由于计算尼罗河泛滥周期的需要，产生了古埃及的天文学和太阳历 埃及阳历：每年365天，12个月，每月30天，外加5天年终节日。 天文学家索西吉斯（前90一？）建议罗马儒略·凯撒（前100一前44年） 大帝使用阳历，注意4年置闰一次：公元前46年制定儒略历。 儒略历：平年365天，12个月，大月31天，小月30天，单月为大月（凯 撒生日在7月)，8月也定为大月（屋大维（奥古斯都，前63一公元14年，凯撒 姐姐的儿子，是凯撒遗嘱的第一继承人，生日在8月)，从8月开始，单月为小， 双月为大，所欠缺的天数均从2月（不吉利的月份）里扣除，使之成为28天。 闰年366天，使2月成为29天。 儒略历从公元前45年1月1日开始实行。 公元325年，罗马教皇将儒略历规定为教历。公历的纪元，就是从“耶稣降 生”的那年算起的，这与基督教的兴盛密切相关。 问题：一年365.25天比实际回归年长度365.2422多0.0078天，至公元1582 年，已与实际天数多了10天。 为了不违背宗教的规定，满足教会对历法的要求，罗马教皇格里高利13世 设立了改革历法的专门委员会，比较了各种方案后，决定采用意大利医生利里奥 的方案，在400年中去掉儒略历多出的三个闰年。 格里历：罗马教皇格里高利13世，将1582年10月5日直接变成15日： 在4年一闰的基础上每逢百之年只有能被400整除的才算闰年：历年的平均长度 为365.2425，更接近回归年长度（与回归年长度相差25.92秒），要过3333历年 两者才会相差1日。 由于格里历的内容比较简洁，便于记忆，而且精度较高，与天时符合较好 因此它逐步为各国政府所采用。 公历：格里历先在天主教国家使用，20世纪初为全世界普遍采用，所以又 叫公历。 我国于1912年开始采用公历，但仍用中华民国纪年，1949年中华人民共 和国成立后，采用公历纪年。 思考题 1、试分析芝诺悖论：飞矢不动。 6
16 由于计算尼罗河泛滥周期的需要，产生了古埃及的天文学和太阳历。 埃及阳历：每年 365 天，12 个月，每月 30 天，外加 5 天年终节日。 天文学家索西吉斯（前 90－？）建议罗马儒略·凯撒（前 100－前 44 年） 大帝使用阳历，注意 4 年置闰一次；公元前 46 年制定儒略历。 儒略历：平年 365 天，12 个月，大月 31 天，小月 30 天，单月为大月（凯 撒生日在 7 月），8 月也定为大月（屋大维（奥古斯都，前 63－公元 14 年，凯撒 姐姐的儿子，是凯撒遗嘱的第一继承人，生日在 8 月），从 8 月开始，单月为小， 双月为大，所欠缺的天数均从 2 月（不吉利的月份）里扣除，使之成为 28 天。 闰年 366 天，使 2 月成为 29 天。 儒略历从公元前 45 年 1 月 1 日开始实行。 公元 325 年，罗马教皇将儒略历规定为教历。公历的纪元，就是从“耶稣降 生”的那年算起的，这与基督教的兴盛密切相关。 问题：一年 365.25 天比实际回归年长度 365.2422 多 0.0078 天，至公元 1582 年，已与实际天数多了 10 天。 为了不违背宗教的规定，满足教会对历法的要求，罗马教皇格里高利 13 世 设立了改革历法的专门委员会，比较了各种方案后，决定采用意大利医生利里奥 的方案，在 400 年中去掉儒略历多出的三个闰年。 格里历：罗马教皇格里高利 13 世，将 1582 年 10 月 5 日直接变成 15 日； 在 4 年一闰的基础上每逢百之年只有能被 400 整除的才算闰年；历年的平均长度 为 365.2425，更接近回归年长度（与回归年长度相差 25.92 秒），要过 3333 历年 两者才会相差 1 日。 由于格里历的内容比较简洁，便于记忆，而且精度较高，与天时符合较好， 因此它逐步为各国政府所采用。 公历：格里历先在天主教国家使用，20 世纪初为全世界普遍采用，所以又 叫公历。 我国于 1912 年开始采用公历，但仍用中华民国纪年，1949 年中华人民共 和国成立后，采用公历纪年。 思考题 1、试分析芝诺悖论：飞矢不动
2、欧几里得《原本》对数学以及整个科学的发展有什么意义？ 3、简述欧几里得《原本》的现代意义？ 4、以“化圆为方”问题为例，说明未解决问题在数学中的重要性。 5、体验阿基米德方法：通过计算半径为1的圆内接和外切正96边形的周长 计算圆周率的近似值，计算到小数点后3位数。 6、毕达哥拉斯学派是怎样引起第一次数学危机的？他们为什么要对这次数 学危机采取回避的态度？ 第三讲：中世纪的东西方数学1 中国传统数学的形成与兴盛：公元前1世纪至公元14世纪。分成三个阶段： 《周碑算经》与《九章算术》、刘徽与祖冲之、宋元数学，这反映了中国传统数 学发展的三次高峰，简述9位中国科学家的数学工作。 1、中算发展的第一次高峰：数学体系的形成 秦始皇陵兵马俑（中国，1983），秦汉时期形成中国传统数学体系。 我们通过一些古典数学文献说明数学体系的形成。1983一1984年间考古学 家在湖北江陵张家山出土的一批西汉初年（即吕后至文帝初年，约为公元前170 年前后)的竹简，共千余支。经初步整理，其中有历谱、日书等多种古代珍贵的 文献，还有一部数学著作，据写在一支竹简背面的字迹辨认，这部竹简算书的书 名叫《算数书》，它是中国现存最早的数学专著。经研究，它和《九章算术》（公 元1世纪)有许多相同之处，体例也是“问题集”形式，大多数题都由问、答、 术三部分组成，而且有些概念、术语也与《九章算术》的一样。 《周钟算经》（髀：量日影的标杆）编纂于西汉末年，约公元前100年，它 虽是一部天文学著作(“盖天说”一天圆地方：中国古代正统的宇宙观是“浑天 说”一大地是悬浮于字宙空间的圆球，“天体如弹丸，地如卵中黄”)，涉及的 数学知识有的可以追溯到公元前11世纪（西周），其中包括两项重要的数学成就： 勾股定理的普遍形式（中国最早关于勾股定理的书面记载），数学在天文测量中 的应用（测太阳高或远的“陈子测日法”，陈子约公元前6、7世纪人，相似形 方法)。 勾股定理的普遍形式：求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘
17 2、欧几里得《原本》对数学以及整个科学的发展有什么意义？ 3、简述欧几里得《原本》的现代意义？ 4、以“化圆为方”问题为例，说明未解决问题在数学中的重要性。 5、体验阿基米德方法：通过计算半径为 1 的圆内接和外切正 96 边形的周长， 计算圆周率的近似值，计算到小数点后 3 位数。 6、毕达哥拉斯学派是怎样引起第一次数学危机的？他们为什么要对这次数 学危机采取回避的态度？ 第三讲：中世纪的东西方数学 I 中国传统数学的形成与兴盛：公元前 1 世纪至公元 14 世纪。分成三个阶段： 《周髀算经》与《九章算术》、刘徽与祖冲之、宋元数学，这反映了中国传统数 学发展的三次高峰，简述 9 位中国科学家的数学工作。 1、中算发展的第一次高峰：数学体系的形成 秦始皇陵兵马俑（中国，1983），秦汉时期形成中国传统数学体系。 我们通过一些古典数学文献说明数学体系的形成。1983－1984 年间考古学 家在湖北江陵张家山出土的一批西汉初年（即吕后至文帝初年，约为公元前 170 年前后）的竹简，共千余支。经初步整理，其中有历谱、日书等多种古代珍贵的 文献，还有一部数学著作，据写在一支竹简背面的字迹辨认，这部竹简算书的书 名叫《算数书》，它是中国现存最早的数学专著。经研究，它和《九章算术》（公 元 1 世纪）有许多相同之处，体例也是“问题集”形式，大多数题都由问、答、 术三部分组成，而且有些概念、术语也与《九章算术》的一样。 《周髀算经》（髀：量日影的标杆）编纂于西汉末年，约公元前 100 年，它 虽是一部天文学著作（“盖天说”－天圆地方；中国古代正统的宇宙观是“浑天 说”－大地是悬浮于宇宙空间的圆球，“天体如弹丸，地如卵中黄”），涉及的 数学知识有的可以追溯到公元前 11 世纪（西周），其中包括两项重要的数学成就： 勾股定理的普遍形式（中国最早关于勾股定理的书面记载），数学在天文测量中 的应用（测太阳高或远的“陈子测日法”，陈子约公元前 6、7 世纪人，相似形 方法）。 勾股定理的普遍形式：求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘
并而开方除之，得邪至日。 中国传统数学最重要的著作是《九章算术》（东汉，公元100年）。它不是 出自一个人之手，是经过历代多人修订、增补而成，其中的数学内容，有些也可 以追溯到周代。中国儒家的重要经典著作《周礼》记载西周贵族子弟必学的六门 课程“六艺”（礼、乐、射、御、书、数）中有一门是“九数”。《九章算术》是 由“九数”发展而来。在秦焚书（公元前213年）之前，至少己有原始的本子。 经过西汉张苍（约公元前256-152年，约公元前200年，西汉阳武（今河南原 阳)人)、耿寿昌（公元前73-49年，约公元前50年）等人删补，大约成书于 东汉时期，至迟在公元100年。 全书246个问题，分成九章：(1)方田（土地测量），包括正方形、矩形、 三角形、梯形、圆形、环形、弓形、截球体的表面积计算，另有约分、通分、四 则运算，求最大公约数等运算法则：(2)粟米（粮食交易的比例方法）：(3) 衰分（比例分配的算法），介绍依等级分配物资或按等级摊派税收的比例分配算 法：(4)少广（开平方和开立方法）；(5)商功（立体形求体积法）；(6) 均输（征税），处理行程和合理解决征税问题，包括复比例和连比例等比较复杂 的比例分配问题：(7)盈不足（盈亏类问题解法及其应用）；(8)方程（一次 方程组解法和正负数)：(9)勾股（直角三角形），介绍利用构股定理测量计 算高、深、广、远的问题。所包含的数学成就是丰富和多方面的，主要内容包括 分数四则和比例算法、面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等，既有算术方 面的，也有代数与几何方面的内容。如方程第一题，其算筹式为 它完整地叙述了当时已有的数学成就，对中国传统数学发展的影响，如同《原 本》对西方数学发展的影响一样深远，在长达一千多年间，一直作为中国的数学 教科书，并被公认为世界数学古典名著之一。《九章算术》标志以筹算为基础的 中国古代数学体系正式形成。 2、中算发展的第二次高峰：数学稳步发展 三国演义（中国，1998）。 从公元220年东汉分裂，到公元581年隋朝建立，史称魏晋南北朝。这是中 18
18 并而开方除之，得邪至日。 中国传统数学最重要的著作是《九章算术》（东汉，公元 100 年）。它不是 出自一个人之手，是经过历代多人修订、增补而成，其中的数学内容，有些也可 以追溯到周代。中国儒家的重要经典著作《周礼》记载西周贵族子弟必学的六门 课程“六艺”（礼、乐、射、御、书、数）中有一门是“九数”。《九章算术》是 由“九数”发展而来。在秦焚书（公元前 213 年）之前，至少已有原始的本子。 经过西汉张苍（约公元前 256－152 年，约公元前 200 年，西汉阳武（今河南原 阳）人）、耿寿昌（公元前 73－49 年，约公元前 50 年）等人删补，大约成书于 东汉时期，至迟在公元 100 年。 全书 246 个问题，分成九章：（1）方田（土地测量），包括正方形、矩形、 三角形、梯形、圆形、环形、弓形、截球体的表面积计算，另有约分、通分、四 则运算，求最大公约数等运算法则；（2）粟米（粮食交易的比例方法）；（3） 衰分（比例分配的算法），介绍依等级分配物资或按等级摊派税收的比例分配算 法；（4）少广（开平方和开立方法）；（5）商功 （立体形求体积法）；（6） 均输（征税），处理行程和合理解决征税问题，包括复比例和连比例等比较复杂 的比例分配问题；（7）盈不足（盈亏类问题解法及其应用）；（8）方程（一次 方程组解法和正负数）；（9）勾股（直角三角形），介绍利用构股定理测量计 算高、深、广、远的问题。所包含的数学成就是丰富和多方面的，主要内容包括 分数四则和比例算法、面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等，既有算术方 面的，也有代数与几何方面的内容。如方程第一题，其算筹式为 它完整地叙述了当时已有的数学成就，对中国传统数学发展的影响，如同《原 本》对西方数学发展的影响一样深远，在长达一千多年间，一直作为中国的数学 教科书，并被公认为世界数学古典名著之一。《九章算术》标志以筹算为基础的 中国古代数学体系正式形成。 2、中算发展的第二次高峰：数学稳步发展 三国演义（中国，1998）。 从公元 220 年东汉分裂，到公元 581 年隋朝建立，史称魏晋南北朝。这是中
国历史上的动荡时期，也是思想相对活跃的时期。在长期独尊儒学之后，学术界 思辨之风再起，在数学上也兴起了论证的趋势。许多研究以注释《周牌算经》、 《九章算术》的形式出现，实质是寻求这两部著作中一些重要结论的数学证明。 这是中国数学史上一个独特而丰产的时期，是中国传统数学稳步发展的时期。 《九章算术》注释中最杰出的代表是刘徽和祖冲之父子。 2.1刘徽（魏晋，公元3世纪）（中国，2002），淄乡（今山东邹平县）人， 布衣数学家，于263年撰《九章算术注》，不仅对《九章算术》的方法、公式和 定理进行一般的解释和推导，而且系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学 原理，并且多有创造，奠定了这位数学家在中国数学史上的不朽地位，成为中国 传统数学最具代表性的人物。 刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”（圆内接正多边形面积无限逼近圆面 积)。在刘徽之前，通常认为“周三径一”，即圆周率取为3。刘徽在《九章算 术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与 圆周合体而无所失矣”，通过计算圆内接正302边形的面积，求出圆周率为 39271250(=3.1416)(阿基米德计算了圆内接和外切正6边形的周长)。为方 便计算，刘徽主张利用圆内接正192边形的面积求出157/50(=3.14)作为圆周 率，后人常把这个值称为“徽率”。这使刘徽成为中算史上第一位用可靠的理论 来推算圆周率的数学家，并享有国际声誉。 让我们来体会刘徽的割圆术”。 刘徽对π的估算值（密克罗尼西亚，1999）。 刘徽利用极限思想求圆的面积，就极限思想而言，从现存中国古算著作看 在清代李善兰及西方微积分学传入中国之前，再没有人超过甚至达到刘徽的水 平。2000年国家最高科学技术奖得主吴文俊院士指出：“从对数学贡献的角度 来衡量，刘徽应该与欧几里得、阿基米德相提并论”。 刘徽的数学思想和方法，到南北朝时期被祖冲之推进和发展。 2.2祖冲之(429一500年)，范阳遒县（今河北涞源）人，活跃于南朝的宋、 齐两代，曾做过一些小官，但他却成为历代为数很少能名列正史的数学家之一。 祖冲之：“迟疾之率，非出神怪，有形可检，有数可推。” 祖冲之的著作《缀术》，取得了圆周率的计算和球体体积的推导两大数学成
19 国历史上的动荡时期，也是思想相对活跃的时期。在长期独尊儒学之后，学术界 思辨之风再起，在数学上也兴起了论证的趋势。许多研究以注释《周髀算经》、 《九章算术》的形式出现，实质是寻求这两部著作中一些重要结论的数学证明。 这是中国数学史上一个独特而丰产的时期，是中国传统数学稳步发展的时期。 《九章算术》注释中最杰出的代表是刘徽和祖冲之父子。 2.1 刘徽（魏晋，公元 3 世纪）（中国，2002），淄乡（今山东邹平县）人， 布衣数学家，于 263 年撰《九章算术注》，不仅对《九章算术》的方法、公式和 定理进行一般的解释和推导，而且系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学 原理，并且多有创造，奠定了这位数学家在中国数学史上的不朽地位，成为中国 传统数学最具代表性的人物。 刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”（圆内接正多边形面积无限逼近圆面 积）。在刘徽之前，通常认为“周三径一”，即圆周率取为 3。刘徽在《九章算 术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与 圆周合体而无所失矣”，通过计算圆内接正 3072 边形的面积，求出圆周率为 3927/1250（=3.1416）（阿基米德计算了圆内接和外切正 96 边形的周长）。为方 便计算，刘徽主张利用圆内接正 192 边形的面积求出 157/50（=3.14）作为圆周 率，后人常把这个值称为“徽率”。这使刘徽成为中算史上第一位用可靠的理论 来推算圆周率的数学家，并享有国际声誉。 让我们来体会刘徽的“割圆术”。 刘徽对π的估算值（密克罗尼西亚，1999）。 刘徽利用极限思想求圆的面积，就极限思想而言，从现存中国古算著作看， 在清代李善兰及西方微积分学传入中国之前，再没有人超过甚至达到刘徽的水 平。2000 年国家最高科学技术奖得主吴文俊院士指出：“从对数学贡献的角度 来衡量，刘徽应该与欧几里得、阿基米德相提并论”。 刘徽的数学思想和方法，到南北朝时期被祖冲之推进和发展。 2.2 祖冲之（429－500 年），范阳遒县（今河北涞源）人，活跃于南朝的宋、 齐两代，曾做过一些小官，但他却成为历代为数很少能名列正史的数学家之一。 祖冲之：“迟疾之率，非出神怪，有形可检，有数可推。” 祖冲之的著作《缀术》，取得了圆周率的计算和球体体积的推导两大数学成
就。祖冲之关于圆周率的贡献记载在《隋书》（唐，魏征主编）的《律历志》中： “古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮 延宗之徒，各设新率，未臻折衷。宋末，南徐州（今江苏镇江）从事史祖冲之， 更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽， 胸数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈肭二限之间。密率，圆径 百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。”即，祖冲之算出圆 周率在3.1415926与3.1415927之间，并以355/113(=3.1415929.)为毫率，227 (=3.1428.)为约率。 1913年日本数学史家三上义夫(1875-1950年)在《中国和日本的数学之 发展》里主张称355/113为祖率。 祖冲之如何算出如此精密结果，《隋书律历志》写道：“所著之书，名为 《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而不理”。《缀术》失传了，没有任何史 料流传下来。史学家认为，祖冲之除开继续使用刘徽的“割圆术”“割之又割” 外，并不存在有其它方法的可能性。如按刘徽的方法，继续算至圆内接正12288 边形和正24576边形可得出圆周率在3.14159261与3.14159271之间。 《缀术》的另一贡献是祖氏原理：幂势既同则积不容异，在西方文献中称 为卡瓦列里原理，或不可分量原理，因为1635年意大利数学家卡瓦列里(1598 一1647年)独立提出，对微积分的建立有重要影响。 在数学成就方面，整个唐代却没有产生出能够与其前的魏晋南北朝和其后的 宋元时期相媲美的数学大家，主要的数学成就在于建立中国数学教育制度。为了 教学需要唐初由李淳风(604一672年)等人注释并校订了《算经十书》（约656 年)，即《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》（刘徽）、《孙子算经》 (约成书于公元400年，内有“物不知数”问题)、《夏候阳算经》（成书于公 元6、7世纪，内有“百鸡问题”：今有鸡翁一，直钱五：鸡母一，直钱三：鸡 雏三，直钱一。凡百钱，买鸡翁、母、雏各几何)、《张邱建算经》（张邱建， 北魏清河（今邢台市清河县）人，约成书于公元466一485年间)、《缀术》（祖 冲之)、《五曹算经》（北周甄鸾（字叔遵，河北无极人）著)、《五经算经》 (北周甄鸾著)和《缉古算经》（约成书于626年前后，唐王孝通，内有三次方 程及其根，但没有解题方法)。十部算经对继承古代数学经典有积极的意义，显
20 就。祖冲之关于圆周率的贡献记载在《隋书》（唐，魏征主编）的《律历志》中： “古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮 延宗之徒，各设新率，未臻折衷。宋末，南徐州（今江苏镇江）从事史祖冲之， 更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽， 朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一 百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。” 即，祖冲之算出圆 周率在 3.1415926 与 3.1415927 之间，并以 355/113（=3.1415929.）为密率，22/7 （=3.1428.）为约率。 1913 年日本数学史家三上义夫（1875－1950 年）在《中国和日本的数学之 发展》里主张称 355/113 为祖率。 祖冲之如何算出如此精密结果，《隋书·律历志》写道：“所著之书，名为 《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而不理”。《缀术》失传了，没有任何史 料流传下来。史学家认为，祖冲之除开继续使用刘徽的“割圆术”“割之又割” 外，并不存在有其它方法的可能性。如按刘徽的方法，继续算至圆内接正 12288 边形和正 24576 边形可得出圆周率在 3.14159261 与 3.14159271 之间。 《缀术》的另一贡献是祖氏原理 ：幂势既同则积不容异，在西方文献中称 为卡瓦列里原理，或不可分量原理，因为 1635 年意大利数学家卡瓦列里（1598 －1647 年）独立提出，对微积分的建立有重要影响。 在数学成就方面，整个唐代却没有产生出能够与其前的魏晋南北朝和其后的 宋元时期相媲美的数学大家，主要的数学成就在于建立中国数学教育制度。为了 教学需要唐初由李淳风（604－672 年）等人注释并校订了《算经十书》（约 656 年），即《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》（刘徽）、《孙子算经》 （约成书于公元 400 年，内有“物不知数”问题）、《夏候阳算经》（成书于公 元 6、7 世纪，内有“百鸡问题”：今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡 雏三，直钱一。凡百钱，买鸡翁、母、雏各几何）、《张邱建算经》（张邱建， 北魏清河（今邢台市清河县）人，约成书于公元 466－485 年间）、《缀术》（祖 冲之）、《五曹算经》（北周甄鸾（字叔遵，河北无极人）著）、《五经算经》 （北周甄鸾著）和《缉古算经》（约成书于 626 年前后，唐王孝通，内有三次方 程及其根，但没有解题方法）。十部算经对继承古代数学经典有积极的意义，显