X(e) 2 000 2 (e) 图7-15利用理想低通滤波器从样本中完全恢复一个离散时间信号。 (a)一个带限信号采样并从样本中恢复的方框图： (b)信号x[n]的频谱： (c),[]的频谱 ()截止频率为，2的理想低通滤波器的频率响应： (e)重建信号刷的频谱 (4)该低通滤波器的单位脉冲响应 重建的序列x,[n]就是 x[n川=x[m*hn 或者等效地写成 上式代表一种理想的带限内插，从而要求实现一个理想低通滤波器。 在一般应用中，往往使用一个适当近似的低通滤波器，这时等效的内插公式为闪=芝Wh,n一 其中h,[n]就是内插滤波器的单位脉冲响应。 2.离散时间抽取与内插 (1)离散时间抽取 ①采样序列x,[n]:用已采样序列，[n]中的每隔N点上的序列值构成的，即 或因为x,[n]和x[]在N的整数倍上都是相等的，可等效为 xh[川=xnN ②X,(c)和（的关系 e-2 或利用)=xpln灯，有 xe-三e 令n=kW或者k=/N,且因为当n不为N的整数倍时，x,[n]=O,所以 Xi(ei)= 芝me 于是x,[n]的傅里叶变换为 gns=e 所以二者的关系为
Xp(ejo)=X (ejalN) 已采样序列x,[n]和抽取序列x4[n的频谱差别只体现在频率尺度上或归一化上。如果原来的频谱X(e") 被适当地带限，以至于在X,(~)中不存在混叠，抽取的效果就是将原来序列的频诺扩展到一个较宽的频带部分。 ③x,[n]和抽取序列x[n]之间的关系： a.如果这个原始序列x[]经由连续时间信号采样而得到，那么抽取过程就可以看成在连续时间信号上将 采样率减小为原来的N的结果。 b.为了避免在抽取过程中产生混叠，原序列x[]的X(e)就不能占满整个频带。即，如果序列能够被抽 取而又不引入混叠，那么原来的连续时间信号是被过采样了的，从而原采样率可以减小而不会发生混叠。因此， 抽取的过程往往就称为减采样。 (2)内插（或增采样） 内插（或增采样）是把一个序列转换到一个较高的等效采样率上的过程，基本上就是抽取或减采样的逆过程。 由x]可形成序列xnl,这只需要在xm的每一个序列值之间插入(N一1)个幅度为零的序列值即可。然 后就可以利用低通滤波从x中得到这个已被内插了的序列x]。 7,2课后习题详解 基本题 7.1已知实值信号x(t),当采样频率仙，=10000π时，x(t)能用它的样本值唯一确定。问r(jm)在什么o 值下保证为爹？ 解：对于x(因其为实函数，故X)是偶函数。由题意及采样定理知x(:)的最大角频率 wn≤号=5000xrad/s即当w≥5000rrad/s时，X(jw=0。 72连续时间信号x①从一个止频率为，=1000π的理想低通滤波器的输出得到，如果对xD完成 冲激串采样，那么下列采样周期中的哪一些可能保证x()在利用一个合适的低通滤波器后能从它的样本中得至 恢复？ (a)T=0.5×10-3 (b)T=2×10 (c)T=104 解：因为x(t)是某个截止须率w.一1000xad/s的理想低通滤波器的输出信号，所以x(t)的最大频率就 为。=1000m,由采样定理知，若对其进行冲激采样且欲由其采样点恢复出x(),需采样频率 ，≥2m=2000rad/s即采样时间间隔≤20元s=10’s从而有(a)和(e)两种采样时间间隔均能保 证x()由其采样点恢复，而(b)不能。 7.3在采样定理中，采样频率必须要超过的那个频幸称为奈奎斯特率。试确定下列各信号的奈奎斯特率： (a)x(t)=1+cos(2000rt)+sin(4000πt) (b)x()）=sim(40002 (o)x0)=(n(400m2 πt
解：(a)x(t)的频谱函数为 X(jw)=2r6(aw)+rd(u+2000π)+πd(w-2000x) +jrd(w+4000x)-jπd(a-4000x》 由此可见 X(jw)=0,w>4000π。 故奈奎斯特频率为 w=2×4000x=8000rrad/s (b)x(t)的频谱函数为r(ju)=u(w十4000π)一u(w一4000π)，由此可见 X(jw)=0,wl>4000r。 故奈奎斯特频率为 w-2×4000r=8000πrad/s (c)x()的频谱函数为 X)=2云u(w+4000m)-u(w-400x] ￥[u(w十4000π)-u(w-4000π)]} +00.600 其他 由此可见，当w>8000x时，X(m)=0。 故奈奎斯特频率为w=2×8000x=16000πrad/s 7.4设x()是一个奈奎斯特率为的信号，试确定下列各信号的奈奎斯特率： (a)x(t)+x(t-1) o把 (e)2( (d)x(1)coswpt 解：(a)因为x()十x(:-1)的傅里叶变换为X(m)(1+e)可见x(t)的最大频率也是x(t)十x(t一1)的最 大频率，故x()+x(1一1)的奈奎斯特频率为。 (b)因为r”的傅里叶变换为jmX(m)可见x（)的最大频率也是的最大频率，故巴的奈奎斯特 须率仍为w0。 (c)因为知(t)的傅里叶变换蔓云X(jm)*X(jm)河见x(t)的最大频率是x()的2倍。从而知x2()的 奈奎斯特频率为2w0 (d)因为r(t)cost的傅里叶变换为2X(Gw+jm)+号X(ja-),x()的最大频率为觉，故r(t)owt的 最大频率为受，从而可推知其奈奎斯特频率为。 7.5设x(t)是一个奈奎斯特率为的信号，同时设y()=x()p1一1)其中 p0=∑8-mT. T<2 。当某一滤波器以Y()为输入，x()为输出时，试给出该滤波器频率响 应的模和相位特性上的限制。 解：p(D是一冲微申，间附<二对x(D用p(1)进行冲激采样。先分别求出P()和P()的频
谱函数： pw=∑a1-n)一牙∑w-u）,w=9>n 且p4-D+一2经∑(w-u.)e”=2经∑e(a-kw,) 又因y(t)=x()p(t-1),故 y(w）=2去Xo）.∑ew-km) =青∑eXw-j,m>w 注意以是x()的奈奎斯特频率，这意味着x()的最大频率为一，当以p(1)对x()进行采样时， 频谱无混叠发生。由Y(j加)的表达式可见，Y(jo)是x(o)平移且复指数函数加权之后的叠加，且此采 样使r(m冲的每个(m的复制项X(一j)均有不同的相移一，)若想输入y(t),而输出为x(),滤波 器的截止频率心应选择在2至，一三之间。因当k=0时，=1故滤波器的幅度须谱只需设置为常数T,相 他美瑞为0即可，即装浅器的氨半有应对)一仁：共伦 式中<<，一-. 7.6在如图7-1所示系统中，有两个时间函数x1()和x2(t)相乘，其乘积W(t)由一冲激串采样，x1 (0)带限于@，X()带限于，即X(j0)=0≥w1X2(ju)=0,kw≥w2 试求最大的采样间隔T,以使W()通过某一理想低通滤波器能从，()中恢复出来， w(t) X (jo) X(io) 00w 图7-1 解：因w()=工1()·：()从而有W(o)=东X()*%0),又因 X,(jw)=0,wl≥1，X,(jm)=0,1w≥ w(Gjw)=0,lul≥u十w 即w()的最大角频率为十于是由采样定理知，对w()采样的最小角频率(，十)从而可求得 最大采样时间间隔T=千om千 7.7信号x(t)用采样周期T经过一个零阶保持的处理产生一个信号x(t),设x1(t)是在x(t)的样本 上经过一阶保持处理的结果，即 0=之Th-nn 其中，()是如图7-2所示的函数。试给出一个滤波器的频率响应，当输入为x和()时，该滤波器产生的
输出为x1(), h() 图7-2 解 X()=X(jwH。j X,(jw=X(jwH(jw) H()=X (n)H() Xo(jw)Ho(jw) 8sin(w) w2.2f e*%2" _2sim"72。*% 7.8有一实值且为奇函数的周期信号x(t),它的傅里叶级数表示为 0含僩an 令(t)代表用采样周期T=02的周期冲激串对x()进行采样的结果。 (a)混叠会发生吗？ (b)若元(t)通过一个截止频率为πT和通带增益为T的理想低通滤波器，求输出信号g()的傅里叶级数 表示 解由题意知x0的博里时级数为x0一会（分）广血。 故x()的频谱函数为 XGw）=∑（合）广jx[au+kx）-iu-kx] X(jm)如图7-3所示，可见x()的最大角频率出=5灯 (j) 23x45 -543 2x-元0 x 图7-3 当采样时间间隔T=02时，采样角频率w,=10π=2m造成x(t的频谱函数X(jw>如图7-4所示 X(jw)在w 二5kπ处由于出现混叠，相互抵消(j)=0,u=5kπ，k=01,2,.由图7-4可知，当T =0.2时，采样会造成频谱出现混叠