 矩阵 = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 的行列式为零的充要条件是 A 的秩小于 n . 推论 齐次线性方程组 + + + = + + + = + + + = 0 0, 0, 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 有非零解的充要条件是它的系数矩阵 = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 的行列式等于零. 定义 16 在一个 sn 矩阵 A 中任意选定 k 行和 k 列，位于这些选定的行和列 的交点上的 2 k 个元素按原来的次序所组成的 k 级行列式，称为 A 的一个 k 级子 式. 在定义中，当然有 k min( s, n) ，这里 min( s,n) 表示 s , n 中较小的一个. 定理 6 一矩阵的秩是 r 的充要条件为矩阵中有一个 r 级子式不为零，同时所 有 r +1 级子式全为零. 从定理的证明可以看出，这个定理实际上包含两部分，一部分是，矩阵 A 的 秩 r 的充要条件为有一个 r 级子式不为零；另一部分是，矩阵的秩 r 的充要条 件为的所有 r +1 级子式全为零.从定理的证明还可以看出，在秩为 r 的矩阵中，不 为零的 r 级子式所在的行正是它行向量组的一个极大线性无关组，所在的列正是 它列向量的一个极大线性无关组. 三、矩阵的秩的计算 在前面，作为解线性方程组的一个方法，对矩阵作行的初等变换，把矩阵化 成阶梯形.实际上，这也是计算矩阵的秩的一个方法
首先,矩阵的初等行变换是把行向量组变成一个与之等价的向量组等价的 向量组有相同的秩,因此,初等行变换不改变矩阵的秩同样初等列变换也不改 变矩阵的秩 其次,阶梯形矩阵的秩就等于其中非零的行的数目 上面的讨论说明,为了计算一个矩阵的秩,只要用初等行变换把它变成阶梯 形,这个阶梯形矩阵中非零的行的个数就是原来矩阵的秩 以上的讨论还说明,用初等变换化一个线性方程组成阶梯形,最后留下来的 方程的个数与变换的过程无关,因为它就等于增广矩阵的秩 例利用初等变换求下面矩阵的秩 11257 123710 A 134913 16
首先，矩阵的初等行变换是把行向量组变成一个与之等价的向量组.等价的 向量组有相同的秩，因此，初等行变换不改变矩阵的秩.同样初等列变换也不改 变矩阵的秩. 其次，阶梯形矩阵的秩就等于其中非零的行的数目. 上面的讨论说明，为了计算一个矩阵的秩，只要用初等行变换把它变成阶梯 形，这个阶梯形矩阵中非零的行的个数就是原来矩阵的秩. 以上的讨论还说明，用初等变换化一个线性方程组成阶梯形，最后留下来的 方程的个数与变换的过程无关，因为它就等于增广矩阵的秩. 例 利用初等变换求下面矩阵的秩： = 1 4 5 11 16 1 3 4 9 13 1 2 3 7 10 1 1 2 5 7 A