9 3 gsinvcos se-ogsinacost 2 cos2日 3 gsinasino+ g sing 2 2 (6)式和(7)式表示的就是当外力突然撒去后,梯子的运动情况。 (2)根据质心运动定律有 梯子与垂直壁脱离时有N2=0,则有 9 28s1 即 3 6= si 所以,脱离接触时的θ为 2 arcsin Sina 1-16如图1-6所示,一具有圆形周边,质量对其中心对称分布 的物体(如实心圆柱体、空心圆 筒、球等),在一倾角为9的斜面 上作无滑滚动。设摩擦系数为p, 求使该物体只滚不滑时,日的取 值范围,并讨论空心圆筒实心圆 柱体和球等具体情况。 图1-6题1-1-6图示 解:设物体的半径为r,对中心轴的转动惯量为,其受力如 图所示 质心沿斜面平动(以沿斜面向下为正)有 mgs 在垂直斜面方向有 mycos=0 绕质心的转动有
(3) 只滚不滑的条件是 (4) 由(1),(2),(3),(4)式可得 J+ ceasing J,+mi 使物体只滚不滑,则必须有 fumgcosB 所以 mosIn 16 J t ≤ mgcos g≤y+m 即 日≤areg J+mi J 对于空心圆筒: J4=mr2,θ≤ actg2H; 对于实心圆柱体)m2,0≤ actg3p 对于实心球体,J=mr2,0≤arcg3.5. 1-17一根均匀棒,长为L,截面面积为S,质量为m,杨氏模量 为Y。现从地面上将该棒抛出,使棒作平面平行运动,运动平面为 铅直平面,抛出时棒的角速度为u,质心速度的大小为v,方向与 水平地面成8角,求当棒的质心运动到最高点时棒的长度。计算时 不考虑横向收缩。 解:若不计空气阻力,抛出后棒只受重力作用,它对质心轴的 力矩等于零所以抛出后棒绕质心轴的转动角速度ω保持不变。 为了计算棒的长度,采用棒的质心系它是一个非惯性系。分 10
d T dmg 图1-7题1-1-7图示 析棒中距质心C为x距离长为dx的质元dm的受力情况。它受 四个力作用:重力dmg惯性力一dmg六向心的拉力T、离心的 拉力Tx+dTx。这四个力的合力为dx,方向是沿棒而离心(由于 dTx是负的,故实际上为向心),在质心系中质元dm作匀速圆周 运动故有dTx=-w2xdm,由于棒是均匀的,dm=dx,代入得 d7,=- L rdz,在棒的端点T:=0,故有 r.=-"∫ T 2L。(4 可见棒中x点的应力为 S 2LoS 4 是不均匀的,所以棒 是不均匀压缩,设压缩前质元dm距质心C的距离为x,长为dx 压缩后质元dm距质心的距离变为y,长为dy,则由胡克定律得: di- dy_mar/ Li 即 marLo dx t 2Losy ride 积分上式 2 /2 8SY dr
由上式可求得抛出后棒的长度为 m 1-1-8如图1-8(a)两个完全相同的均匀球,球的质量均为m 个球无滑动地作水平滚动,以速度vo撞向另一个静止的球,假定 摩擦力足够小,使得它在碰撞过程中的作用可以忽略,而碰撞可以 看成是完全弹性的。 图18题1-1-8图示 (1)在碰撞后足够长的时间之后,每个球又作无滑动的滚动, 试求这时每个球的速度; (2)初始能量中由于摩擦力而转换为热能的比率是多少?已 知质量为m,半径为r的球体对于它的球心的转动惯量为J= 2 解:(1)设v,v2及ω,2分别为球1与球2磁撞后相应的 质心速度和角速度碰撞过程系统的动量守恒,各自的角动量也守 恒(因为碰撞过程中摩擦力忽略不计)。碰撞结束瞬间两球质心交 换速度(因为两球质量相等且为对心弹性碰撞),则有 12
12 0 碰攮以后,球1、2均在摩擦力作用下作连滚带滑运动摩擦力的方 向如图1-8(b所示。此过程球12的运动微分方程分别为 Ang d 对球1 (2) d Amg 对球2: (3) dt 其中,μ为摩擦系数以碰撞结束时作为计时起点,t=0时,则初始 条件为(1)式 分别对(2),(3)式积分得 vo: 5Ag Agt g (5) (4)和(5)分别表示碰撞后球12质心速度,角速度随时间的变化 规律。经过一定的时间t后,两球又分别作纯滚动它们应满足的 条件是 U1=ro1,0z raa (6) 由(4),〔5),(6)式可求得 27 t 7Ag (7) 把(7)式代入(4),(5)可得两球重新作纯滚动时的速度