n(1+一) 场强方向沿x轴正向 (2)为了便于观察,将薄板旋转建立坐标系.仍然在平面薄板上取一宽度为d/的带 电直线,电荷的线密度仍然为 带电直线在Q点产生的场强为 dλ gd/ dE 2TE0/ 2IEo(+/)2 沿z轴方向的分量为 g cos ed/ de =decode 2πE0(a2+) 设/= dtnb,则d/= discos2B,因此 de = decode= 2 积分得 arctan(6/2d) E.= 46/20 2rs de =arctan( 场强方向沿z轴正向. [讨论](1)薄板单位长度上电荷为 ①式的场强可化为 λin(1+b/a) b 当b→0时,薄板就变成一根直线,应用罗必塔法则或泰勒展开式,场强公式变为 E 这正是带电直线的场强公式 (2)②也可以化为 E=- arctan (6/2d) 2πE。db/2d 当b→0时,薄板就变成一根直线,应用罗必塔法则或泰勒展开式,场强公式变为 E:→2r0d 这也是带电直线的场强公式
6 ． ① 0 ln(1 ) 2π b a 场强方向沿 x 轴正向． （2）为了便于观察，将薄板旋转建立坐标系．仍然在平面薄板上取一宽度为 dl 的带 电直线，电荷的线密度仍然为 dλ = σdl， 带电直线在 Q 点产生的场强为 2 2 1/ 2 ， 0 0 d d d 2π 2π ( ) l E r d l 沿 z 轴方向的分量为 2 2 1/ 2 ， 0 cos d d d cos 2π ( ) z l E E d l 设 l = dtanθ，则 dl = ddθ/cos 2θ，因此 ， 0 d d cos d 2π E E z 积分得 ． ② arctan( / 2 ) arctan( / 2 ) 0 d 2π b d z b d E 0 arctan( ) π 2 b d 场强方向沿 z 轴正向． [讨论]（1）薄板单位长度上电荷为 λ = σb， ①式的场强可化为 ， 0 ln(1 / ) 2π / b a E a b a 当 b→0 时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为 ， ③ 0 2π E a 这正是带电直线的场强公式． （2）②也可以化为 ， 0 arctan( / 2 ) 2π / 2 z b d E d b d 当 b→0 时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为 ， 0 2π Ez d 这也是带电直线的场强公式． Q b O d z dx x y r dE θ
当b→∞时,可得 2 这是无限大带电平面所产生的场强公式 12.8(1)点电荷q位于一个边长为a的立方体中心,试求在该点电荷电场中穿过立 方体一面的电通量是多少? (2)如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上,这时通过立方体各面的电通量是 多少? [解答]点电荷产生的电通量为 (1)当点电荷放在中心时,电通量要穿过6个面,通过每一面的电通量为 中1 (2)当点电荷放在一个顶角时,电通量要穿过8个卦限,立方体的3个面在一个卦限 中,通过每个面的电通量为 中1=中24=24 立方体的另外3个面的法向与电力线垂直,通过每个面的电通量为零 12.9面电荷密度为o的均匀无限大带电平板,以平板上的一点O为中心,R为半径作 半球面,如图所示.求通过此半球面的电通量 [解答]设想在平板下面补一个半球面,与上面的半球面合成一个球面.球面内包含的 电荷为 通过球面的电通量为 中=yla0, 通过半球面的电通量为 图129 中=中2=πRa20 10两无限长同轴圆柱面,半径分别为R1和R2(R1>R2),带有等量异号电荷,单位 长度的电量为厢和-,求(1)厂<R;(2)R1<r<R;(3)r>R处各点的场强 解答]由于电荷分布具有轴对称性,所以电场分布也具有轴对称性 (1)在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面,由于高斯内没有电荷,所以 E=0,(r<R1) (2)在两个圆柱之间做一长度为l,半径为r的同轴圆柱形高斯面,高斯 面内包含的电荷为g=,穿过高斯面的电通量为 Φ=NEds=EdS=E2n/, 根据高斯定理中=a,所以 E 1<< R2) (3)在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面,由于高斯内电荷的代数和为零,所以 0,(r>R2)
7 当 b→∞时，可得 ， ④ 0 2 Ez 这是无限大带电平面所产生的场强公式． 12．8 （1）点电荷 q 位于一个边长为 a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立 方体一面的电通量是多少？ （2）如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的电通量是 多少？ [解答]点电荷产生的电通量为 Φe = q/ε0． （1）当点电荷放在中心时，电通量要穿过 6 个面，通过每一面的电通量为 Φ1 = Φe/6 = q/6ε0． （2）当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过 8 个卦限，立方体的 3 个面在一个卦限 中，通过每个面的电通量为 Φ1 = Φe/24 = q/24ε0； 立方体的另外 3 个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零． 12．9 面电荷密度为σ的均匀无限大带电平板，以平板上的一点 O 为中心，R 为半径作 一半球面，如图所示．求通过此半球面的电通量． [解答]设想在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成一个球面．球面内包含的 电荷为 q = πR2σ， 通过球面的电通量为 Φe = q/ε0， 通过半球面的电通量为 Φ'e = Φe/2 = πR2σ/2ε0． 12．10 两无限长同轴圆柱面，半径分别为 R1和 R2(R1 > R2)，带有等量异号电荷，单位 长度的电量为λ和-λ，求（1）r < R1；（2） R1 < r < R2；（3）r > R2处各点的场强． [解答]由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性． （1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以 E = 0，（r < R1）． （2）在两个圆柱之间做一长度为 l，半径为 r 的同轴圆柱形高斯面，高斯 面内包含的电荷为 q = λl，穿过高斯面的电通量为 e d d 2π ， S S E S E rl E S E S Ñ 根据高斯定理Φe = q/ε0，所以 ， (R1 < r < R2)． 0 2π E r （3）在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以 E = 0，（r > R2）． R O 图12.9