1-123一弹簧的质量为m,原长为l,侧强系数为k其一端固 定,另一端系一质量为M的小球,量于光滑的水平桌面上弹簧的 伸长是均匀的,如图1-23所示:现将小球拉至A点,OA=),然 后无初速地突然释放小球试求小球经过原位置O时的速度。 9 图1-23题1-1-23图示 解:取坐标如图1-23所示,由于弹簧伸长是均匀的,所以弹 簧上任意一点的速度vx将随x线性增加,即在x处弹簧的速度为 式中v为弹簧终端l处的速度,即小球的速度弹簧上dx一微段 弹簧的动能为 dEL=2dm)-1(2-1(y=器c 则弹簧的总动能为 7℃ E de rdr =mvi 设小球经过原位置时的速度为以则其动能为 E 则小球与弹簧组成的系统的动能为 E= Et+eM 34
取小球与弹簧为系统,因为内力为保守力,外力不做功,故系统的 机械能守恒 2=3m2+是M2 解得 3k 3M+ 1124一质量为m的小球系在轻绳的一端,放在倾角为的光 滑斜面上,绳的另一端固定在斜面上的O点,绳长为l。 (1)设开始小球处在最低点A处,在垂直于绳的方向给小球 以初速v,欲使小球刚好能绕过最高点B处如图1-24所示。问 v至少为多大? B 图1-24题11-24图示 (2)如果用同样长度的质量不计的轻杆代替细绳其他条件 都不变,问v至少为多大方能使小球绕过B点? 解:(1)小球运动过程中,取小球与地球为系统,所受外力 为绳子的拉力T及斜面的正压力N,该两力不做功,系统内力为重 力,是保守内力,故系统的机械能守恒: 35
mg2isina+mTB 小球在斜面内作圆周运动,小球在B处受重力G绳子拉力T和 斜面正压力N的作用,根据牛顿第二定律,有 mv2 jne+ T 2) 绳子只能受拉力作用,故 3 由(1),(2)和(3)式解得 ≥√5 resin0 (2)如用轻杆代替细绳,由于小球受轻杆约束,轻杆对小球的 作用可为拉力也可为压力即以上公式中T不受大于、等于零的 限制。要求小球能绕过E点仅要求v≥0即可,根据(1)式,可 得 1125如图1-25听示,一个半径为R的半球固定在地面上,在 它的顶部有一半径为r的球从静 止只滚不滑地开始滚下,问:小球 滚到何处恰好脱离大球面? 解:以小球为研究对象,它 受重力mg,支持力N和摩擦力∫ 共同作用,当小球滚至两球心的 连线与竖直方向成B角时,对小 图]-25题1-1-25图示 球的质心来说,在大球面的法线 方向有 R+ 式中v为小球质心的速度。因小球在大球面上作无滑滚动,就以 36
小球、大球和地球为研究对象,则除保守内力外,其它力(N,f)都 不做功,系统机械能守恒,于是有 mg(R+r)(1-c00mv2+力J (2) 转动惯量: (3) 而无滑滚动的条件是 (4) 开始脱离接触时, N=0 (5) 由(1)~(5)式解得 即 0 1-1-26如图1-26所示,在地面上:固定一半径为R的光滑球面, 球面上方处放一质量为M的 物体,一泥球质量为m、以水平速 度v。投向物体,并粘附在物体 上,一起沿球面滑下,: (1)它们滑至何处(-?)脱 离球簡? 2)如果使二者在A处脱离 球面,则泥球的速度至少为多少? 图1-26题11-26图 解:设m与M碰撞后的共 同速度为v,它们脱离球面时的速度为,由动量守恒定律得 (m+M) (1) (1)m与M沿固定光滑球面下滑过程中机械能守恒,在任 位置θ时,有 37
+·M)v2÷(m;M)gk(1 (2) (m M)gcos8-N=(m+ M) (3) 当物体脱离球面时 由(1)~(4)式解得 mva 2 cos8-3gR(m+ m)i+3 2 0= arccos÷+ 33gR(m+M)2 (2)若要在A处使物体脱离球面,则必须满足 (m+M)b≥(m R 8 即 g 考虑到(1)式,有 (m+lying 故泥球的速度至少应为 m十M R 1-1-27长为l的匀质细杆,一端悬于O点,自由下垂,紧挨O点 悬一单摆轻质摆线的长度也是L摆球质量为m,单摆从水平位置 由静止开始自由下摆,与细杆作完全弹性碰撞,碰撞后,单摆正好 静止。求 (1)细杆的质量M; (2)细杆摆动的最大角度0(细杆绕端点的转动惯量J M4) 38·