取小珠、环及地球为系统,在小珠下落过程中,外力做功为零, 系统中又无非保守内力做功,所以系统的机械能守恒。设小珠落至 B、C处时,相对于环的速度分别为t1v2,则有 Jwr+ mgR=o(J+ mR u+ omvi (6 有 Jwo+ mg(2R)- 1 ja2+a mv2 (7) 由(4)~(7)式,解得小珠在B、C处相对于环的速度分别为 WoR2+ 2gR 8) R 小珠相对于环作圆周运动,所以v1的方向与AC轴平行向 下,2的方向与AC轴垂直向左。小珠落到B处时,环上B处相对 于地面速度为a1R,方向垂直AC轴向里,故小珠在B处相对于地 面的速度大小为 (10) 把(4),(8)式代入(10)式可得 ve=,/4 AWOR2+2gR 环上C处相对于地面的速度恒为零所以小珠在C处相对于地面 的速度,即为相对于环的速度,故有 4gR 1-1-20有一宇宙飞船欲考察质量为M半径为R的某星球,当 它静止于空中离这星球中心5R处时,以初速度v发射一质量为 29
n的仪器舱,且m《M,要使这仪器舱恰好掠擦此星球的表面着 陆,问发射时倾角日应为多少? R 5R 图1-20题1-1-20图示 解:因为m<M,仪器舱m可视为在力心固定不动的有心力 场中运动,根据动量守恒和机被能守恒,有 5Rmvosind=R (1) M 2"2mu-gr 式中v为仪器舱的着陆速度,与星球表面相切,G为万有引力常 量,由(1),(2)两式消去v得 S1 +5 arcsin 士 11+5R0 8GM 1-121有一长为l质量为m1的均匀细棒,静止平放在水平桌 面上,它可以绕通过其端点O,且与桌面垂直的固定光滑轴转动 另有一质量为m2、水平运动的小滑块,从棒的侧面沿垂直棒的方 向与棒的另一端A相碰撞,并被棒反向弹回,碰撞时间极短,如图 1-21所示。已知小滑块与细棒碰撞前后的速率分别为v和,桌面 与细棒间的滑动摩擦系数为。求从碰撞后到细棒停止运动所需 的时间。 解:取细棒与小滑块为系统,在碰撞过程中,摩擦力矩作用可 30
A 图121题1-1-21图示 忽略不计,系统对O轴的角动量守恒。设碰撞后细棒的角速度为 u,则有 maul =Jao (1) 式中J为细棒对O轴的转动惯量。 碰撞后,细棒以初角速度ω开始绕O轴转动,转动过程中细 棒受摩擦力矩作用。取如图1-21所示的坐标则距O轴为x处的 长的细棒所受摩擦力为 d f s Agdm ug dr 其对O轴的摩擦力矩为 dM mrdx xdf一gT 则细棒所受的摩擦力矩为 M=dM= d 细棒绕O轴转动,由转动定律:M dt 得 d 即 ugm,dt Jdo
积分上式 28ma2=」.Jdm (2 由(1),(2)两式解得细棒运动的时间为 2m2(v+n) Amig 1-122如图1-22所示,有一质量为m,长为l的均匀细杆,可绕 水平轴O无摩擦地转动,OA≈l 了,杆的4端固定一质量为3m的 小球,将细样静止释放后,杆从水平位置开始绕O轴转动,求: F 1-22题1122图示 (i)刚释放时杆的角加速度; (2)此时O轴对杆的支承反力 解:(1)取杆及小球为系统。刚释放时,系统受到重力G1,G2 及O轴的支承反力F的作用,这些力对O轴的力矩为 1 由平行轴定理可知,杆对O轴的转动惯量为 2+ 12=2 小球对O轴的转动惯量为 J2=3m 杆及小球组成的系统对O轴的转动惯量为 32·
J=小+J=3m2 根据转动定律:M=Ja可知刚释放时,杆的角加速度大小为 M 2 3 方向为逆时针向 (2)杆绕O轴转动,杆与球组成的系统的质心作圆周运动,取 坐标如图1-22所示,设x:为系统质心的坐标,则 4 4 3m 8 根据质心运动定律有: F=(m+ 3m)azr Fy+ 3mg mg=(m+ 3m)acy (2) 式中a与ay为刚释放杆时,系统质心的法向和切向加速度,即 ac 刚释放杆时,v=0,则ax=0。 Ta 3) 把x。及a的值代入(3)式,解得 g 将ax,a:的值代入(1)式和(2)式,解得 F,=0 ng 所以,该瞬时O轴的支承反力的方向垂直向上,大小为mg ·33