上海交通大学：《现代控制理论（B类）》教学资源（PPT课件）第四章 线性控制系统的能控性和能观性

判定下列系统的完全能控性 -1 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 x= 0 0 0 x+ 1 1 L 0 -2 1 0 1 2 3 0 0 -2 1 0 1 0 0 0 -2 1 1

21 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 2 1 0 1 2 3 0 0 0 0 0 2 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 x x u                         判定下列系统的完全能控性

2、能控性指数 定义4-2 对完全能控线性连续定常系统 文=Ax+Bu,x(0)=x。,t≥0 定义系统的能控性指数为从，u是使下式成立的最 小整数 u min rank[B AB...AB]=n (4-57) 对单输入完全能控系统，有从=n。 对多输入系统，不妨设矩阵B为满秩。 U=[bb…b,AbAb,…Ab…Am-bA

22 2、能控性指数 定义4-2 对完全能控线性连续定常系统 定义系统的能控性指数为 ， 是使下式成立的最 小整数 （4—57） 0 x  Ax  Bu , x(0)  x , t  0   1 min{rank[B AB A B] n}        对单输入完全能控系统，有   n 。 对多输入系统，不妨设矩阵 B 为满秩。 1 1 1 1 2 1 2 1 2 [ ]    U  b b b Ab Ab  Ab A b A b  A b n n n p p p

将系统能控性矩阵满秩性的搜索结果重新排列为 b,Ab,…A4-b;b,Ab2,…A4-b2;…,bn,Abn,…Abp 这里显然有： u1+从2+…+从p=n 4-60) 则能控性指数μ满足 u=max{u1,从2，…Lp} (4-61) 且称{μ1，山2,4p}为系统的能控性指数集。 可推导出能控性指数的取值范围为 n/p≤u≤min(n,n-r+l) (4-63)

23 将系统能控性矩阵满秩性的搜索结果重新排列为 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 b , Ab , A b ;b , Ab , A b ; ,b , Ab , A b p p p p           1  2   p  n 这里显然有： （4-60） 则能控性指数 满足 （4—61） 且称 为系统的能控性指数集。  max{ , , }   1 2  p { , , } 1 2  p 可推导出能控性指数的取值范围为 n / p    min(n,n  r 1) （4—63）

定理4-6 [简化的能控性判据]线性连续定常系统 文=Ax+Bu,x(0)=x。,t≥0 若rankB=r,系统为完全能控的充分必要条件为 rankU=rank[B:AB:..A"-"B]=n( 464) 证明：见教材P125 简化的能控性判据能在能控性判别矩阵中计算较少 的列来判断系统的能控性，可减少计算量

24 定理4-6 [简化的能控性判据] 线性连续定常系统 若 ，系统为完全能控的充分必要条件为 （4—64） 0 x  Ax  Bu , x(0)  x , t  0 rankB  r 1 U [B AB A B] n r n r rank rank n        证明： 见教材P125 简化的能控性判据能在能控性判别矩阵中计算较少 的列来判断系统的能控性 ，可减少计算量

例4一6某卫星系统的状态空间描述如下，试判断系 统的完全能控性 0 0 0 3 2 1 文= x+ 0 0 0 y= 0 系统的能控性判别矩阵的维数为4×8 用定理4-6判定系统的能控性， 判别矩阵维数为4×6

25 例4－6 某卫星系统的状态空间描述如下，试判断系 统的完全能控性。 0 1 0 0 0 0 3 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 x x u y x                            系统的能控性判别矩阵的维数为 用定理4-6判定系统的能控性， 判别矩阵维数为 48 4  6