§3唯一性 经过非退化线性替换,二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵由第四章§4 定理4,合同的矩阵有相同的秩,这就是说,经过非退化线性替换后,二次型矩 阵的秩是不变的标准形的矩阵是对角矩阵,而对角矩阵的秩就等于它对角线上 不为零的平方项的个数因之,在一个二次型的标准形中,系数不为零的平方项 的个数是唯一确定的,与所作的非退化线性替换无关,二次型矩阵的秩有时就称 为二次型的秩 至于标准形中的系数,就不是唯一确定的在一般数域内,二次型的标准形 不是唯一的,而与所作的非退化线性替换有关 下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题 设∫(x12x2…x)是一个复系数的二次型,由本章定理1,经过一适当的非 退化线性替换后,∫(x,x2…x)变成标准形,不妨假定化的标准形是 d1y2+d2y2+…+dy2,d1≠0,i=1,2,…,r (1) 易知r就是∫(x12x2…,x)的矩阵的秩因为复数总可以开平方,再作一非退化线 性替换 y+1=2r+1 (1)就变成 21+二+… (3)就称为复二次型∫(x1x2,…,xn)的规范形显然,规范形完全被原二次型矩阵的 秩所决定,因此有 定理3任意一个复系数的二次型经过一适当的非退化线性替换可以变成规 范形,且规范形是唯一的
§3 唯一性 经过非退化线性替换，二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵.由第四章§4 定理 4，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过非退化线性替换后，二次型矩 阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对角矩阵，而对角矩阵的秩就等于它对角线上 不为零的平方项的个数.因之，在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项 的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关，二次型矩阵的秩有时就称 为二次型的秩. 至于标准形中的系数，就不是唯一确定的.在一般数域内，二次型的标准形 不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关. 下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题. 设 ( , , , ) 1 2 n f x x x 是一个复系数的二次型，由本章定理 1，经过一适当的非 退化线性替换后， ( , , , ) 1 2 n f x x x 变成标准形，不妨假定化的标准形是 d y d y d y d i r r r i , 0, 1,2, , 2 2 2 2 2 1 1 + ++ = . (1) 易知 r 就是 ( , , , ) 1 2 n f x x x 的矩阵的秩.因为复数总可以开平方，再作一非退化线 性替换 = = = = + + , , , 1 , 1 1 1 1 1 1 n n r r r r r y z y z z d y z d y (2) (1)就变成 2 2 2 2 1 r z + z ++ z (3) (3)就称为复二次型 ( , , , ) 1 2 n f x x x 的规范形.显然，规范形完全被原二次型矩阵的 秩所决定，因此有 定理 3 任意一个复系数的二次型经过一适当的非退化线性替换可以变成规 范形，且规范形是唯一的
定理3换个说法就是,任一复数的对称矩阵合同于一个形式为 0 的对角矩阵从而有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等 设∫(x1,x2,…x)是一实系数的二次型由本章定理1,经过某一个非退化线 性替换,再适当排列文字的次序,可使∫(x,x2,…,xn)变成标准形 dy2+d2y2+…+dny2 d (4) 其中d1>0,i=1,2,…Fr是∫(x12x2…x)的矩阵的秩因为在实数域中,正实数 总可以开平方,所以再作一非退化线性替换 VI (4)就变成 (6) (6)就称为实二次型∫(x1,x2…xn)的规范形显然规范形完全被r,p这两个数所 决定 定理4任意一个实数域上的二次型,经过一适当的非退化线性替换可以变 成规范形,且规范形是唯一的 这个定理通常称为惯性定理 定义3在实二次型f(x1,x2,…xn)的规范形中,正平方项的个数p称为 f(x1,x2…xn)的正惯性指数:负平方项的个数r-p称为f(x1,x2,…xn)的负惯
定理 3 换个说法就是，任一复数的对称矩阵合同于一个形式为 0 0 1 1 的对角矩阵.从而有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等. 设 ( , , , ) 1 2 n f x x x 是一实系数的二次型.由本章定理 1，经过某一个非退化线 性替换，再适当排列文字的次序，可使 ( , , , ) 1 2 n f x x x 变成标准形 , 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 p p p p r r d y + d y + + d y − d y − − d y + + (4) 其中 d i r r i 0, =1,2, , ; 是 ( , , , ) 1 2 n f x x x 的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数 总可以开平方，所以再作一非退化线性替换 = = = = + + , , , 1 , 1 1 1 1 1 1 n n r r r r r y z y z z d y z d y (5) (4) 就变成 , 2 2 1 2 2 2 2 1 p p r z + z + + z − z − − z + (6) (6)就称为实二次型 ( , , , ) 1 2 n f x x x 的规范形.显然规范形完全被 r, p 这两个数所 决定. 定理 4 任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变 成规范形，且规范形是唯一的. 这个定理通常称为惯性定理. 定义 3 在实二次型 ( , , , ) 1 2 n f x x x 的规范形中，正平方项的个数 p 称为 ( , , , ) 1 2 n f x x x 的正惯性指数；负平方项的个数 r − p 称为 ( , , , ) 1 2 n f x x x 的负惯
性指数:它们的差p-(r-p)=2p-r称为f(x1,x2…,xn)的符号差 应该指出,虽然实二次型的标准形不是唯一的,但是由上面化成规范形的过 程可以看出,标准形中系数为正的平方项的个数与规范形中正平方项的个数是 致的,因此,惯性定理也可以叙述为:实二次型的标准形中系数为正的平方项的 个数是唯一的,它等于正惯性指数,而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指 定理5(1)任一复对称矩阵A都合同于一个下述形式的对角矩阵 其中对角线上1的个数等于A的秩 (2)任一实对称矩阵A都合同于一个下述形式的对角矩阵 0 0 其中对角线上1的个数p及-1的个数r-p(F等于A的秩)都是唯一确定的 分别称为A的正、负惯性指数,它们的差2p-r称为A的符号差
性指数；它们的差 p − (r − p) = 2 p − r 称为 ( , , , ) 1 2 n f x x x 的符号差. 应该指出，虽然实二次型的标准形不是唯一的，但是由上面化成规范形的过 程可以看出，标准形中系数为正的平方项的个数与规范形中正平方项的个数是一 致的，因此，惯性定理也可以叙述为：实二次型的标准形中系数为正的平方项的 个数是唯一的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指 数. 定理 5 （1）任一复对称矩阵 A 都合同于一个下述形式的对角矩阵： = O O Ir O 0 0 1 1 . 其中对角线上 1 的个数等于 A 的秩. （2）任一实对称矩阵 A 都合同于一个下述形式的对角矩阵： − − 0 0 0 0 0 0 0 r p p I I , 其中对角线上 1 的个数 p 及-1 的个数 r − p （ r 等于 A 的秩）都是唯一确定的， 分别称为 A 的正、负惯性指数，它们的差 2 p − r 称为 A 的符号差