- 图7-4 (b)若x(t)通过一截止频率==5π通带增益为T=0.2的理想低通滤波器，由图74易知，输出信 号g()的频谱函数为 GGo）=2(侵广·j[m+km)-6w-x] 从而可知g()的傅里叶级数表达式为 &W-含名snan 7.9考虑信号x(0为0=(0，现想用采样频率仙，=150π，对x()进行采样，以得到一个信号 g(),其傅里叶变换为G(jo)。为确保G(jw)=75xju.k@l≤ 求@的最大值，其中x(和为x(t)的傅里叶变换： 解：因为n502八，1o1<30 10,lool>50x 故有 W=(a50y二Xo）=100x-1m,1o1<100x 即x()的最大角频率0，=100元 又因 c0o）=子之X0o-o小武中， 六=会=15g=75,=150 G(jaw)=75∑X(Gw-ju,)） 即有 G(j)=75∑x(j-@，) 显然，由于=150r<2=200r频谱发生混叠，为了保证当≤时，G(j)=75X(知)，咖最大只能等 于w,-h=150x-100x=50r。 (b)只要采样周期T<,傅里叶变换为X(j@)=u(u+）-(u-)的信号X()的冲激串采样就不 会有混叠。 (c)只要采样周期T<2/w,傅里叶变换为X(jw)=u(w)-u(w-)的信号x(t)的冲激串采样就不会有 混叠。 答：(a)因为信号x(t)=u(+T)一u(t-T)的须谱函数为X(o)=2T,sin(mT)=二sin(uT),即z()不 是带限信号，所以无论采样频率多高，采样 的时间间隔多么小，采样必然会导致频谱的混叠。这个论断是错误的
(b)因为z(￡)的频谱函数为X(ja)=u(w十)一u(w一)说明x(t)是带限的，且最高须率为 那么根据采样定理知，只要采样频率。>2，即采样时间间隔T<一就可以保证无混叠发生。这个论断是正 确的。 (c)设对x(t)进行冲激串采样得到信号x(),易知 X(jw）=于∑X(jw-jw,) 现已知X(jw)=u(u)一u(w一n),如图7-5所示。若采样时间间隔=红，那么心一。此时X(jw>如 图76所示，可见并无混叠发生。那么，当T<时，就更不会出现混叠了。所以此论断是正确的。 (jw) 图7-5 图7-6 7.11设x,()是一连续时间信号，它的傅里叶变换具有如下特点： X.(jw)=0,1u1≥2000元 某一离散时间信号经由xm=x(n(0.5×103》而得到。试对下列每一个有关：[n的傅里叶变换 X,(e)所给限制，确定在（加）上的相应限制： (a)X,(e)为实函数 (b)对所有0，X,(e“)的最大值是1 (c)X,(e")=0,∈lul≤元 (d)X(e)=X(ei-) 解：将连续时间信号进行离散化处理 X,e)=∑xw-2rh (a)要让X,(e)为实函数，则r,(jm)为实函数 (b)对所有o,X(e“)的最大值是1 MaxIX,(e)MaxIX.(jw)I 故MarK.Gw=T,MaxlX,(e)l=0.5×10 (e)X.Gm)=X,(em)又X(e)=0,3≤al≤元，故 普s5 1500r≤w≤2000a 此时应满足 X(jo)=0 又由题目可知X.(jw)=0, 1w1≥2000元 综上所述：X.Gw)=0,w21500x(d)
X,(e)=X,(ew-) X.Gw)=X.(dw-π=X.G0w-2000x》 7.12有一离散时间信号x4[n],其傅里叶变换x,()具有如下性质： X(em)=O】 3/4≤1w|∈π 现该信号被转换为一连续时间信号为 π(t-nT) 其中T=I03。确定xe()的傅里叶变换x(m)保证为零的。值. 解：由连续时间信号与离散时间处理知：连续时间信号2和离散时间信号频率w的关系为：2=Tw 所以当连时信号为。一子离时信号的为 w=兰-×100=750 713参照如图7-7所示的滤波方法，假定所用的采样周期为T,输入X()为带限，而有 图7-7 若整个系统具有y.(t)=x,(t-2T),试求图7-7中离散时间滤波器的单位脉冲响应h]。 解：令，作血四，则 y.x.(t-2 )si[(/TX-2T别 -2T) 由x()可得对应的离散时间信号序列x() xaa时x。aTy可 同理可由y()可得对应的离散时间信号序列ya(n) y,时y.aD=a 由上式可得当=2时，等式右边恒为0，当≠2时，利用洛比达法则可得上式的极限为故 ya时可n-2] 所以此滤波器的脉冲响应为： hu时n-2 714假定在上愚中有X0=品(-)重做习题713
解：令，山，则总输出 字.am-2 和-分 π(t-T/2) 由x(t)可得离散时间序列x(n) x时x,aT可 同理可由y(t)可得离散时间序列ya(n) Y,Inl=y.(nT)-(/T)cos(r(n-V/2)_sin[x(n-V2)] πTn-1/2) πT2(n-1/2) cos(π(n-1/2)=0恒成立，故 YIn]=y.(nT)=-sin[z(n-1/2)] T2(n-1/2) 所以此滤波器的脉冲响应为： htn]=-sin[z(a-V2) πT(n-1/2)2 7.15对x[n]进行琳冲串采样，得到l-三n-w若X(e)=0,37≤1al≤元，试确定当采 样x[n]时保证不发生混叠的最大采样间隔N。 解： 要求，>×2=6即>6 N<号取N2 7.16关于x[n]及其傅里叶变换X(e")给出下列条件： (1)x[n]为实序列 (2)X(e")≠0,0<u<π (3)x[n]∑n-2k]=8n] 求x[n]。解题时注意到：（mY(n)满足其中的两个条件是有用的。 解：（nn/(xn)满足第一个和第二个两个条件，但是不满足第三个条件 因为此信号的傅里叶变换Xd)是矩形波，当2K2时，傅里叶变换为0：x4sin(In/2(n 符合前两个条件，X。")在0≤o≤时是一个矩形，显然满足第三个条件。综上所求的x[]为
n=4血2 717考虑理想离散时间带阻滤波器，其单位脉冲响应为[】，频率响应在-π≤仙≤π条件下为 He)=&子，a≥导，求单位脉冲响应为N2的滤波器的频率响应。 解：抽样分两步进行，第一步进行脉冲抽样，得到： 4o225a-2 由hnh2n上h-2n可得抽样频率。 hpn】的傅里叶变换为： He“=In)He"(1H(ex 图7-8 Hi(e)He) 即H是H,扩展2倍得到的，图像如图7-9所示。 Hp(e) Hi(e) 40动44。→ 202 图7.9 故2m理想低通滤波器，裁止频率为2，通带增益为1 7.18假设截止频率为π2的一个理想离散时间低通滤波器的单位脉冲响应是用于内插的，以得到一个2 倍的增采样序列，求对应于这个增采祥样单位脉冲响应的频率响应。 图7-10 解：两倍的内插会导致频率响应被压缩两倍，内插的脉冲响应相当于一个截止频率为4，通带增益为2的 理想低通滤波器 7.19考虑如图7-11所示的系统，输入为x[,输出为y[。零值插入系统在每一序列xm值之间插入两个 爹值点，抽取系统定义为y川=0[5川】其中WM回是抽取系统的输入序列。若输入为n-如”试 确定下列，值时的输出yn: