4R 所需的时间为R6/2R0o ,而地球公转一周历时一年,所 以慧星在地球轨道内运行的时间(年)为 4R 3 2 rRa/2R. 1-14有-静止的,半径为r的光滑半球形碗,在某点A将 质点m以速度v沿碗内壁水平 切线方向投射,A点与球心O的 连线与垂直线成0角,如图1-14 6 所示,欲使质点恰好能达到碗边 缘而不逸出碗外,则vo与θ有何 关系?(解题需要分析) 图1-14题1-1-14图示 解:质点m在碗内任一点 受力有:重力,弹力。 质点m绕OB轴角动量守恒,另外,m恰好达到碗边缘,即在 碗边缘处速度v的方向必是水平的,故有 角动量守恒 mor=mvorsin8 (1) 机械能守恒 mv2=amt2+grose (2) 由(1),(2)式解得 v=cos或={2gr 2gr 注:解本题的关键是①符合角动量守恒的条件;②质点m在碗边 缘速度方向是水平的。 1-1-15一匀质圆柱体自斜面无滑下滚。有人认为,由于倾角0 和摩擦系数μ都可调节,因此总可以通过调节0和p使圆柱体在 无滑下滚过程中质心保持匀速运动试分析这种可能性并作说明。 24
解:不可能。要保证无滑下 滚,諍摩擦力f与日的关系已确 定f=2 nisin,且p≥tg 由质心定理有 图1-15题11-15图示 得出a=38sin0,在斜面情况下6≠0,调节6只能改变a,但不会 为零故不能使质心以匀速且圆柱作无滑下滚。 11-16质量均为m的两个质点A、B,由长为l的不可伸长的轻 绳连系,B点限制在光滑水平桌面上的光滑直槽内,它可以在槽中 自由滑动,开始时A点静止在桌面上,B点静止在直槽内,AB垂 直于直槽且距离为l如A点以速度v在桌面上平行于槽的方向 运动,求证:当B点开始运动时,它的速度大小为3v,并求绳受到 的冲量和槽的反作用冲量。 解:当绳未拉直时,质点A B 以ν作匀速直线运动。绳被拉直 后,质点B开始运动,设质点B 的速度为va,质点A的速度为 卩A外力沿水平方向的分量为零 动量沿该方向的分量守恒 图1-16题1-1-16图示 mv= m(Us vacos8)(1) 绳子是不可伸长的,所以 U:COS30°= T,cOs(6+30°) (2) 由动量定理知质点A的动量沿与绳正交方向的分量不变,即 muhsin(0+30°)-msin30°=0 (3) 由(1),(2),(3)联立求解得
3 B 绳受的冲量 T△=m[wos30°- VA COS(+30°) 槽的反作用冲量 N△=T△si30°÷、mU 1-1-17一质量为M的物体以动能E运动,但不转动,由于一个 内部弹簧装置的作用,此物体被 分成两块不转动的刚体(见图 M 1-17),它们的质量分别是aM和 (1-a)M,并分别沿着物体最初 运动方向两侧各成0角的方向运 6 动 (1)试求这两块刚体速度的 (1-a)M2 大小 (2)证明弹簧装置所提供的图1-17题11-1图示 最小能量为Etg2 解:(1)设物体最初的速度为v,则 e=imul (1) 因物体不受外力,故在分裂过程中动量守恒,由此得v方向: Mvo aMv,cos+(1-a)Mv, cosB (2) 垂直于v方向 aMv,sing=(I-a)Mu, sinA (3) 由(1),(2),(3)式联立解得 seco /E N2M (4) 26
E (5 1-a2M (2)分裂后两物块动能之和E1为 E,=laMv +10-aMu=Esec-8 (6) 设在分裂过程中弹簣装置所提供的能量为△E,则 △E=E1-E=E sec2a 4a(1-a) 欲求△E的最小值,应求E1的最小值,为此求(a-a2)的极大值。 由 a-2/+1可知,它的极大值为故此得 △Em=E(sec26-1)=Etg2日 1-118一匀质细杆长l质量为m其一端A可绕水平轴线在垂 直平面内自由转动,杆最初静止于垂直位 置AB,如图1-18所示。一水平冲量P在 距悬点A下方为y处作用于杆。试问由此 所引起的在悬点A的反作用冲量R的大 小及方向如何随y变化?(杆对通过其端且 与杆垂直的轴的转动惯量为ml2) 解:由对A的动量定理 图1-18题1-1-18图示 Jw= p. (1)式中a为杆绕A转的角速度,设反作用冲量R与P方向相反 (水平向左),则 P-R (2) 由(1),(2)消去a,并将J=m2代入,可得 R=Pll 2l
讨论 1.当22=1,即y=32时R=0 2当y<2l时,R>0,其方向与P相反; 3.当y>台l时,R<0,其方向与P一致(平行 1-1-19将质量为m的均匀金属丝弯成一半径为R的半圆环, 其上套有一质量也等于m的小 珠,小珠可在此半圆环上无摩擦 地运动,这一系统可绕固定在地 面上的竖宜轴转动,如图1-19所 示。开始时,小珠(可看作质点)位 R 于半圆环的顶部A处,系统绕轴 旋转的角速度为,求:当小珠 滑到与环心同一水平的B处及 图1-19题1-1-19图示 环的底部C处时,环的角速度 值,以及小珠相对环和相对地面的速度值(已知半圆环相对轴的转 动惯量为J=1 点mR2)。 解:取半圆环、小珠为系统在小珠下落过程中,系统所受外 力只有重力及轴上的支承反力,这些力对AC轴的力矩为零,故系 统对AC轴角动量守恒,设小珠落至B,C处时环的角速度分别为 u1、ω2,则有 Jwo =( mR )a (1) a (2) 式中J为半圆环对AC轴的转动惯量,根据已知条件有 2mR (3) 由(1)~(3)式解得: