§9.1结构可靠度的基本概念 1958 四、结构可靠度和可靠指标 结构在规定的时间内，在规定的条件下完成预定功能的概率，称为结构的 可靠度。可见，可靠度是对结构可靠性的一种定量描述，亦即概率度量。 结构能够完成预定功能的概率称为可靠概率P、；结构不能完成预定功能的 概率称为失效概率P。显然，二者是互补的，即P+P。=1.0。因此，结构可 靠性也可用结构的失效概率来度量，失效概率愈小，结构可靠度愈大。 基本的结构可靠度问题只考虑由一个抗力R和一个荷载效应S的情况，现以 此来说明失效概率的计算方法。设结构抗力R和荷载效应S都服从正态分布的随 机变量，R和S是互相独立的。由概率论知，结构功能函数Z=R-S也是正态分布 的随机变量。Z的概率分布曲线图如图9.2所示。 B 图9.2功能函数z的分布曲线 z Z=R-S
7 §9.1 结构可靠度的基本概念 四、结构可靠度和可靠指标 结构在规定的时间内，在规定的条件下完成预定功能的概率，称为结构的 可靠度。可见，可靠度是对结构可靠性的一种定量描述，亦即概率度量。 结构能够完成预定功能的概率称为可靠概率Ps；结构不能完成预定功能的 概率称为失效概率Pf 。显然，二者是互补的，即 Ps+Pf =1.0。因此，结构可 靠性也可用结构的失效概率来度量，失效概率愈小，结构可靠度愈大。 基本的结构可靠度问题只考虑由一个抗力R和一个荷载效应S的情况，现以 此来说明失效概率的计算方法。设结构抗力R和荷载效应S都服从正态分布的随 机变量，R和S是互相独立的。由概率论知，结构功能函数Z=R-S 也是正态分布 的随机变量。Z的概率分布曲线图如图9.2所示。 图9.2 功能函数Z的分布曲线
§9.1结构可靠度的基本概念 Z=R-S<0的事件出现的概率就是失效概率P。: 1950 P=P(Z=R-S<0)= f(Z)dZ 失效概率P就可以用图9.2中的阴影面积表示。如结构抗力R的平均值为 μR,标准差为OR;荷载效应的平均值为μ。， 标准差为·s，则功能函数 Z的平均值及标准差为： L:MR-ls 2 结构失效概率P与功能函数平均值μ，到坐标原点的距离有关，取μ o。由图9.2可见，B与P之间存在着对应关系。B值越大，失效概率P就 小；B值越小，失效概率P就大。因此，B与P一样，可作为度量结构可靠 度的一个指标，故称B为结构的可靠指标。 值可按下式计算，得： B=吃= B与P在数值上的对应关系见表9-1。从表中可以看出，B值相差0.5， 效概率P大致差一个数量级。失效概率P尽管很小，但总是存在的。因此， 要使结构设做到绝对的可靠(R>S)是不可能的，合理的解答应该是把所设 计的结构失效概率降们可以接受的程度。 8
8 §9.1 结构可靠度的基本概念 Z=R-S<0 的事件出现的概率就是失效概率Pf ： 失效概率Pf就可以用图9.2中的阴影面积表示。如结构抗力R的平均值为 μR ，标准差为σR ；荷载效应的平均值为μS ，标准差为σS ，则功能函数 Z的平均值及标准差为： 结构失效概率Pf与功能函数平均值μZ到坐标原点的距离有关，取μZ = βσR。由图9.2可见,β与Pf之间存在着对应关系。β值越大，失效概率Pf就 小；β值越小，失效概率Pf就大。因此,β与 Pf一样，可作为度量结构可靠 度的一个指标，故称 β为结构的可靠指标。 值可按下式计算，得： β与Pf在数值上的对应关系见表9-1。从表中可以看出,β值相差0.5， 失效概率Pf大致差一个数量级。失效概率Pf 尽管很小，但总是存在的。因此， 要使结构设计做到绝对的可靠(R>S) 是不可能的，合理的解答应该是把所设 计的结构失效概率降低到人们可以接受的程度。 0 ( 0) ( )d P PZ R S f Z Z f −∞ = =−< = ∫ 2 2 z Rs z RS µµµ σ σσ = − = + 2 2 Z R S Z R S µ µ µ β σ σ σ − = = +
§9.1结构可靠度的基本概念 1958 【例9.1】某钢筋混凝土轴心受压短柱，截面尺寸为A.=b×h=(300×500)mm2, 配有4根直径为25的HRB335钢筋，A、=1964mm2。设荷载服从正态分布，轴力N的 平均值，μ1800kN,变异系数δ0.10。钢筋屈服强度Dy服从正态分布，其 平均值μy-380N/mm2,变异系数8y=0.06。混凝土轴心抗压强度Φ。也服从正 态分布，其平均值μfc=24.80N/mm2,变异系数δfc=0.20。不考虑结构尺寸的变 异和计算模式的不准确性，试计算该短柱的可靠指标B。 解：(1)荷载效应S的统计参数。 μsμN1800kN,os=o=μNδN1800×0.10=180kW (2)构件抗力R的统计参数。 短柱的抗力由混凝土抗力R=fA。和钢筋的抗力R=fA。两部分组成，即： R=R。+R=fA+f,As 混凝土抗力R的统计参数为： μRe=Aeμfc-500X300×24.8=3720kW oRe=μRe6fe-3720X0.20=744.0kN 钢筋抗力R的统计参数： μRs=Aμ6y=1964×380=746.3kW O Rs- Rs6y=746.3X0.06=44.8kN
9 §9.1 结构可靠度的基本概念 【例9.1】 某钢筋混凝土轴心受压短柱，截面尺寸为Ac=b×h=(300×500)mm2 ， 配有4根直径为25的HRB335钢筋，As =1964mm2。设荷载服从正态分布，轴力N的 平均值，μN =1800kN，变异系数δN =0.10。钢筋屈服强度Φ y服从正态分布，其 平均值μfy =380N/mm2 ，变异系数δfy =0.06。混凝土轴心抗压强度Φ c也服从正 态分布，其平均值μfc =24.80N/mm2 ，变异系数δfc =0.20。不考虑结构尺寸的变 异和计算模式的不准确性，试计算该短柱的可靠指标β。 解：(1) 荷载效应S的统计参数。 μS = μN =1800kN， σS =σN =μNδN =1800×0.10=180kN (2) 构件抗力R的统计参数。 短柱的抗力由混凝土抗力Rc = fcAc 和钢筋的抗力Rs=fyAs 两部分组成，即： R=Rc+Rs=fcAc+fyAs 混凝土抗力Rc的统计参数为： μRc=Acμfc =500×300×24.8=3720kN σRc =μRcδfc =3720×0.20=744.0kN 钢筋抗力Rs的统计参数： μRs=Asμfy =1964×380=746.3kN σRs = μRsδfy =746.3×0.06=44.8kN
§9.1结构可靠度的基本概念 1956 构件抗力R的统计参数： μRμR+μRs-3720+746.3=4466.3kN 0R= oc+=V744.02+44.82=745.3kN 口 (3) 可靠指标β的计算。 MR-As 4466.3-1800.0 =3.48 √74532+180.02 查表9-1可得，相应的失效概率P为2.06×104。 10
10 §9.1 结构可靠度的基本概念 22 2 2 4466.3 1800.0 3.48 745.3 180.0 R S R S µ µ β σ σ − − = = = + +
§9.2结构可靠度计算 、1958 一、均值一次二阶矩法 均值一次二阶矩法（中心点法）是在结构可靠度研究初期提出的一种方法。 其基本思路为：利用随机变量的平均值（一阶原点矩）和标准差（二阶中心矩） 的数学模型，分析结构的可靠度，并将极限状态功能函数在平均值（即中心点 处)作Taylor级数展开，使之线性化，然后求解可靠指标。 均值一次二阶矩法概念清楚，计算比较简单，可导出解析表达式，直接 给出可靠指标B与随机变量统计参数之间的关系，分析问题方便灵活。但它 也存在着以下缺点。 (1)不能考虑随机变量的分布概率。若基本变量的概率分布为非正态分 布或非对数正态分布，则可靠指标的计算结果与其标准值有较大差异，不能 采用。 (2)将非线性功能函数在随机变量的平均值处展开不合理，由于随机变 量的平均值不在极限状态曲面上，展开后的线性极限状态平面可能会较大程 度地偏离原来的极限状态曲面。可靠指标B依赖于展开点的选择。 (3)对有相同力学含义但不同数学表达式的极限状态方程，应用均值一 次二阶矩法不能求得相同的可靠指标值
11 §9.2 结构可靠度计算 一、均值一次二阶矩法 均值一次二阶矩法(中心点法)是在结构可靠度研究初期提出的一种方法。 其基本思路为：利用随机变量的平均值(一阶原点矩)和标准差(二阶中心矩) 的数学模型，分析结构的可靠度，并将极限状态功能函数在平均值(即中心点 处)作Taylor级数展开，使之线性化，然后求解可靠指标。 均值一次二阶矩法概念清楚，计算比较简单，可导出解析表达式，直接 给出可靠指标β与随机变量统计参数之间的关系，分析问题方便灵活。但它 也存在着以下缺点。 (1) 不能考虑随机变量的分布概率。若基本变量的概率分布为非正态分 布或非对数正态分布，则可靠指标的计算结果与其标准值有较大差异，不能 采用。 (2) 将非线性功能函数在随机变量的平均值处展开不合理，由于随机变 量的平均值不在极限状态曲面上，展开后的线性极限状态平面可能会较大程 度地偏离原来的极限状态曲面。可靠指标β依赖于展开点的选择。 (3) 对有相同力学含义但不同数学表达式的极限状态方程，应用均值一 次二阶矩法不能求得相同的可靠指标值