习题三 3-1惯性系S′相对惯性系S以速度u运动.当它们的坐标原点O与O重合时,t=t=0,发 出一光波,此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观 测的波阵面的方程. 解:由于时间和空间都是均匀的,根据光速不变原理,光讯号为球面波.波阵面方程为: x2+y2+z2=(ct)2 x2+y2+z2=(ct)2 x2+y2+z=(c)2 ++ x2+y2+z=(ct)2 题3-1图 3-2设图3-4中车厢上观测者测得前后门距离为21.试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测 到同一光信号到达前、后门的时间差 解:设光讯号到达前门为事件1,在车厢(S)系时空坐标为(x1)=(-),在车站(S)系: 1=y(+2x)=y(+2)=(1+) 光信号到达后门为事件2,则在车厢(S)系坐标为(x2,t)=(-1,),在车站(S)系: t2=(t2+=2x2)=(1- 于是 t2-t1=2 或者 t'=0,t=t1-t2,x=x1-x2=2 △t=y(△t+2ax)=y(22) c 3-3惯性系S′相对另一惯性系S沿x轴作匀速直线运动,取两坐标原点重合时刻作为计 时起点.在S系中测得两事件的时空坐标分别为x1=610m,t1=2×10s,以及x2=12× 10m,t2=1×10s.已知在S系中测得该两事件同时发生.试问:(1)S′系相对S系的速度 是多少?(2)S系中测得的两事件的空间间隔是多少? 解:设(S)相对S的速度为v
1 习题三 3-1 惯性系S′相对惯性系 S 以速度 u 运动．当它们的坐标原点 O 与 O 重合时， t =t =0，发 出一光波，此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观 测的波阵面的方程． 解: 由于时间和空间都是均匀的，根据光速不变原理，光讯号为球面波．波阵面方程为： 2 2 2 2 x + y + z = (ct) 2 2 2 2 x + y + z = (ct) 题 3-1 图 3-2 设图3-4中车厢上观测者测得前后门距离为2 l ．试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测 到同一光信号到达前、后门的时间差． 解: 设光讯号到达前门为事件 1 ，在车厢 (S) 系时空坐标为 ( , ) ( , ) 1 1 c l x t = l ，在车站 (S) 系： ( ) ( ) (1 ) 1 1 2 1 2 c u c l l c u c l x c u t = t + = + = + 光信号到达后门为事件 2 ，则在车厢 (S) 系坐标为 ( , ) ( , ) 2 2 c l x t = −l ，在车站 (S) 系： ( ) (1 ) 2 2 2 2 c u c l x c u t = t + = − 于是 2 1 2 2 c lu t t − = − 或者 t 0, t t t , x x x 2l = = 1 − 2 = 1 − 2 = ( ) ( 2 ) 2 2 l c u x c u t = t + = 3-3 惯性系S′相对另一惯性系 S 沿 x 轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计 时起点．在S系中测得两事件的时空坐标分别为 1 x =6×104 m, 1 t =2×10-4 s，以及 2 x =12× 104 m, 2 t =1×10-4 s．已知在S′系中测得该两事件同时发生．试问：(1)S′系相对S系的速度 是多少? (2) S 系中测得的两事件的空间间隔是多少? 解: 设 (S) 相对 S 的速度为 v
t1=y(1 XI 12=y(42 由题意 2-1=0 则 C (2)由洛仑兹变换 x=y(x1-v41)x2=r(x2-vt2) 代入数值, x2-x1=52×10m 3-4长度l=1m的米尺静止于S′系中,与x轴的夹角6=30°,S′系相对S系沿x轴 运动,在S系中观测者测得米尺与x轴夹角为6=4 试求:(1)S′系和S系的相对运动速 度.(2)S系中测得的米尺长度 解:(1)米尺相对S"静止,它在x’y轴上的投影分别为 Lr=Lo cos0=0.866m, Ly=Lo sin 8=0.5m 米尺相对S沿x方向运动,设速度为v,对S系中的观察者测得米尺在x方向收缩,而y方 向的长度不变,即 L 故 tan e L 把O=45°及L,L代入 0.5 则得 0.866 v=0.816c (2)在S系中测得米尺长度为L=L,=0707m sn45° 2
2 (1) ( ) 1 1 2 1 x c v t = t − ( ) 2 2 2 2 x c v t = t − 由题意 t 2 − t 1 = 0 则 ( ) 2 1 2 2 1 x x c v t − t = − 故 8 2 1 2 2 1 1.5 10 2 = − = − − − = c x x t t v c 1 m s − (2)由洛仑兹变换 ( ), ( ) 1 1 1 2 2 2 x = x −vt x = x −vt 代入数值， 5.2 10 m 4 x2 − x1 = 3-4 长度 0 l =1 m 的米尺静止于S′系中，与 x ′轴的夹角 '= 30°，S′系相对S系沿 x 轴 运动，在S系中观测者测得米尺与 x 轴夹角为 = 45 ． 试求：(1)S′系和S系的相对运动速 度.(2)S系中测得的米尺长度． 解: (1)米尺相对 S 静止，它在 x , y 轴上的投影分别为： Lx = L0 cos = 0.866 m， L y = L0 sin = 0.5 m 米尺相对 S 沿 x 方向运动，设速度为 v ，对 S 系中的观察者测得米尺在 x 方向收缩，而 y 方 向的长度不变，即 x x Ly Ly c v L = L 1− , = 2 2 故 2 2 1 tan c v L L L L L L x y x y x y − = = = 把 ο = 45 及 Lx Ly , 代入 则得 0.866 0.5 1 2 2 − = c v 故 v = 0.816 c (2)在 S 系中测得米尺长度为 0.707 m sin 45 = = Ly L
35一门宽为a,今有一固有长度l0(l>a)的水平细杆,在门外贴近门的平面内沿其长度 方向匀速运动.若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门,则该杆相对于门的 运动速率至少为多少? 解:门外观测者测得杆长为运动长度,1=1-(2,当1≤a时,可认为能被拉进门 则 a≤l1-(“)2 解得杆的运动速率至少为:u=c,|1-( 题3-6图 3-6两个惯性系中的观察者O和O以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近,如果O 测得两者的初始距离是20m,则O测得两者经过多少时间相遇 解:O测得相遇时间为△t O测得的是固有时△ 889×10-8s, B=-=06 C 0.8 或者,O′测得长度收缩 Lo V1-B2 062=0 0.81。08×20 =8.89×10-s 06c0.6×3×108 3-7观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系S和S"中,甲测得在同一地点发生的两事件的 时间间隔为4s,而乙测得这两个事件的时间间隔为5s.求 (1)S′相对于S的运动速度 (2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离
3 3-5 一门宽为 a ，今有一固有长度 0 l ( 0 l ＞ a )的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度 方向匀速运动．若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的 运动速率 u 至少为多少? 解: 门外观测者测得杆长为运动长度， 2 0 1 ( ) c u l = l − ，当 1 a 时，可认为能被拉进门， 则 2 0 1 ( ) c u a l − 解得杆的运动速率至少为： 2 0 1 ( ) l a u = c − 题 3-6 图 3-6两个惯性系中的观察者 O 和 O 以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果 O 测得两者的初始距离是20m，则 O 测得两者经过多少时间相遇? 解: O 测得相遇时间为 t v c L t 0.6 0 20 = = O 测得的是固有时 t ∴ v t L t 2 0 1 − = = 8.89 10 s −8 = ， = = 0.6 c v ， 0.8 1 = ， 或者， O 测得长度收缩， v L L = L 1− = L 1− 0.6 = 0.8L0 ,t = 2 0 2 0 8.89 10 s 0.6 3 10 0.8 20 0.6 0.8 8 8 0 − = = = c L t 3-7 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系 S 和 S 中，甲测得在同一地点发生的两事件的 时间间隔为 4s，而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s．求： (1) S 相对于 S 的运动速度． (2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离．
解:甲测得A=4s,4x=0,乙测得=5s,坐标差为△x=x2-x (1) Y(At +Ax)=2At △t △ 解出 2-(x2=--(3)=3c 1.8×10 △t′5 △x'=y(Ax-v27M4 L=0 53 4=-3c=-9×10 4 负号表示x2-x1<0 3-8一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行.如果宇航员希望把这路程缩短为3光年,则 他所乘的火箭相对于地球的速度是多少? 解 =3=l√1-B2=51-B2,则 B 3-9论证以下结论:在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同地点,在有相对运动的其他 惯性系中,这两个事件一定不同时 证:设在S系A、B事件在a,b处同时发生,则Ax=x6-x,M=t4-tB,在S系中测得 t-t=y(△ Lr) Mt=0.△x≠0, △t’≠0 即不同时发生 0试证明 (1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的,则对一切惯性系来说这两个事件的时 间间隔,只有在此惯性系中最短 (2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的,则对一切惯性关系来说这两个事件的空间 间隔,只有在此惯性系中最短 解:(1)如果在S′系中,两事件A、B在同一地点发生,则△x=0,在S系中 M=mMt'≥△r',仅当v=0时,等式成立,∴M最短
4 解: 甲测得 t = 4 s,x = 0,乙测得 t = 5 s ，坐标差为 2 1 x = x − x ′ (1)∴ t c v x t c v t t − = + = 2 2 1 ( ) 1 ( ) 5 4 1 2 2 = − = t t c v 解出 c c t t v c 5 3 ) 5 4 1 ( ) 1 ( 2 2 = − = = − 8 = 1.810 1 m s − (2) ( ) , 0 4 5 , = = = − = x t t x x v t ∴ 4 3 9 10 m 5 3 4 5 8 x = −vt = − c = − c = − 负号表示 x2 − x1 0． 3-8 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则 他所乘的火箭相对于地球的速度是多少? 解: 2 2 2 0 1 5 3 l = 3 = l 1− = 5 1− ,则 = − ∴ v c c 5 4 25 9 = 1− = 3-9 论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同地点，在有相对运动的其他 惯性系中，这两个事件一定不同时． 证: 设在 S 系 A、B 事件在 a,b 处同时发生，则 b a A B x = x − x ,t = t − t ，在 S 系中测得 ( ) 2 x c v t t t t = B − A = − t = 0,x 0 ， ∴ t 0 即不同时发生． 3-10 试证明： (1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的时 间间隔，只有在此惯性系中最短． (2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性关系来说这两个事件的空间 间隔，只有在此惯性系中最短． 解: (1)如果在 S 系中，两事件 A、B 在同一地点发生，则 x = 0 ，在 S 系中， t = t t ，仅当 v = 0 时，等式成立，∴ t 最短．
(2)若在S"系中同时发生,即M'=0,则在S系中,Ax=Ax’≥Ax’,仅当v=0时等式 成立,∴S系中△x’最短. 3-11根据天文观测和推算,宇宙正在膨胀,太空中的天体都远离我们而去.假定地球上观 察到一颗脉冲星(发出周期无线电波的星)的脉冲周期为0.50s,且这颗星正沿观察方向以速 度0.8c离我们而去.问这颗星的固有周期为多少? 解:以脉冲星为S’系,△x'=0,固有周期△r'=ro·地球为S系,则有运动时M1=M’, 这里M1不是地球上某点观测到的周期,而是以地球为参考系的两异地钟读数之差.还要考 虑因飞行远离信号的传递时间 Mt=△t1+ =NAt+-yA ∠4r(1 ro=△t'= 0.5 A(1+-)(1 oy 0.5 0.3 =0.1666s (1+0.8) 1.8 3-126000m的高空大气层中产生了一个丌介子以速度v=0.998c飞向地球.假定该丌介子 在其自身静止系中的寿命等于其平均寿命2×10°s.试分别从下面两个角度,即地球上的 观测者和π介子静止系中观测者来判断丌介子能否到达地球 解:丌介子在其自身静止系中的寿命A0=2×10°s是固有(本征)时间,对地球观测者, 由于时间膨胀效应,其寿命延长了.衰变前经历的时间为 A =3.16×10-5s 这段时间飞行距离为d=v=9470m 因d>6000m,故该丌介子能到达地球 或在π介子静止系中,π介子是静止的.地球则以速度v接近介子,在M0时间内,地球接
5 (2)若在 S 系中同时发生，即 t = 0 ，则在 S 系中， x = x x ，仅当 v = 0 时等式 成立，∴ S 系中 x 最短． 3-11 根据天文观测和推算，宇宙正在膨胀，太空中的天体都远离我们而去．假定地球上观 察到一颗脉冲星(发出周期无线电波的星)的脉冲周期为 0.50s，且这颗星正沿观察方向以速 度0.8c离我们而去．问这颗星的固有周期为多少? 解: 以脉冲星为 S 系， x = 0 ，固有周期 0 t = .地球为 S 系，则有运动时 t = t 1 ， 这里 1 t 不是地球上某点观测到的周期，而是以地球为参考系的两异地钟读数之差．还要考 虑因飞行远离信号的传递时间， c v t 1 ∴ t c v t c v t t t = + = + 1 1 ′ (1 ) c v = t + 0.6 1 ) 0.8 1 ( 1 2 = − = c c 则 ) 0.8 (1 0.5 (1 ) 0 c c c v t t + + + = = 0.1666 s 1.8 0.3 0.6 1 (1 0.8) 0.5 = = + = 3-12 6000m 的高空大气层中产生了一个 介子以速度 v =0.998c飞向地球．假定该 介子 在其自身静止系中的寿命等于其平均寿命 2×10-6 s．试分别从下面两个角度，即地球上的 观测者和 介子静止系中观测者来判断 介子能否到达地球． 解: 介子在其自身静止系中的寿命 2 10 s 6 0 − t = 是固有(本征)时间，对地球观测者， 由于时间膨胀效应，其寿命延长了．衰变前经历的时间为 3.16 10 s 1 5 2 2 0 − = − = c v t t 这段时间飞行距离为 d = vt = 9470 m 因 d 6000 m ，故该 介子能到达地球． 或在 介子静止系中， 介子是静止的．地球则以速度 v 接近介子，在 0 t 时间内，地球接