示了汉唐千余年间中国数学发展的水平，是当时科举考试的必读书（公元587 年隋文帝开创中国的科举考试制度，1905年清朝废止科举制度)。 3、中算发展的第三次高峰：数学全盛时期 社会背景：公元960年，北宋王朝的建立结束了五代十国(907-960年) 割据的局面。北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、 指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到了广泛应用。雕版印 书的发达，特别是北宋中期，在宋仁宗庆历年间（约1041一1048年），毕升活 字印刷术的发明（平民发明家毕升总结了历代雕版印刷的丰富的实践经验，经过 反复试验，制成了胶泥活字，实行排版印刷，完成了印刷史上一项重大的革命， 关于毕升的生平事迹，人们却一无所知，幸亏毕升创造活字印刷术的事迹，比较 完整地记录在北宋著名科学家沈括的名著《梦溪笔谈》里)，给数学著作的保存 与流传带来了福音。事实上，整个宋元时期(960一1368年)，重新统一了的中 国封建社会发生了一系列有利于数学发展的变化，以筹算为主要内容的中国传统 数学达到了鼎盛时期。中国传统数学以宋元数学为最高境界。这一时期酒现许多 杰出的数学家和先进的数学计算技术，其印刷出版、记载着中国传统数学最高成 就的宋元算书，是世界文化的重要遗产。 下面介绍宋元时期的一些计算技术。 3.1贾宪三角 贾宪（约公元11世纪）是北宋人，在朝中任左班殿值，约1050年完成一部 叫《黄帝九章算术细草》的著作，原书丢失，但其主要内容被杨辉的《详解九章 算法》摘录，因能传世。贾宪发明了“增乘开方法”，是中算史上第一个完整 可推广到任意次方的开方程序，一种非常有效和高度机械化的算法。在此基础上， 贾宪创造了“开方作法本源图”（即“古法七乘方图”或贾宪三角），西方人叫 “帕斯卡三角”或“算术三角形”，因为法国数学家帕斯卡(1623一1662年) 于1654年发表论文《论算术三角形，以及另外一些类似的小问题》。 算术三角形（利比里亚，1999）。 3.2隙积术 沈括(1030一1094年)，北宋钱塘（今浙江杭州）人，北宋著名的科学家， 1080年任延州（今陕西延安市）知州，因1082年的“永乐城（今宁夏银川附近
21 示了汉唐千余年间中国数学发展的水平，是当时科举考试的必读书（公元 587 年隋文帝开创中国的科举考试制度，1905 年清朝废止科举制度）。 3、中算发展的第三次高峰：数学全盛时期 社会背景：公元 960 年，北宋王朝的建立结束了五代十国（907－960 年） 割据的局面。北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、 指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到了广泛应用。雕版印 书的发达，特别是北宋中期，在宋仁宗庆历年间（约 1041—1048 年），毕升活 字印刷术的发明（平民发明家毕升总结了历代雕版印刷的丰富的实践经验，经过 反复试验，制成了胶泥活字，实行排版印刷，完成了印刷史上一项重大的革命， 关于毕升的生平事迹，人们却一无所知，幸亏毕升创造活字印刷术的事迹，比较 完整地记录在北宋著名科学家沈括的名著《梦溪笔谈》里），给数学著作的保存 与流传带来了福音。事实上，整个宋元时期（960—1368 年），重新统一了的中 国封建社会发生了一系列有利于数学发展的变化，以筹算为主要内容的中国传统 数学达到了鼎盛时期。中国传统数学以宋元数学为最高境界。这一时期涌现许多 杰出的数学家和先进的数学计算技术，其印刷出版、记载着中国传统数学最高成 就的宋元算书，是世界文化的重要遗产。 下面介绍宋元时期的一些计算技术。 3.1 贾宪三角 贾宪（约公元 11 世纪）是北宋人，在朝中任左班殿值，约 1050 年完成一部 叫《黄帝九章算术细草》的著作，原书丢失，但其主要内容被杨辉的《详解九章 算法》摘录，因能传世。贾宪发明了“增乘开方法”，是中算史上第一个完整、 可推广到任意次方的开方程序，一种非常有效和高度机械化的算法。在此基础上， 贾宪创造了“开方作法本源图”（即“古法七乘方图”或贾宪三角），西方人叫 “帕斯卡三角”或“算术三角形”，因为法国数学家帕斯卡（1623－1662 年） 于 1654 年发表论文《论算术三角形，以及另外一些类似的小问题》。 算术三角形（利比里亚，1999）。 3.2 隙积术 沈括（1030－1094 年），北宋钱塘（今浙江杭州）人，北宋著名的科学家， 1080 年任延州（今陕西延安市）知州，因 1082 年的“永乐城（今宁夏银川附近）
之战”败于西夏(1032-1227年)而结束政治生涯，经过6年的软禁之苦后， 开始赋闲幽居生活。沈括一生论著极多，其中以《梦溪笔谈》(1093年)影响 最大，内容包括数学、天文、历法、地理、物理、化学等领域，被英国著名科学 史家李约瑟誉为“中国科学史的里程碑”。他对数学的主要成就有两项，会圆术 (解决由弦求孤的问题)和隙积术（开创研究高阶等差级数之先河）。 3.3天元术 李治（金、元，1192-1279年），金代真定栾城（今河北栾城）人，出生的 时候，金朝(1115一1234年)正由盛而衰，曾任钧州（今河南禹县）知事，1232 年钧州被蒙古军所破，遂隐居于封龙山治学，潜心学问。1248年撰成代数名著 《测圆海镜》，该书是首部系统论述“天元术”（一元高次方程）的著作，“天 元术”与现代代数中的列方程法相类似，称未知数为天元，“立天元一为某某” 相当于“设x为某某”，可以说是符号代数的尝试，在数学史上具有里程碑意义。 刘徽注释《九章算术》“正负术”中云：“正算赤，负算黑”，李治感到用笔记 录时换色的不便，便在《测圆海镜》中用斜画一杠表示负数。 “积财千万，不如薄技在身”。 李治的天元术列方程：x3+336x^2+4184x+2488320=0。 3.4大衍术 秦九韶（约1202一1261年），南宋普州安岳（今四川安岳）人，曾任和州 (今安徽和县)守，1244年，因母丧离任，回湖州（今浙江吴兴）守孝三年。 此间，秦九韶专心致志于研究数学，于1247年完成数学名著《数书九章》，内 容分为九类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军 旅类、市易类，其中有两项贡献使得宋代算书在中世纪世界数学史上占有突出的 地位。 《数书九章》是我国古算中最早用圆圈O表示0号的著作。 一是发展了一次同余组解法，创立了“大衍求一术”（一种解一次同余式的 一般性算法程序，现称中国剩余定理，所谓“求一”，通俗他说，就是求“一个 数的多少倍除以另一个数，所得的余数为一”)的一般解法。中算家对于一次同 余式问题解法最早见于《孙子算经》（约公元400年）中的“物不知数问题”（亦 称“孙子问题”)：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之
22 之战”败于西夏（1032－1227 年）而结束政治生涯，经过 6 年的软禁之苦后， 开始赋闲幽居生活。沈括一生论著极多，其中以《梦溪笔谈》（1093 年）影响 最大，内容包括数学、天文、历法、地理、物理、化学等领域，被英国著名科学 史家李约瑟誉为“中国科学史的里程碑”。他对数学的主要成就有两项，会圆术 （解决由弦求孤的问题）和隙积术（开创研究高阶等差级数之先河）。 3.3 天元术 李冶（金、元，1192－1279 年），金代真定栾城（今河北栾城）人，出生的 时候，金朝（1115－1234 年）正由盛而衰，曾任钧州（今河南禹县）知事，1232 年钧州被蒙古军所破，遂隐居于封龙山治学，潜心学问。1248 年撰成代数名著 《测圆海镜》，该书是首部系统论述“天元术”（一元高次方程）的著作，“天 元术”与现代代数中的列方程法相类似，称未知数为天元，“立天元一为某某”， 相当于“设 x 为某某”，可以说是符号代数的尝试，在数学史上具有里程碑意义。 刘徽注释《九章算术》“正负术”中云：“正算赤，负算黑”，李冶感到用笔记 录时换色的不便，便在《测圆海镜》中用斜画一杠表示负数。 “积财千万，不如薄技在身”。 李冶的天元术列方程：x^3+336x^2+4184x+2488320=0。 3.4 大衍术 秦九韶（约 1202－1261 年），南宋普州安岳（今四川安岳）人，曾任和州 （今安徽和县）守，1244 年，因母丧离任，回湖州（今浙江吴兴）守孝三年。 此间，秦九韶专心致志于研究数学，于 1247 年完成数学名著《数书九章》， 内 容分为九类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军 旅类、市易类，其中有两项贡献使得宋代算书在中世纪世界数学史上占有突出的 地位。 《数书九章》是我国古算中最早用圆圈Ο表示 0 号的著作。 一是发展了一次同余组解法，创立了“大衍求一术”（一种解一次同余式的 一般性算法程序，现称中国剩余定理，所谓“求一”，通俗他说，就是求“一个 数的多少倍除以另一个数，所得的余数为一”）的一般解法。中算家对于一次同 余式问题解法最早见于《孙子算经》（约公元 400 年）中的“物不知数问题”（亦 称“孙子问题”）：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之
剩二，问物几何？。《孙子算经》给出的答案是23，但其算法很简略，未说明 其理论根据。秦九韶在《数书九章》中明确给出了一次同余组的一般性解法。在 西方，最早接触一次同余式的是意大利数学家斐波那契(1170一1250年)于1202 年在《算盘书》中给出了两个一次同余问题，但没有一般算法，1743年瑞士数 学家欧拉(1707-1783年)和1801年德国数学家高斯(1777-1855年)才对 次同余组进行了深入研究，重新获得与中国剩余定理相同的结果。 二是总结了高次方程数值解法，将贾宪的“增乘开方法”推广到了高次方程 的一般情形，提出了相当完备的“正负开方术”（现称秦九韶法）。在西方，直 到1804年意大利数学家鲁菲尼(1765一1822年)才创立了一种逐次近似法解决 数字高次方程无理根的近似值问题，而1819年英国数学家霍纳(1786一1837年) 才提出与“增乘开方法”演算步骤相同的算法，西方称霍纳法。 3.5垛积术 杨辉（公元13世纪），南宋钱塘（今浙江杭州）人，曾做过地方官，足迹遍 及钱塘、台州、苏州等地，是东南一带有名的数学家和数学教有家。杨辉的主要 数学著作之一《详解九章算法》(1261年)是为了普及《九章算术》中的数学知 识而作，它从《九章算术》的246道题中选择了80道有代表性的题目，进行详 解，其中主要的数学贡献是“垛积术”，这是在沈括“隙积术”的基础上发展起 来的，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式。另一贡献是所谓的“杨辉三角” 其实是记载了贾宪的工作。 3.6四元术 朱世杰（约1260一1320年），寓居燕山（今北京附近），当时的北方，正处 于天元术逐渐发展成为二元术、三元术的重要时期，朱世杰在经过长期游学、讲 学之后，终于在1299年和1303年在扬州刊刻了他的两部代表作《算学启蒙》和 《四元玉鉴》。 中国数学自晚唐以来不断发展的简化筹算的趋势有了进一步的加强，日用数 学和商用数学更加普及，南宋时期杨辉可以作为这一倾向的代表，而朱世杰则是 这一倾向的继承。《算学启蒙》是一部通俗数学名著，出版后不久即流传至日本 和朝鲜。就学术成就而论，《四元玉鉴》远超《算学启蒙》，它是中国宋元数学高 峰的又一个标志，主要贡献有四元术和招差术（高次内插公式）。 23
23 剩二，问物几何？。《孙子算经》给出的答案是 23，但其算法很简略，未说明 其理论根据。秦九韶在《数书九章》中明确给出了一次同余组的一般性解法。在 西方，最早接触一次同余式的是意大利数学家斐波那契（1170－1250 年）于 1202 年在《算盘书》中给出了两个一次同余问题，但没有一般算法，1743 年瑞士数 学家欧拉（1707－1783 年）和 1801 年德国数学家高斯（1777－1855 年）才对一 次同余组进行了深入研究，重新获得与中国剩余定理相同的结果。 二是总结了高次方程数值解法，将贾宪的“增乘开方法”推广到了高次方程 的一般情形，提出了相当完备的“正负开方术”（现称秦九韶法）。在西方，直 到 1804 年意大利数学家鲁菲尼（1765－1822 年）才创立了一种逐次近似法解决 数字高次方程无理根的近似值问题，而 1819 年英国数学家霍纳（1786－1837 年） 才提出与“增乘开方法”演算步骤相同的算法，西方称霍纳法。 3.5 垛积术 杨辉（公元 13 世纪），南宋钱塘（今浙江杭州）人，曾做过地方官，足迹遍 及钱塘、台州、苏州等地，是东南一带有名的数学家和数学教育家。杨辉的主要 数学著作之一《详解九章算法》（1261 年）是为了普及《九章算术》中的数学知 识而作，它从《九章算术》的 246 道题中选择了 80 道有代表性的题目，进行详 解，其中主要的数学贡献是“垛积术”，这是在沈括“隙积术”的基础上发展起 来的，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式。另一贡献是所谓的“杨辉三角”， 其实是记载了贾宪的工作。 3.6 四元术 朱世杰（约 1260－1320 年），寓居燕山（今北京附近），当时的北方，正处 于天元术逐渐发展成为二元术、三元术的重要时期，朱世杰在经过长期游学、讲 学之后，终于在 1299 年和 1303 年在扬州刊刻了他的两部代表作《算学启蒙》和 《四元玉鉴》。 中国数学自晚唐以来不断发展的简化筹算的趋势有了进一步的加强，日用数 学和商用数学更加普及，南宋时期杨辉可以作为这一倾向的代表，而朱世杰则是 这一倾向的继承。《算学启蒙》是一部通俗数学名著，出版后不久即流传至日本 和朝鲜。就学术成就而论，《四元玉鉴》远超《算学启蒙》，它是中国宋元数学高 峰的又一个标志，主要贡献有四元术和招差术（高次内插公式）
四元术是多元高次方程列方程和解方程的方法，未知数最多可达四个，即天 元、地元、人元和物元。如《四元玉鉴》卷首“假令四草”之“四象会元”，其 中四元布列意为即元气（常数项）居中，天元（未知数x)于下，地元（未知数 y)于左，人元（未知数z)于右，物元（未知数u)于上，所以上述方程指 “-x2+2x-xy2+xz+4y+4z=0”。 朱世杰的好友莫若在《四元玉鉴》的序文中说道：《四元玉鉴》，其法以元气 居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上，阴阳升降，进退 左右，互通变化，错综无穷。 清代数学家罗士琳(1774一1853年)在《畴人传·续编·朱世杰条》中说： 汉卿在宋元间，与秦道古（九韶）、李仁卿（治）可称鼎足而三。道古正负开方， 仁卿天元如积，皆足上下千古，汉卿又兼包众有，充类尽量，神而明之，尤超越 乎秦李之上。 美国著名科学史家萨顿(1884一1956年)说：朱世杰是汉民族，他所生存 时代的，同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家。 3.7内插法 郭守敬(1231一1316年)，顺德邢台（今河北邢台）人，元代大天文学家、 数学家、水利专家和仪器制造家，曾任工部郎中、太史令、都水监事和昭文馆大 学士等官职。与太史令王恂(1235一1281年，中山府（今河北定州）唐县（今 唐县人)，至元十八年(1281年)，王恂丧父，去官守孝。守孝期间，因悲伤过 度，不思饮食，饥馁染病而亡，享年46岁)，一同吸收了前代历法的精华，运用 宋金两朝的数学成就（包括沈括的会圆术），使用了三次内插公式，在1280年完 成了中国古代最精密的历法《授时历》。设定一年为365.2425天，比地球绕太阳 一周的实际运行时间只差26秒，早于欧洲1582年开始使用的“格里历”300年， 使用时间长达363年(1281一1643年)，中国古代的历法也发展到了高峰。 此外，1276年，郭守敬根据镜成象原理发明了“景符”测影器，制造了世 界闻名的简仪、高表、窥(kui)几、仰仪、日晷(gui)、浑天象等12种天文仪 器，元至元十三年(1276年)建造的河南登封观星台留存至今。 古希腊数学以几何定理的演绎推理为特征、具有公理化模式，与中国传统 数学以计算为中心、具有程序性和机械性的算法化模式相辉映，交替影响世界 2
24 四元术是多元高次方程列方程和解方程的方法，未知数最多可达四个，即天 元、地元、人元和物元。如《四元玉鉴》卷首“假令四草”之“四象会元”，其 中四元布列意为即元气（常数项）居中，天元（未知数 x）于下，地元（未知数 y）于左，人元（未知数 z）于右，物元（未知数 u）于上，所以上述方程指 “ 2 4 4 0 2 2 − x + x − xy + xz+ y + z = ”。 朱世杰的好友莫若在《四元玉鉴》的序文中说道：《四元玉鉴》，其法以元气 居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上，阴阳升降，进退 左右，互通变化，错综无穷。 清代数学家罗士琳（1774—1853 年）在《畴人传·续编·朱世杰条》中说： 汉卿在宋元间，与秦道古（九韶）、李仁卿（冶）可称鼎足而三。道古正负开方， 仁卿天元如积，皆足上下千古，汉卿又兼包众有，充类尽量，神而明之，尤超越 乎秦李之上。 美国著名科学史家萨顿（1884－1956 年）说：朱世杰是汉民族，他所生存 时代的，同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家。 3.7 内插法 郭守敬（1231－1316 年），顺德邢台（今河北邢台）人，元代大天文学家、 数学家、水利专家和仪器制造家，曾任工部郎中、太史令、都水监事和昭文馆大 学士等官职。与太史令王恂（1235－1281 年，中山府（今河北定州）唐县（今 唐县人），至元十八年（1281 年），王恂丧父，去官守孝。守孝期间，因悲伤过 度，不思饮食，饥馁染病而亡，享年 46 岁），一同吸收了前代历法的精华，运用 宋金两朝的数学成就（包括沈括的会圆术），使用了三次内插公式，在 1280 年完 成了中国古代最精密的历法《授时历》。设定一年为 365.2425 天，比地球绕太阳 一周的实际运行时间只差 26 秒，早于欧洲 1582 年开始使用的“格里历”300 年， 使用时间长达 363 年（1281－1643 年），中国古代的历法也发展到了高峰。 此外，1276 年，郭守敬根据镜成象原理发明了“景符”测影器，制造了世 界闻名的简仪、高表、窥（kuí）几、仰仪、日晷（guǐ）、浑天象等 12 种天文仪 器，元至元十三年（l276 年）建造的河南登封观星台留存至今。 古希腊数学以几何定理的演绎推理为特征、具有公理化模式，与中国传统 数学以计算为中心、具有程序性和机械性的算法化模式相辉映，交替影响世界
数学的发展。这一时期创造的宋元算法，如隙积术、大衍术、开方术、垛积术、 招差术、天元术等在世界数学史上占有光辉的地位。 4、中算的衰落 朱世杰可以被看作是中国宋元时期数学发展的总结性人物，是中国以筹算为 主要计算工具的古代数学发展的顶峰，而《四元玉鉴》可以说是宋元(960一1368 年)数学的绝唱。14世纪中、后叶，明王朝建立以后，统治者奉行以八股文为 特征的科举制度，1370年明太祖朱元璋(1328一1398年)规定八股文为科举考 试的主要文体，在国家科举考试中大幅度消减数学内容，明初起300余年内中国 传统数学研究呈现全面衰退，致使明代大数学家看不懂宋元重要数学成就。明清 两朝(1368-1911年)共543年，不仅未能产生出与《数书九章》、《四元玉鉴》 相婉美的数学杰作，而且在18世纪中叶“乾嘉学派”重新发掘研究以前，像“四 元术”这样一些宋元数学的精粹长期失传、无人通晓。 思考题 1、简述刘徽的数学贡献。 2、用数列极限证明：圆内楼正62{；边形的周长的极限是圆周长。 3、《九章算术》在中国数学发展史上的地位和意义如何？ 4、试比较阿基米德证明体积计算公式的方法与中国古代数学家的球体积计 算公式的推导方法的异同。 5、更精确地计算圆周率是否有意义？谈谈您的理由。 6、分析宋元时期中国传统数学兴盛的社会条件。 第四讲：中世纪的东西方数学Ⅱ 主要内容：印度数学、阿拉伯数学、中世纪的歌洲数学，简述了10位科学 家的数学工作。 1、印度数学（公元5一12世纪） 背景：古印度简况 印度古文明的历史可追溯到公元前3000年左右。雅利安人大约在公元前 2000年纪中叶出现在印度西北部，逐渐向南扩张。雅利安（梵(f)文，原意 是“高贵的”或“土地所有者”)人入侵印度，征服了土著居民达罗毗茶人，影 25
25 数学的发展。这一时期创造的宋元算法，如隙积术、大衍术、开方术、垛积术、 招差术、天元术等在世界数学史上占有光辉的地位。 4、中算的衰落 朱世杰可以被看作是中国宋元时期数学发展的总结性人物，是中国以筹算为 主要计算工具的古代数学发展的顶峰，而《四元玉鉴》可以说是宋元（960－1368 年）数学的绝唱。14 世纪中、后叶，明王朝建立以后，统治者奉行以八股文为 特征的科举制度，1370 年明太祖朱元璋（1328－1398 年）规定八股文为科举考 试的主要文体，在国家科举考试中大幅度消减数学内容，明初起 300 余年内中国 传统数学研究呈现全面衰退，致使明代大数学家看不懂宋元重要数学成就。明清 两朝（1368－1911 年）共 543 年，不仅未能产生出与《数书九章》、《四元玉鉴》 相媲美的数学杰作，而且在 18 世纪中叶“乾嘉学派”重新发掘研究以前，像“四 元术”这样一些宋元数学的精粹长期失传、无人通晓。 思考题 1、简述刘徽的数学贡献。 2、用数列极限证明：圆内椄正 6•2^{n}边形的周长的极限是圆周长。 3、《九章算术》在中国数学发展史上的地位和意义如何？ 4、试比较阿基米德证明体积计算公式的方法与中国古代数学家的球体积计 算公式的推导方法的异同。 5、更精确地计算圆周率是否有意义？谈谈您的理由。 6、分析宋元时期中国传统数学兴盛的社会条件。 第四讲：中世纪的东西方数学 II 主要内容：印度数学、阿拉伯数学、中世纪的欧洲数学，简述了 10 位科学 家的数学工作。 1、印度数学（公元 5－12 世纪） 背景：古印度简况 印度古文明的历史可追溯到公元前 3000 年左右。雅利安人大约在公元前 2000 年纪中叶出现在印度西北部，逐渐向南扩张。雅利安（梵（fàn）文，原意 是“高贵的”或“土地所有者”）人入侵印度，征服了土著居民达罗毗荼人，影