2m (3) M M二m)√2gh(负号表示垂直向上 M (4) 碰撞后,取平板、弹簧和地球为系统,该系统机械能守恒。设平板在 初始位置处重力势能为零,而弹簧处于自由状态时弹性势能为零, 则有 MU2+÷ky=ky2-Mg( (5) 式中,y表示弹簧的最大压缩量,y表示平板压缩弹簧的距离,出 胡克定律可知 ky。=Mg 由(3),(5),(6)解得 M 2m Mgh +m k (2)小球要与AB板碰撞的条件为:vot≤L,为小球自由下 落到平板所需的时间,因为 g 故 小球与AB板碰撞之后,作斜抛运动,从磁擅地点经最高点再落至 平板所需时间为 2(M-m√2gh gg(M +m) 为使小球仅碰撞一次,则 to+ts>L 把,1代入得 19
u>,且M+mL 2h(3M-m) 故碰撞一次且仅有一次v的取值范围为 2景 L M M一m 1-1-12一质量为m的粘性小球,用长为l的细绳挂在一木块上 方的小立柱上,木块和立柱的总质量为M,放在水平桌面上,木块 与桌面间的摩擦系数为。今把小球拉到水平位置后由静止释放, 与小立柱发生完全非弹性碰撞。 (1)设小球在下摆过程中木块不移动,求碰撞后系统移动多 远才停下来? (2)在小球下摆过程中,要使木块不移动,摩擦系数p的最小 值应为多大? nmg (c;) (} 图1-32题1-1-12图示 解:(1)碰撞前瞬间,取地球与小球为系统,显然该系统的机 械能守恒 碰撞前瞬间小球的速度为 碰撞过程中,取小球与木块立柱为系统,由于摩擦力的冲量∫A很 20
小,可略去不计,系统在水平方向的动量守恒: mv=(m MU 解得碰撞后系统的速度为 M 碰撞以后,仍取小球与木块立柱为系统,系统在摩擦力∫的作用 下,作减速运动直至静止。设系统最大位移为xmx,由动能定理得 fxm=0 (m+M) 而 f=u(m +M)g (2) 由(1),(2)两式并代入v的值可求出系统的最大位移为 m2l u(m + M) (2)设小球摆至任意位置时细绳与水平方向的夹角为,小球 的速度大小为v,取小球与地球为系统,因系统的机械能守恒,有 Ising () 此时小球与木块立柱的受力情况如图1-12(6)所示,根据牛顿运 动定律,对小球和木块立柱分别列出运动方程: 小球 T'-mgsin=m be (4) 木块立柱 f-Tcose= 0 (5) N- Tsint- Mg=o 6) 为使木块不移动,必须满足 由(3)~(7)式解得 3msinecos6 sina A=M+3msin?0 2M 3m 2sin-8
令A=2M,并设 F(6)= sin 20 A+ 2sin20 (8) 应用求导方法,可求出F(O)的极大值,即令 dF(A 解得: Cos26= 所以 sin20 √A(A+2) 1+1 (9) sing A 2(A+1) (10) 把(9),(10)式及A=2M代入(8)式,求得F(9)的最大值F(), 得到小球在下摆过程中,为使木块不移动的最小摩擦系数为 37 =c I max 2√M+3mM 1-1-13设地球绕太阳的运动 是速率为v的匀速圆周运动,其 地球 圆轨道半径为R0,若有一慧星在 慧星 太阳引力作用下沿一抛物线轨道 运动,此抛物线与地球轨道相交, 两个交点在地球圆轨道直径的两 端,忽略慧星与地球间的引力作 用,求 图1-13题1-1-13图示 (1)慧星轨道的抛物线方 程 (2)若慧星的总机械能为零,求慧星的最大速率; (3)慧星在地球轨道内的时间。 ·22·
解:设点为太阳的位置,是地球公转圆轨道的中心,也是 慧星抛物线轨道的焦点 (1)根据抛物线的方程 I+cos0 (1) 依题意,当日=时,r=P=R,代入(1)式,得慧星的轨道方程为 R cosg (2)慧星轨道为抛物线时,其总机被能必为零,有 1 12-G M 得 GM (2) 显然,当慧星在轨道顶点时,与太阳距离最小,由(2)式知,此时慧 星的速率最大即当6=0时有r=1Rn,慧星的最大速率为 4GM R 3) GM 对于地球,有mR。=GRB,即t=R 代入(3)式得 AGM R no (3〕根据开普勒第二定律,对任一个行星,它的矢径在相等的 时间内扫过的面积相等面积速度为速度矩的一半 出==1((m) 慧星在地球轨道内所扫过的面积 121r2d=3 R 23