当s=入4=-V5时， -5 -1 0 rank[sI-A B]=rank 0 -5 1 0 0 =4 0 0 -√5 -1 01 0 0 -5 5 -2 0 系统满足PBH秩判据的能控条件， 所以系统完全能控
16 当 5 s 4 时 ， 5 1 0 0 0 1 0 5 1 0 1 0 4 0 0 5 1 0 1 0 0 5 5 2 0 rank sI A B rank 系统满足PBH秩判据的能控条件， 所以系统完全能控
定理4-4[能控性PBH特征向量判据]线性连续定常系统 x=Ax+Bu 为元全能架g疾猪豹条斐他衢*箭任一待征应 的非零左特 向量不与B 对 入，(i=1,2,,n)，使同时满足 a"A=Aa,a"B=0 (4一39) 的特征向量a=0。 证明：见教材P120 能控性PBH特征向量判据主要用于理论分析
17 定理4-4[能控性PBH特征向量判据] 线性连续定常系统 x Ax Bu A B A （i i 1,2,, n） α A α T T i α B 0 T α 0 为完全能控的充分必要条件为，矩阵 的非零左特 的所有列相正交。也即 征 对 的任一特征值 ，使同时满足 ， 。 向量不与 （4—39） 的特征向量 证明：见教材P120 能控性PBH特征向量判据主要用于理论分析
定理4-5[能控性约当标准型判据]线性连续定常系 统 x=Ax+Bu 为完全能控的充分必要条件为 (1) 当矩阵A的特征值入1，入2，，入n为两两相异时， 系统通过线性非奇异变换得到的对角线标准形 衣= x+Bu (4一44) 式中，B不存在元素全为零的行
18 定理4-5[能控性约当标准型判据]线性连续定常系 统 x Ax Bu 为完全能控的充分必要条件为 A n , , , 1 2 1 2 x x Bu n B (1) 当矩阵 的特征值 不存在元素全为零的行。 为两两相异时， 系统通过线性非奇异变换得到的对角线标准形 式中， （4—44）
(2)当矩阵A的特征值是多重根的情况，通过非奇异 变换得到的约当标准型 元=AR+Bu (4-45) 式中 - J2 B= B (4-46) nxn) (nxp) J B, 对于矩阵A的有相同特征值的约当块的B的最后一 行所组成的矩阵，其行线性无关。 证明：见教材P121 约当标准型判据是一种相当直观的能控性判别方法
19 (2) 当矩阵 A 的特征值是多重根的情况，通过非奇异 变换得到的约当标准型 ˆ ˆ x ˆ Ax ˆ Bu 1 1 2 2 ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ J B J B A B J B n n n p l l （4—45） 式中 （4—46） 对于矩阵 的有相同特征值的约当块的 的最后一 行所组成的矩阵，其行线性无关。 A ˆ Bˆ 证明：见教材P121 约当标准型判据是一种相当直观的能控性判别方法
例4一5试判定下列系统的完全能控性 -7 2 (1)文 0 x+ 4 0 0 -2 11 (2) 9 尤 0 0 x+ 0 L -2
20 例4－5 试判定下列系统的完全能控性 7 0 0 2 0 5 0 4 0 0 2 1 x x u (1) (2) 0 1 0 9 0 0 0 0 0 0 2 1 x x u