例3计算由曲线y2=2x和直线y=x-4所围 成的图形的面积 解两曲线的交点 少=x-4 y2=2x J =x →(2,-2),(8,4) 选y为积分变量y∈|-2,4 d4=y+4 a=dA=18 2
例 3 计算由曲线y 2x 2 = 和直线y = x − 4所围 成的图形的面积. 解 两曲线的交点 (2,−2), (8,4). = − = 4 2 2 y x y x 选 y 为积分变量 y[−2, 4] dy y dA y = + − 2 4 2 18. 4 2 = = − A dA y 2x 2 = y = x − 4
如果曲边梯形的曲边为参数方程=p(1) y=y(t) 曲边梯形的面积A=v()g(lt (其中1和t2对应曲线起点与终点的参数值) 在t1f21(或241)上x=p()具有连续导数, y=v()连续
如果曲边梯形的曲边为参数方程 = = ( ) ( ) y t x t 曲边梯形的面积 ( ) ( ) . 2 1 = t t A t t dt （其中 1 t 和 2 t 对应曲线起点与终点的参数值） 在[ 1 t , 2 t ]（或[ 2 t , 1 t ]）上x = (t)具有连续导数， y = (t)连续
x v2 例4求椭圆亠,+,=1的面积 x= a cos t 解椭圆的参数方程 y=bint 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积 A=4ydx=4 bsin td(a t) 0 =4ab2sin2tlt=πb
例 4 求椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 的面积. 解 椭圆的参数方程 = = y b t x a t sin cos 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． = a A ydx 0 4 = 0 2 4 bsin td(acost) ab tdt = 2 0 2 4 sin = ab
极坐标系情形 6+d6 设由曲线r=q(⊙)及射线 0=a、θ=B围成一曲边扇 6=B r=p(6) de 形,求其面积.这里,q(6) 在a,B上连续,且()≥0 面积元素d4=o(6) 0= B 曲边扇形的面积A=q(0) de
设由曲线r = ( )及射线 = 、 = 围成一曲边扇 形，求其面积．这里，( ) 在[, ]上连续，且( ) 0． o x = d = + d 面积元素 dA d 2 [ ( )] 2 1 = 曲边扇形的面积 [ ( )] . 2 1 2 A d = 二、极坐标系情形 r = ( )
例5求双纽线p2=2c020所围平面图形 的面积 解由对称性知总面积=4倍第 象限部分面积 A=4A1 a cos 20d8=a p=a cos 26
例 5 求双纽线 cos 2 2 2 = a 所围平面图形 的面积. 解 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积 A = 4A1 A a cos 2 d 2 1 4 4 0 2 = . 2 = a y = x cos 2 2 2 = a A1