好玩的数学幻方及其他读者不但“知其然”而且“知其所以然”。在这里，数学的好玩，已经到了相当高雅的层次了。谈祥柏先生是几代数学爱好者都熟悉的老科普作家，大量的数学科普作品早已脍炙人口。他为丛书所写的《乐在其中的数学》，很可能是他的封笔之作。此书吸取了美国著名数学科普大师加德纳25年中作品的精华，结合中国国情精心改编，内容新颖、风格多变、雅俗共赏。相信读者看了必能乐在其中。易南轩老师所写的《数学美拾趣》一书，自2002年初版以来，获得读者广泛好评。该书以流畅的文笔围绕一一些有趣的数学内容进行了纵横知识面的联系与扩展，足以开阔眼界、拓广思维。读者群中有理科和文科的师生，不但有数学爱好者，也有文学艺术的爱好者。该书出版不久即脱销，有一些读者索书而未能如愿。这次作者在原书基础上进行了较大的修订和补充，列入丛书，希望能满足这些读者的心愿。世界上有些事物的变化，有确定的因果关系。但也有着大量的随机现象。一局象棋的胜负得失，一步一步地分析起来，因果关系是清楚的。一盘麻将的输赢，却包含了很多难以预料的偶然因素，即随机性。有趣的是，数学不但长于表达处理确定的因果关系，而且也能表达处理被偶然因素支配的随机现象，从偶然中发现规律。孙荣恒先生的《趣味随机问题》一书，向我们展示出概率论、数理统计、随机过程这些数学分支中许多好玩的、有用的和新颖的问题。其中既有经典趣题，如赌徒输光定理，也有近年来发展的新的iv
①总序方法。中国古代数学，体现出算法化的优秀数学思想，曾一度辉煌。回顾一下中国古算中的名题趣事，有助于了解历史文化，振奋民族精神，学习逻辑分析方法，发展空间想像能力。郁祖权先生为丛书所著的《中国古算解趣》，诗、词、书、画、数五术俱有，以通俗艺术的形式介绍韩信点兵、苏武牧羊、李白活酒等40余个中国古算名题；以题说法，讲解我国古代很有影响的一些数学方法；以法传知，叙述这些算法的历史背景和实际应用，并对相关的中算典籍、著名数学家的生平及其贡献做了简要介绍，的确是青少年的好读物。读一读《好玩的数学》，玩一玩数学，是消闲娱乐，又是学习思考。有些看来已经解决的小问题，再多想想，往往有“柳暗花明又一村”的感觉。举两个例子：《中国古算解趣》第37节，讲了一个“三翁垂钓”的题目。与此题类似，有个“五猴分桃”的趣题在世界上广泛流传。著名物理学家、诺贝尔奖获得者李政道教授访问中国科学技术大学时，曾用此题考问中国科学技术大学少年班的学生，无人能答。这个问题，据说是由大物理学家狄拉克提出的，许多人尝试着做过，包括狄拉克本人在内都没有找到很简便的解法。李政道教授说，著名数理逻辑学家和哲学家怀德海曾用高阶差分方程理论中通解和特解的关系，给出一个巧妙的解法。其实，仔细想想，有一个十分简单有趣的解法，小学生都不难理解
好玩的数学幻方及其他原题是这样的：5只猴子一起摘了1堆桃子，因为太累了，它们商量决定，先睡一觉再分。过了不知多久，来了1只猴子，它见别的猴子没来，便将这1堆桃子平均分成5份，结果多了1个就将多的这个吃了，拿走其中的1堆。又过了不知多久，第2只猴子来了，它不知道有1个同伴已经来过还以为自已是第1个到的呢，于是将地上的桃子堆起来，平均分成5份，发现也多了1个，同样吃了这1个，拿走其中的1堆。第3只、第4只、第5只猴子都是这样···问这5只猴子至少摘了多少个桃子？第5个猴子走后还剩多少个桃子？思路和解法：题目难在每次分都多1个桃子，实际上可以理解为少4个，先借给它们4个再分。好玩的是，桃子尽管多了4个，每个猴子得到的桃子并不会增多，当然也不会减少。这样，每次都刚好均分成5堆，就容易算了。想得快的一下就看出，桃子增加4个以后，能够被5的5次方整除，所以至少是3125个。把借的4个桃子还了，可知5只猴子至少摘了3121个桃子。容易算出，最后剩下至少1024一4=1020个桃子。细细地算，就是：设这1堆桃子至少有个，借给它们4个，成为x+4个。5个猴子分别拿了a，b，c，d，e个桃子（其中包括吃掉的一个），则可得a=(α+4)/5vi
①总序6=4(α+4)/25c=16(α+4)/125d=64（x+4)/625e=256（α+4)/3125e应为整数，而256不能被5整除，所以（x+4）应是3125的倍数，所以（α+4）=3125k（k取自然数）当k=1时，α=3121答案是，这5个猴子至少摘了3121个桃子。这种解法，其实就是动力系统研究中常用的相似变换法，也是数学方法论研究中特别看着重的“映射-反演”法。小中见大，也是数学好玩之处。在《说不尽的元》的5.3节，谈到了祖冲之的密率355/113。这个密率的妙处，在于它的分母不大而精确度很高。在所有分母不超过113的分数当中，和元最接近的就是355/113。不但如此，华罗庚在《数论导引》中用丢番图理论证明，在所有分母不超过336的分数当中，和元最接近的还是355/113。后来，在夏道行教授所著《元和e》一书中，用连分数的方法证明，在所有分母不超过8000的分数当中，和元最接近的仍然是355/113，大大改进了336这个界限。有趣的是，只用初中里学的不等式的知识，竞能把8000这个界限提高到16500以上！根据元=3.1415926535897，可得355/113元<0.00000026677，如果有个分数q/p比355/113更接近元，一定会有vii
好玩的数学幻方及其他355/113g/p/<2×0.00000026677也就是/355p-113g//113p<2×0.00000026677因为g/p不等于355/113，所以|355-113g/不是0。但它是正整数，大于或等于1，所以1/113p<2×0.00000026677由此推出p>1/(113 ×2× 0.00000026677)>16586这表明，如果有个分数9/p比355/113更接近元，其分母力一定大于16586。如此简单初等的推理得到这样好的成绩，可谓鸡刀宰牛。数学问题的解决，常有“出乎意料之外，在乎情理之中”的情形。在《数学美拾趣》的22章，提到了“生锈圆规”作图问题，也就是用半径固定的圆规作图的问题。这个问题出现得很早，历史上著名的画家达·芬奇也研究过这个问题。直到20世纪，一些基本的作图，例如已知线段的两端点求作中点的问题（线段可没有给出来），都没有答案。有些人认为用生锈圆规作中点是不可能的。到了20世纪80年代，在规尺作图问题上从来没有过贡献的中国人，不但解决了中点问题和另一个未解决问题，还意外地证明了从2点出发作图时生锈圆规的能力和普通规尺是等价的。那么，从3点出发作图时生锈圆规的能力又如何呢？这是尚未解决的问题。vili