第1章电磁理论9从可以看出，由介电阻尼（）引起的损耗是与导电损耗（。）不同的。α”+α项可以看做是总的有效电导率，感兴趣的有关或为损耗角正切，它定义为we"+atan 8-(1.21)we'它可以看成是总位移电流的实部与虚部之比。微波材料总是用其实介电常数=（和一定频率下的损耗角正切来表征的。一些典型材料的这些常数值已列在附录G中。注意到下面一点足有用的，即在无耗假定下得到问题的解之后，损耗很容易通过用复数=-j=（1-jtana）=（1-jtano)取代实数（来引进。在上述讨论中，我们假定P。是与E同方向的矢量。这种材料称为各向同性材料，但不是所有材料都具有这种特性。有一些材料是各问异性的，它们用P。和E或D和E之间更复杂的关系来表达。这些矢量之间的最一般的线性关系取二阶张量（dyad)的形式，它可以用矩阵形式表示为aB]-[22 a]-0[(1.22)A由此可以看出，电场矢量E的一个给定分量一般地将引起D的三个分量。晶体结构和离子化的气体是各向异性介质的例子。对于各向同性线性材料，式（1.22）的矩阵将简化为只有阵元的对角阵。类似的情形也发牛在磁材料中，外加磁场可能使磁材料中的磁偶极子有序排列，从而产生磁极化（或磁化）矢量P5于是有B = uo(H + Pm)(1.23)对于线性磁材料，P是与线性相关的，即Pm = XmH(1.24)其中，X㎡为复数的磁极化率，由式（1.23)和式（1.24)得B=o(I+Xm)H=uH(1.25)其中，=o（1+）=-"为媒质的磁导率。同样，Xm或u的虚部认为是阻尼力引起的损耗；这里没有磁导率，因为不存在实际的磁流。与电的情况一样，磁材料可能是各向异性的，在这种情形下，张量磁导率可以写为H1HB.xyxzuxrByH,H,uyz=[u]ftyx(1.26)ftyyLHzLH,-L B. JLuzxzylzz微波工程中一个各向异性磁材料的重要例子是称为铁氧体的亚铁磁类材料，这些材料及其应用将在第9章进行讨论。若有线性媒质（，不依赖于E或），则麦克斯韦方程组可以写为相量形式V×E=-jwuH-M(1.27a)VxH= jweE+J(1.27b)V.D=p(1.27c)V.B=0(1.27d)
10微波工程（第三版）本构关系为D-EE(1.28a)B=μH(1.28b)其中，和u可能是复数，也可能是张量。注意，像式（1.28a）和式（1.28b）的关系式一般不能写成时域形式，即使是对于线性媒质，因为在D和E或B和H之间可能存在相移。相位量表达式通过和的复数形式已考虑了这一相移。微分形式的麦克斯韦方程组（1.27a）~（1.27d）必须在已知边界上的值时才能有完整和惟一的解。本书所用的一般方法是在一定的区域求解无源的麦克斯韦方程组，来获得带有未知系数的通解，然后利用边界条件来求得这些系数。一系列特定的边界条件将在后面讨论。1.3.1一般材料分界面上的场考虑两种媒质之间的平面界面，如图1.5所示。积分形式的麦克斯韦方程可以用来推导包含分界面上的法向场和切向场的边界条件。时谐形式的式（1.4）可以写为$ D. ds =odv(1.29)Js其中S是如图1.6所示的封闭“圆简”形表面。M.媒质2:E2,Hμ2Dn2JP.tnEr2Hi2fDaiEnB2H.15媒质1:EpM图1.5两媒质之间一般的分界面上的场、电流和表面电荷nt+Dn2媒质2ASPs媒质1tDa图1.6式（1.29）对应的封闭表面S在h-→0的极限情形下，D通过边壁的贡献为零，所以式(1.29)可简化为△SD2-ASDin=ASps或Dzn - Din = ps(1.30)其中p，是分界面上的表面电荷密度。我们可以将其写成矢量形式A.(D2-D))=Ps(1.31)类似的讨论可得到B的结果为.B2=A·B(1.32)因为这里没有自由磁荷
第1章电磁理论11对于电场的切向分量，我们用式（1.6）的相量形式1B.d-DE.di=-joM.d33(1.33)JcI把它和图1.7所示的封闭周线C联系起来。在h一0的极限情况下，B的面积分趋于零（因为S=h△e变为零）。然而，若分界面上存在表面磁流密度M，则M的表面积分的贡献可能是非零的。因此，使用狄拉克（Dirac)8函数可以写出M =M,8(h)(1.34)其中h是一个垂直于分界面方向上的坐标。这样，式(1.33)给出AIENlER-IM或Eu-E2=-M(1.35)式（1.35）可以推广为矢量形式(E2-E)×n=Ms(1.36)对磁场进行类似的讨论可以得到n×(H2-H))=J)(1.37)其中J，是分界面上可能存在的面电流密度。式（1.31）、式（1.32）、式（1.36）和式（1.37）是在材料的任意分界面及存在任意面电流和/或磁流时的边界条件的最普遍表达式。S媒质2h本nE2C+60MsT-En4e-媒质1图1.7式(1.33)对应的封闭周线C1.3.2介质分界面上的场在两种无耗介电材料的分界面上，通常没有电荷或面电流密度、磁流密度存在。这样，式（1.31）、式（1.32）、式（1.36）和式（1.37）就可简化为A.D.D2(1.38a)n.B,=n·B2(1.38b)nXE=nXE2(1.38c)n×H,=n×H2(1.38d)换言之，这些方程是说，在穿过分界面时D和B的法向量连续，而E和H的切向分量连续。因为麦克斯韦方程组不都是线性无关的，所以包含在上述方程中的六个边界条件也不都是线性无关的。例如，若使四个切向场分量的边界条件式（1.38c）和式（1.38d）强制满足的话，则将自动使法向分量的连续方程也得到满足。1.3.3理想导体（电壁）分界面上的场微波工程中的很多问题包含有良导体（如金属）的边界，我们常常假定是无耗的（一→8）。在这种理想导体的情形下，导体内部区域的所有场分量必定为零。这一结果可以先看做是导体
12微波工程（第三版）具有有限导电率（<），而且当-→时趋肤深度（微波功率可以穿透到达的深度）趋于零的情形（这样的分析将在1.7节中进行）。这里，若我们也假定M，=0，对应于理想导体充满边界一方的情况，则式（1.31）、式（1.32）式（1.36）和式（1.37）可简化为如下形式：n.D=ps(1.39a)h.B=0(1.39b)nxE-0(1.39c)nXH=J(1.39)其中p，和]，为分界面上的表面电荷密度和电流密度，n为指向理想导体外的法向单位矢量。这样的边界也称为“电壁"（electricwall），因为由式（1.39c）可以看出，电场E的切向分量是被"短路掉的”（shortedout），它在导体的表面必定为零。1.3.4磁壁边界条件与上述边界条件对偶的是磁壁（magneticwall)边界条件，其中H的切向分量必须为零。这种边界条件实际上是不存在的，但是可以用波纹表面来近似，或者在某些平面传输线问题中用它来近似。此外，正如我们在后续几章中将看到的那样，分界面上n×H=0的理想情况常常是一种方便的简化。我们也将看到磁壁边界条件类似于开路传输线终端的电压和电流的关系，面电壁边界条件类似于短路传输线终端的电压和电流的关系。这样，磁壁条件就使我们的边界条件公式更加完整，面且在若干有实际意义的情形下是一种有用的近似。磁壁上的场满足下述条件：(1.40a)n·D=0T.B=0(1.40b)AxE=-M,(1.40c)(1.40d)hxH=0其中为磁壁的外法向单位失量。1.3.5辐射条件当我们处理具有一个或多个无限大边界的问题（例如无限大媒质中的平面波，或无限长传输线）时，必须强加上场在无限远处的条件。这种边界条件称为辐射条件，从根本上说，它就是能量守恒的一种表述。这种表述具体为：在离源无限远处，场要么为零，要么朝外传播。只要一个无限大媒质包含一个小的损耗因子（因为很多物理媒质都具有损耗因子），这个结果就很容易得到。来自无限远处又具有有限振幅的波将要求在无限远处有一个无限大的源，这是不可接受的。1.43波方程和基本平面波的解1.4.1亥姆霉兹方程在无源、线性、各向同性和均匀的区域，相量形式的麦克斯韦方程为V×E=-jaμH(1.41a)VxH=jdeE(1.41b)
第1章电磁理论13两个方程包含两个未知量E和。因此，它们可以用来求解E和H。于是，取式（1.41a）的旋度并应用式（1.41b)可得V×V×E--jwuV×H-w'ueE这是-个关于E的方程。这个结果可以通过利用矢量恒等式（B.14）即V×V×A=V（V·A）VA得到简化，该恒等式对任意久量A的直角分量都是正确的。于是有V?E+UEE=0(1.42)因为在无源区域中有V·E=0。式（1.42)是E的波方程，或亥姆霍兹方程。对于，采用同样的方法，可得到完全相同的方程：H+uH-0(1.43)常数h=√是确定的，称为媒质的波数，或传播常数，单位为1/m。作为引入波行为的一种方法，下面我们将研究上述波方程在其最简单形式下的解，首先研究无耗媒质，然后研究有耗（导电）媒质。1.4.2无耗媒质中的平面波在无耗媒质中，和μ是实数，因此也是实数。上述波方程的一个平面波的基本解可以通过一个只有分量而且在×和方向均匀（不变）的电场而得到。因为==0，于是亥姆霍兹方程（1.42）简化为2Ex+REx=0(1.44)022通过代人法很容易得到该方程的两个独立的解，形式为Er(z) = E+e-Jkz +E-ejk(1.45)其中E+和E是任意振幅常数。述解是在频率α下的时谐形式。该结果在时域可以写为Er(z, t) = E+ cos(ot -- kz)+ E- cos(ot +kz)(1.46)其中，我们已经假定E+和E-为实常数。考虑式（1.46的第一项。这一项代表了沿+z方向传播的波。因为，为了保持波的一个固定点相位（t一=常数），当时间增加时，它必须向+2方向移动。类似地，式（1.46)中的第二项代表了沿－z方向传播的波；因此，用E*和E-来表示这两个波的振幅。按此分析，波的速度称为相速（phasevelocity），因为它是波传播过程中一个固定的相位点的运动速度，并由下式给出：01dz_d(wt-常数）(1.47)v=kyuek在真空中，我们有p=1/Vu0=c=2.998×10°m/s，这就是光速。波长入定义为波在一个确定的时刻，两个相邻的极大值（极小值或其他任意的参考点）之间的距离。因此，[f-kz]-[of-k(z+]=2元所以2元—2元=入=(1.48)kw1f