图7-20 解：如图7-20所示的s()可以表示为s(D=g()-1,其中g()如图7-21所示，易知 o0w-立a-年·-7 kπ -三mc一学 于是 S(jw）=Gjw）-2x() =-三4n2/D(。-2停）-2o 图7-21 (a若d=于，则 w一空-到岁a 含 S(jm)如图7-22所示 sin n 一4 -28in 图7-22 又因为()=x()·s(),故 wGo）-云Xo）+50o） -去2到x学+等m 2 不及生发袋级品宝收了的X金新，移新a若模 a≤答-n,即n≤
从而得到在这种情况下的T的最大值T.一二 (b)若4=，则 一三气-学 气 S(w)如图7-23所示， 6/T -2T02/T47T】810x/T 图7.23 由图7-23可见，当k=0,士2，士4，.时，S(w)=0,这意味若w(w)中，两个相邻的 4n(管xw停) 相距4πT,因此若想不发生混叠，只有 wn-于≤经-，即u.≤ 从而得到在这种情况下的周期T的最大值 Ta- 7.25如图7-24所示是一个采样器紧跟着一个用于从样本x,()中恢复出x()的理想低通滤波器。根据 采样定理知道，若，=2wT大于x()中存在的最高频率的2倍，而且仙，=创，/2，那么重建信号x()就一定等 于x(),如果在x()的带宽上这个条件不满足，x()就一定不等于x()。本题要证明，如果m=m,2,那 么无论选什么T,X(t)和x(t)在采样瞬时总是相等的，即x,(kT一x(T.k一0士1，±2.为了得到这 一结果，将x(t)用x(t)的样本值表示成 由于w:=w,/2, 上式变为 w之an- (-nT) 只要考虑到[sin(a)]/a=0的a值，无须对x()进行任何限制，由式证明：对任意整数k,都有 x,(T)=x(kT)）
0=.三，-nD 图7-24 证明： X2网 当n时0 当=时 因此x:kT厂xkD成立 7.26采样定理表明， 一个信号必须以大于它的2倍带宽的采样率来采样（或者等效为大于它的最高频率的 2倍)，这就意味着，如果有一个信号x()的频谱如图7-25(a)所示，那么就必须用大于20：的采样率对x(t) 进行采样。然而，因为这个信号的大部分能量是集中在一个窄带范围内的，因此似乎有理由期望能用一个低于2 倍最高频率的采样率来采样。能量集中于某一频带范围内的信号往往称为带通信号(bandoasssitmal)。有各种办 法来对这样的信号进行采样，一般统称为带诵采样(bandass samoline)技术。 为了研究有可能存一个小于总带宽的采样率下对一个带通信号进行采样，考虑如图7-25所示的系统。假定 仙，>仙-求能有x,(t)=x(t)的最大T值，以及常数A,@,和@，的值。 图7-25
解：p00y2要6(o-2xm 因为x4tx(Op(O XGF1{xG)*Go)》 o-m 2T ↑介介介介w -43/T -2T 0 23T 4x/T -八ΛA八△， 00!d22aT-u2 ”1N☑N1”一w -21T 0 23/T-0:23T 图7-26 当T增加时，兰-“趋于0。 当2wr0受-“01时，有混叠现象。 如果2心1-心≥0则当0≤兰-“20-：没有混叠。 最大的T为号-，此时w2为0，故T2m/o, 作出此时的图像，可得A-工，。2 T,and。一 7.27在习题7.26中讨论了带通采样和恢复的一种方法。当x()为实信号时可用另一种方法，这种方法先 将x(t)乘以一个复指数，然后再对乘积采样。采样系统如图7-27(a)所示。由于x()为实函数，且X(jw) 仅在，<1.1<a时为非零，频率6选为=（12)(，+,低通滤被器H(0)的截止频率为 (1/2)(w-m,）。 (a)若X(jo)如图7-27(b)所示，画出X,(jm)。 (b)确定最大的采样周期T,以使可以从X(t)中恢复x(t)。 (c)确定一个从x(t)中恢复x(t)的系统。 (a) b 图7-27
解：（a)令X,)=X()er,6“)表示X)的傅里叶变换。0是低通滤波器的输出，xG“)表 示X,)的傅立叶变X(jw)'X,jw)和X,w)如图7-28所示· -01 0 一01n0o,-02 2厅 2*T 图7-28 (b)x2(的奈奎斯特率为2X(2一2=2一“1，因此采样周期T至少为2（2一）以使能从 X(t)中恢复x(t) (c)从(t)中恢复x(t)的系统如图7-29所示。 0一2m6)一个x 图7-29 7.28如图7-30所示的系统将一个连续时间信号转换为一个离散时间信号。输入x(1)是周期的，周期为 Q1X0份传里时级数系数是a,一 -∞<k<+。低通滤波器H(W)的频率响应如图7-30(b) 所示，采样周期T=5×10。 (a)证明xn是一个周期序列，并确定它的周期。 (b)确定x的傅里叶级数系数。 中教 0=，-nD a 图7-30 解：(a)因为x(t)的周期T=0.1s,故其基频=20xrad/s 则其傅里叶变换为 X=∑2a-20a 其中