(4)试推导任意时刻的速度方程。 解:设物体的质量为m (1)物体的运动方向和其所受各力如图1-3所示,图中R表 示介质对物体的阻力。 (2)物体在介质中的运动方程为 mg+ R=m dy R de 则有 d g-K (1) 该式表明物体只受重力和阻力的作用;由 于重力不变,前阻力随速度的增加迅速增 大,一且阻力增大到等于重力时,物体所受 的合力为零,加速度也变为零,即物体的速 度不会再增加,由牛顿第一运动定律得知,图13题11-3图示 物体将以此速度作匀速直线(下落)运动, 故此速度为最大速度。令x=0,求得此最大速度为 K (3)驰豫时间若定义为物体从以初始的加速度(本题为g)作 匀加速运动而达到极限速度时所需的时间,则 m瓦 t g √Kg (4)由(1)式分离变量得 d K 积分得
K C U+a/g 解此式得 K Ce 式中-√K,由初始条件知, t=0时,U=0 所以 故物体任意时刻的速度方程为 e-2 笑= v=kPi+e-2A-KF KAth(Be) 即 Eth/kg 114如图1-4所示,从原点以初速度v斜向上抛出一物体, 求 v3/2g 图1-4题1-1-4图示 (1)命中空中已知点A(xo,y)的投射角
(2)命中A点的条件 3)证明命中A点的两个投射角的1和2满足关系式:01+日2 B+,式中β为OA与水平方向的夹角。(忽略空气阻力 解:(1)斜向土抛物体的运动方程为: x= jocose(t) ly=vosine()-dg42 式中为抛体与水平方向的夹角,消去t得 y =tgg g tacoS 命中A点的条件为x=x0时,y=yo, 所以 yo =zotgB-asec'8(x6) xotg8-8(1+tg0)ra 即 tg,? 2vy9+ I=0 g-e =x|2± 因而 b =arct g 故命中A点,6有两个值升1和2 (2)因θ为实数,所以命中的条件为 2-2y-x≥0 g 2U 2g 即A点要在抛物线y=-.2x2+(图中虚线所示)的内部
3)由方程tg2-2tg9+2y+1=0可知1g6,tg2是它 的两个解,由韦达定理 tg0+ tgB g tg61(tg62) 所以 tg(;+B2) g0, tgB,tga tgp= tg B 故 a1+2=+ 1-1-5有一架长为2a质量为m的匀质本梯,以外力保持其靠 在光滑的垂直壁和水平面上,梯与光滑水平面的初始交角为a, (1)当外力突然撤去后,求梯的运动; (2)在什么角度梯子与垂直壁脱离。 解:(1)取坐标系如图1-5所示,则梯子质心C的坐标为 图1-5题11-5图示
质心的速度分量为: adina (2) 56 质心的加速度分量为: da ind arcos (3) y= acos 00- casing 梯子绕质心转动的角速度a和角加速度出可按下列方法求 得:取梯子和地球为研究系统,在梯子下滑过程中,除保守力(即重 力)外,其它力均不做功,故系统的机械能守恒,于是 mgasina masino 2m(x2+y2)+ 将转动惯量J=m(2a)2及(2)式代入上式,可得 mgasina mgasing+5ma2ar 由上式得 g(sina- 2 (4) 及 day de CoS 将(4),(5)式代入(2),(3)式得 ing 3g(sina 2e (6) 3g(sina- sing) acos 0