7 v7 7 2)设E,E分别为碰撞前及碰撞后两球重新作纯滚动时系 统的机械能,则 E=m3+2m2/到/。 2 7 +古m1v 12 SU 7: 因摩擦力作用而转换的热能为 △E=E一E=2mv 故 比率=E=4 1-19如图1-9所示,一个质量 为m的小球以入射角θ与一粗 糙的表面发生斜碰。已知小球与 表面间的摩擦系数为p,恢复系 数为e,求碰撞后小球的速度大 小与方向 解:小球与表面发生斜碰 时,在y方向受到两个力的作用 图1-9题1-1-9图示 重力(-mg),表面对球的平均冲 力的竖直分量N。由于N》mg,故可略去重力不计。因此在y方向 14
由动量定理得 Nt =mv cos0-(-mucoso) (Ucose+ (1) 另外,由恢复系数的定义得 e=如vcos6-0 ucos日-0 即 v'cos8' evcos6 (2) 在x方向,由于小球受到外力作用,故小球在水平方向的速度有 变化,因而小球与表面有相对运动,小球受到一个摩擦力N的作 用,由动量定理得下式 Nt musing -musing (3) 由(1),(3)两式得 v’cos+ ucos using using (4) 由(2),(4)两式得 tg-p(1+e)] cost=ucose vet[tge-u(i te) 对于弹性碰撞(e=1),如果表面为光滑的(=0),则显然有v=v 1-110一质量为M的圆环用线悬挂着将两个质量均为m的 有孔小珠套在此环上,且可以在环上作无摩擦地滑动,如图1-10 (a)所示。今同时将两个小珠从环的顶部释放,并沿相反方向自由 滑下。证明:当m>2M时,大环将升起,并求大环开始上升时两 小珠的夹角值 解:取小珠为研究对象。它受重力mg作用,还受大环对它的 约束力N,设N沿半径向外,有 15
N 图1-10题11-10图示 mgcoso-N- mv2 (1) 小珠的切线加速度为 du da du dt de dt dosing 即 udv =rgsinede 在=0时,v=0,故{vdv=| rgsinBde rg(1- cose) (2) 由(1),(2)两式得 N=3mg cos0-2i 从上式可以看出,当cos>a时,N沿半径向外;当cos6<2时,N 沿半径向内;当co0=分时,N为零。 以大环为研究对象,它受到三个力的作用:重力Mg,绳的张 力T小珠的反作用力N(图1-10(b))。欲使大环上升,必须使N 沿半径向外。由于 故要求环对小珠的约束力沿半径向内,即大环上升的条件为 16
< 2 (4) 又 T+2Ncos日-Mg=M (5) 考虑到大环上升时,T=0;≥0取极限情况是a=0,故由(5)式得 大环上升的另一条件 2N'cose= Mg (6) 把(3)式代入(6)式,得 6mg{cos-3/cos0=Mg(式中利用了N=N这一关系) 即 8-4mcos6-M= 0 M (7) 因为cos6必须为实数,故 96m 当m=2M时,cosB=3这与大环上升应满足的条件(4)式相矛 盾,所以 当m>M时,由(7)式得 3 +3- M accos 6m 这时二小珠间的夹角为 6m 17
为什么不取2=arco M呢?因为2>9,在还未 396m 达到a2时,大环已经向上运动了,而我们所要求的仅是大环开始 上升时两小珠间的夹角。 1-1-11如图1-11所示,将一块长为L,质量为M的平板AB放 在弹性系数为k的弹簧上,现有一质量为m的小球放在一光滑的 桌湎上,桌面与平板AB的垂直高度为h。现给小球以一个水平初 速v,不计所有的摩擦力和弹簧质量,已知M>m,小球与平板的 碰撞为弹性碰撞。求: (1)弹簧的最大压缩量是多 ? (2)如果要使小球与AB板 有一次而且只有一次碰撞,则v 应在什么范围内? 解:(1)小球刚要同AB板 碰撞时的速度为 图1-11题11-11图示 垂直方向 ugh 水平方向v2=v 把小球和平板视为一个系统因碰撞时间很短,垂直方向内力远大 于外力,故可略去合外力,系统动量守恒,以向下为正方向,得 nT、 (1) U,v分别表示碰撞后平板和小球在垂直方向的速度,由于是弹性 碰撞而动能守恒,故 Imvg+Imu=lMv2+Imv+Imv (2) 式中mt为碰撞前后小球水平方向速度所对应的动能,而平板 在水平方向的速度为零,对应的动能也为零。由(1),(2)两式可得 18