“=(侵)“ 低通滤波器的截止频率m,=205:,因而X。()的傅里叶变换为 Xo）-22x(侵）”u-20 注意到 Pm)=等∑如-k,）T=5×10s 则可求出X。(w X,(ja）=2X.Ga)Pja) -之x(m-.),T=5x103s X(w)和X(jw)分别如图7-31(a)、(b)所示。 2(3)” 2π(3)9 2142 200r -100-20元 20元40100x200元元 i 0.4x×10 0.4×()'×10 0.2,0x10 200r 200x 00 图7-31 注意：由于采样时间间隔T=5×103s,采样频率.=400r，因而在构成X(w)时，X,(w)在 仙=土200π，士600π，.等处有叠加。而且由图7-31(b)可看出，X,(jw)既具有周期性，又都是由冲激串组成 的。在图7-31(a)所示系统中，将冲激串X(t)变为离散序列xn,只是一个频率变换过程。也就是说，x 的频谱与x()的频请一样，是周期性的冲激串，因而x是周期的，因为周期离散信号的傅里叶变换就是周 期的冲激串 下面求x的周期。不难知x()的傅里叶级数为 x0=三（侵）"e,=20xads 因x[n]=x,(nT),T=5X10-s,即 -)=之（合）”er=之（位）”em 可将上式右端作为周期序列x的傅里叶级数。因有 T=20x×5×10-3=0.1x 而系-0.1，其中N为m的周期，故的周期N-至-20 （o)在(a)中已得到的博里叶级数为小一之（位）”。“。 因为当k=-10时e-a1"=ew=(-1)";当k=10时，e0.1”=e"=(一1)” 所以此傅里叶级数也可写为 -空(2）e+2)”e 即xn的傅里叶系数为
()”.k=0,士1，±2.士9 (侵广、=10 7.29如图7-32(a)所示系统利用离散时间滤波器过滤连续时间信号。若x(jw)和H(e”)如图7-32(b)所 示，以1/T=20k,画出X,(jw）X(e)Y(e)Y,(jm)和y(jo). a b) 图7-32 解：X()经过冲激串采样得到(t),采样频率 人==20kH2=2×10*Hz 易知采样后信号的频谱 X,m)=7∑X(0m-jk·等) =2×102X.m-4x×10) X.(jw)如图7-33(a)所示。 由冲激串x,(t)转换为序列x,在频域中进行了频率归一化，即若将X,(w)表示为X。(2),而x 的频谱函数用X(")表示，则 X(e)=X(jn)o=X(j)a.o =2×10∑X.(0w×0.5×10-jk.4x×10y X(e")如图7-33(b)所示。 x[通过截止频率为π4的低通滤波器得到y[nl,易知 Y(e)-X(e-)H(e)=X(jw),l< Y(e)如图7-33(c)所示。 由序列y转换为冲激串y,(),若y。()的频谱函数用Y,(2)表示，则 Y,(i)=Y(jw)-92x Y,()如图7-33(d)所示（图中换成为o)。 ,()再通过截止频率为产=2x×10,通带增益为T的低通滤波器，得到y。(0,易知 Y.(jw)=Y.(jw).H(jw).Y.(jw)
如图7-33(c)所示。 10 ×10 3×104xX10 (b) (c 2×10 0元×10 π×10 Ye(jw） 0X101 图7-33 7.30如图7-34所示系统由一个连续时间线性时不变系统接一个采样器，转换为一个序列，再后接一个离散 时间线性时不变系统。该连续时间线性时不变系统是因果的，且满足如下线性常系数微分方程： 0+%0=x,0输入x.()是一个单位冲激函数6()。 dr (a)确定Y。(t) (b)确定频率响应H(e)和单位脉冲响应h[n]使得有w[n]=[n]。 p0=.三，mD 图7-34 解：(a)因为连续LT1系统的输入输出方程为 ,e+.(0=xD 可得其系统函数为 H(s)=, 又因该系统是因果的，不难得其冲激响应为()=e'u(),当输入x,()=6(),不难得出 y(D=h(t)e'u(t)
(b)由于y是对y。(t)进行冲激串采样得到的序列，故 y[n]-y.(nT)=e-u[nT]-(e Tyu[n] 于是有 Y(e)-I-et.e 又由于W(e)=Y(e)·H(e),从而有 He)=W号 当u[n]=n]时，W(e)=1,于是得 He）=1-ere 且 h[n]=[n]-e-T8[n-1] 7.31如图7-35所示系统利用一个数字滤波器来处理连续时间信号，该数字滤波器是线性的，因果的且 满足如下差分方程： y川=n-川+x网 0→ 0=n三，-n0 图7-35 对于带限输入的信号，即X,(jm)=0,@l>π/T,图中的系统等效为一个连续时间LTI系统。确定从输入x ()到输出y。()的整个系统的等效频率响应H(w)。 解：为了区分数字频率和模拟频率，以下过程中用©表示模拟频率，用？表示数字频率。由于采样时间间 隔为T,而当如>时，X(jw)=0,所以xn的频谱函数为 X(e)=子x.0号)，In< 对于数字滤波器，由其输入输出方程可知其频率响应为 于是得y的频谱函数为 v-x(m nl<x 1-te n 且 X.(jo) )-Y ，lw< 因为经过的低通滤波器截止频率为T,所以有 . 1-2 ，lw< 从而得等价连续系统的频率响应为
品-宁- 7.32信号x的傅里叶变换X(e“)在(/4)≤1w1≤π时为零，另一信号侧-三-4的，试给 出一个低通滤波器的须率响应H(e“)使得当该滤波器的输入为g[n]时，输出等于xn。 解：令Pl时叶三m-l-4 eF6r2o-21号2en ceraRee0 argcfesn G(e")如图7-36所示 x(e) -2 0 2 图7-36 显然为了得到X(~),低通滤波器的截止频率为π，通带增益为4。即 4 4,1oK4 He" 0,14≤≤ 7.33傅里叶变换为x(e)的信号x具有如下性质： 2-色〉n 对于什么样的o值，可以保证X(e“)=0? 解令a2n-3明则 YeT若w sin z 个极止频率为胥通带增益为3的理想低通滤波器的脉冲响应为 3 3