要使对Y(e)中的x()的采样相互不会混叠，则x(e")=0,则有n3≤ω≤元 7.34一个实值离散时间信号x,其傅里叶变换X(e)在3/14≤1≤时为零，可首先利用增采样L 倍，然而再减采样M倍的办法将X()的非零部分占满到ω|<π的区域，试求L和M的值。 解：要使x(。)的非零部分占满到ω|<π的区域，可必须减采祥143倍.又因为信号不能直接诚采样一个 非整数倍，因此需要先增采样3信，再减采样4×314倍。即L=3,M=14 3 7.35考虑一个离散时间序列x,由形成两个新序列x和,其中x相应于以采样周期为2 对x灯nl采样而得，而xn则以2对xnl进行抽取而得，即 x,l={ xnl.n=0,±2，±4，. n=±1，±3. 且x网=x2n川 (a)若x如图7-37(a)所示，画出序列x,[n]和x[n]。 (b)若X(e如图7-37(b)所示，画出X,(e“)和X,(e"。 (a) (b) 图7-37 解：(a)序列x,[n]和a[n]如图7-38(a)所示 (b)序列x,[n]和[n]如图7-38(b)所示 -山wL 0 (a) IX()-xem 十十十十 -2 图7-38 深入题
7.36设x()为一带限信号，X(j@)=0,1w1≥T。 （a若x0用采程周用T对其采样，试确定一个内插适数g.使得有。-之一n 一 (b)函数g(t)是唯一的吗？ 解：(a)设x(t)的导数为x(),则 x,)=∑xnT)6t-nT) 因为x《)的奈奎斯特频率为2π/T,所以可以从x()中恢复信号。从72小节知 x()=x,()*h() 其中h0=sin(a/T 所细-9 设0为80.则 9-0a0-立anst-n 因此 8()=h()cos Isin(/ d t 2 (b)不是唯一的。 7.37只要平均采样密度为每秒2(W2π)个样本，那么一个带限于o<W的信号就能够从非均匀间隔的样 本中得到恢复。本题说明一个特殊的非均匀采样的例子。假设在图7-39()中： (1)X(t)是带限的，X(jw)=0,Ial>W。 (2)P()县一个非均匀间隔的周期冲激串，如图7-39(b)所示。 (3)f()是一个周期性波形，其周期T=2/W,由于「()与一个冲激串相乘，因而只在1=0和=△ 时的值f(0)=a和f(△)=b才有意义。 b 帝（帝+4 图7-39
0从(1o)是-个9w的相器，即)={仁8≥8 (5)H2(jω)是一个理想低通滤波器，即 |K,0<ω<w H2(jw)= -W<w<0 0,w>w 其中K是一个常数（可能是复数） (a)求P(t),Y(t),Y2()和Y()的傅里叶变换。 (b)给出作为△的函数的a,b和K值，以使对任何带限信号x(t)和任何△，0<△</W,都有x(t) =x()。 解：(a)p()可以写成 p()p1()+p1(t△) 其中 p0=26-2减1m 因此 p(ja)=(1+e-)p(j@) 其中 p.(jw)-w6(-kW) g(t)=p(t)f(t)=p,(t)f(t)+p(t-A)f(t) g)=ag,U0)+bp,t-△) 因此 G(j@)=(a+be-p (j@) 其中pU@)在式(s7.37-1)中一指定。因此 G(jo)=wEla+be-A-5(@-kw) 又 片()=x()p)f0) 所以 Y.(jw)-G(ja)xol 因此 Uo)=2z∑+bemU@-kw 当0<w<W时，有 Y(jo)-a+b)x(jo)+(a+beA(-W] 因为yUm)=Um)H,U),当0<w<W时，有
Y.(jo)a+bo)+(a+be 因为y3()=x()p(),当0<o<W时，有 Uo-Uo+0+eUe-wm (b)给定0<W△<r,需要￥)+Uo)=kaUo)(0<u<W),即 票a++Uo2a+e产Uo-mlm 故 1+e-sar ja+jbe-Jwr =0 根据上式方程得 A=l,b=-1 当W△=12时，可得 a=sin(W△)tl+cos(W△》 tan(WA) b=-1+cos(0%） sin(WA) k-2证2+加+】 7.38往往需要在示波器的屏幕上显示出具有极短时间的一些波形部分（例如，千分之几毫微秒量级），由 于最快的示波器的上升时间也比这个时间长，因此这种波形无法直接显示。然而，如果这个波形是周期的，那么 可以采用一种称为取样示波器的仪器来间接地得到所需的结果。 内，采样依次推迟。增量△应该是根据x()的带宽而适当选择的 个合适的低通内插滤波器，那么输出Y(t)将正比于减慢了的，或者在时间上被展宽了的原始快变化波形，即Y (t)正比于x(t),其中a<1。 若x()=A+Bcos[(2/T)t+],试求出△的取值范围，使得图7-40(b)中的y(t)正比于x(t),a <:同时，用T和△确定a的值 (a) 对 p=三dmT+4川 2T+5 图7-40
解：X(w),P(w)和Y(w)的傅里叶变换如图7-41所示 2Td个P 2/T 6 2//T -2/(T+A)\2RA/T(T+A) 图7-41 明显不能得到△=0，从图7-41可以得到 2 T(T+A)2 (T+A) 所以 从图741还可以得到 4=- 4 (T+A) 7.39信号X,()是对一个频率等于采样频率，一半的正弦信号x()进行冲激串采样得到的，即 0-m信+o且-三.n0-n种7=2a a求-个g0.使相有0=cow@)cos侣）产g0 (b)证明gnT)=0,n=0,±1，±2，. (©)利用前两部分的结果证明：若x(t)作为输入加到截止频率为@，2的理想低通滤波器上，则其输出为 0)=c0s)cos(学1） 解：(a)因为 cos(号1+)=cos(学0cos(-sin(学I)sin( 所以 g(r)=sin()sin() (b)用2T替换@，NT替换t,则 gaT)=-sin(牙n)sin() =-sin(nz)sin() 上式右边在n=0,±1，士2.时为0. (c)根据(a)和(b)可得 x,0=∑xnn6-nm=∑6t-nT)cos(号nm)cos(+gnD =∑6t-nT)cos(nT)cos(例 当信号通过一个低通滤波器，滤除高频部分，最终输出为