第章无限长单位脉冲响应(3)数字遮波器的设计方法 我们知道,任何实际可实现的滤波器都是稳定的,因此,其 系统函数H()的极点一定落在s的左半平面,所以左半平面的极 点一定属于Ha(s),则右半平面的极点必属于H(-s) 零点的分布则无此限制,只和滤波器的相位特征有关。如果 要求最小的相位延时特性,则H(S)应取左半平面零点。如果有特 殊要求,则按这种要求来考虑零点的分配;如无特殊要求,则可 将对称零点的任一半(应为共轭对)取为H()的零点。 最后,按照Hj)与Ha(s)的低频特性或高频特性的对比确定 出增益常数。由求出的H3(s)的零点、极点及增益常数,则可完全 系统函数H(s)o
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 我们知道，任何实际可实现的滤波器都是稳定的，因此, 其 系统函数Ha (s)的极点一定落在s的左半平面，所以左半平面的极 点一定属于Ha (s)，则右半平面的极点必属于Ha (-s)。 零点的分布则无此限制，只和滤波器的相位特征有关。如果 要求最小的相位延时特性，则Ha (s)应取左半平面零点。如果有特 殊要求，则按这种要求来考虑零点的分配；如无特殊要求，则可 将对称零点的任一半（应为共轭对）取为Ha (s)的零点。 最后, 按照Ha (jΩ)与Ｈa (s)的低频特性或高频特性的对比确定 出增益常数。由求出的Ha (s)的零点、极点及增益常数，则可完全 确定系统函数Ha (s)
第章无限长单位脉冲响应(3)数字遮波器的设计方法 532巴特沃思低通逼近 巴特沃思逼近又称最平幅度逼近。巴特沃思低通滤波器幅度 平方函数定义为 H2(八g2)F 1+(2/92)2N (5-8) 式中,N为正整数,代表滤波器的阶数。当9=0时,H(0)=1; g2=时,(=1/√2=0707,201gHj0)Hig)=3dB, 92为3dB截止频率。当g=9时,不管N为多少,所有的特性曲 线都通过一3dB点,或者说衰减为3dB
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 5.3.2 巴特沃思低通逼近 巴特沃思逼近又称最平幅度逼近。巴特沃思低通滤波器幅度 平方函数定义为 N c a H j 2 2 1 ( / ) 1 | ( ) | + = （5-8） 式中，N为正整数，代表滤波器的阶数。当Ω=0时，|Ha (j0)|=1； 当Ω=Ωc时，|Ha (jΩc )|=1/ =0.707，20lg|Ha (j0)/Ha (jΩc )|=3 dB， Ωc为3 dB截止频率。当Ω=Ωc时，不管N为多少，所有的特性曲 线都通过－3 dB点，或者说衰减为 3 dB。 2
第章无限长单位脉冲响应(3)数字遮波器的设计方法 巴特沃思低通滤波器在通带内有最大平坦的幅度特性,即N 阶巴特沃思低通滤波器在=0处幅度平方函数Hj9的前(2N-1) 阶导数为零,因而巴特沃思滤波器又称为最平幅度特性滤波器。 随着Ω由0增大,HjΩ)单调减小,N越大,通带内特性越平坦, 过渡带越窄。当g=gs,即频率为阻带截止频率时,衰减为A 20gHaj2),A为阻带最小衰减。对确定的A,N越大,距9。 越近,即过渡带越窄 巴特沃思低通滤波器的幅度特性如图5-5所示
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 巴特沃思低通滤波器在通带内有最大平坦的幅度特性，即N 阶巴特沃思低通滤波器在Ω＝0处幅度平方函数|Ha (jΩ)|2的前(2N-1) 阶导数为零，因而巴特沃思滤波器又称为最平幅度特性滤波器。 随着Ω由0增大，|Ha (jΩ)|2单调减小，N越大，通带内特性越平坦， 过渡带越窄。当Ω＝Ωst，即频率为阻带截止频率时，衰减为As =- 20lg|Ha (jΩs )|, As为阻带最小衰减。对确定的As , N越大，Ωs距Ωc 越近，即过渡带越窄。 巴特沃思低通滤波器的幅度特性如图5-5所示
第章无限长单位脉冲响应(3)数字遮波器的设计方法 H2(j9 N=2 N=4 N=8 5-5
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 N＝ 2 N＝ 4 N＝ 8 ( j ) Ha Ω 1 2 1 o c 5-5
第章无限长单位脉冲响应(3)数字遮波器的设计方法 在幅度平方函数式(5-8)中,代入g=sj,可得 H,(SHGS) 所以,巴特沃思滤波器的零点全部在s=∞处,在有限S平面内只有 极点,因而属于所谓“全极点型”滤波器。H()H(s)的极点为 Sk=(-1)2(82)=92e122 k=1.2..2N 由此看出,H(3)H3()的2N个极点等间隔分布在半径为92的圆 (称巴特沃思圆)上,极点间的角度间隔为π/Nrad。例如,N=3 及N=4时,H(S)H()的极点分布分别如图56(a)和(b)所示
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 在幅度平方函数式（5-8）中，代入Ω=s/j, 可得 N c a a j s H s H s 2 1 1 ( ) ( ) + − = 所以，巴特沃思滤波器的零点全部在s=∞处，在有限S平面内只有 极点，因而属于所谓“全极点型”滤波器。Ha (s)Ha (-s)的极点为 − + = − = N k j c c N k s j e 2 2 1 2 1 2 1 ( 1) ( ) k=1, 2, …, 2N 由此看出，Ha (s)Ha (-s)的2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆 （称巴特沃思圆）上，极点间的角度间隔为π/N rad。例如，N＝3 及N＝4时，Ha (s)Ha (-s)的极点分布分别如图5-6（a）和(b)所示