《自动控制原理》第四章复域分析法-根轨迹法九、根轨迹走向：根之和与根之积K,I1(s-z)K.(s" +bs" +..+b.-$+b.m)(n>m)设Gs"+a,s"-+...+an--s+a(s- p.)其中, br =(-2)+(-2)+.+(-2m)=2(-2)bm =(-2)-22)..(-=m)= (-2)at =(-p:)+(-p:)+.+(-pm)= 2(-p.)a, = (-pl)(- p2).(- p.)= (- p,)则闭环系统的特征方程为：D(s)=s" +a,s"- +...+an-js+a, +K,(s" +b,sm- +bm-is+bm= s" +A,s"-I +.+ A.-$+A, =(s- s,)(s-$,)...(s-s.)= " (- , -$, -..)I ..(- s, - s,)...(-..)A, =(-s,)+(-s,)+..(-s,)=2(-s,)即A, = (-s.)(- s2)(-s)- (- s,)①当n-m≥2时，A,=ai，与K,无关，则开环极点之和等于闭环极点之和且为常数：之(-s)-(-p)=a)。因此，K,个时（或K,时)，若一部分闭环极点在s平=1tal面上向右移，则另一部分闭环极点必向左移；对于任一K，，闭环极点之和保持11
《自动控制原理》 第四章 复域分析法-根轨迹法 11 九、根轨迹走向：根之和与根之积 设 ( ) ( ) ( ) (n m) s a s a s a K s b s b s b s p K s z G n n n n m m m m n i i m j j k + + + + + + + + = − − = − − − − = = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 其中， ( ) = = − + − + + − = − m j m j b z z z z 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) = = − − − = − m j m m j b z z z z 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) = = − + − + + − = − n i a p p pm pi 1 1 1 2 ( )( ) ( ) ( ) = = − − − = − n i an p p pn pi 1 1 2 则闭环系统的特征方程为： ( ) ( ) m m m m n n n n D s = s + a s + + a s + a + K s + b s + b − s + b − − − 1 1 1 1 1 1 1 n n n n = s + A s + + A − s + A − 1 1 1 ( )( ) ( ) n = s − s s − s s − s 1 2 ( ) ( )( ) ( ) n n n n = s + − s − s − s s + + − s − s − s 1 2 −1 1 2 即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) = − − − = − = − + − + − = − = = n i n n i n i n i A s s s s A s s s s 1 1 2 1 1 1 2 ①当 n − m 2 时， A1 = a1 ，与 K1 无关，则开环极点之和等于闭环极点之和且为 常数： ( ) ( ) 1 1 1 s p a n i i n i − i = − = = = 。因此， K1 时（或 K1 时），若一部分闭环极点在 s 平 面上向右移，则另一部分闭环极点必向左移；对于任一 K1 ，闭环极点之和保持
《自动控制原理》第四章复域分析法-根轨迹法不变。（用以判断根轨迹在s平面上的走向）。K,(s + 4)例6: G,=7(s+1)s+2)"画根轨迹。解：n=4,m=1,n-m=3>2Pi = P2 =0, P, =-1, p4 =-2,z, =-4D(s)= s* +3s* +2s? +K,s+4K, =0,开环D(s)=s*+3s* +2s2=0,.A,=a=3，与K,无关。且a,=-(pi+p2+p+p4)=3. A, = a, =-(s +$2 +$ +s4)=3②闭环极点之积与开环零、极点的关系：I(-s,)-II(-p,)+K,II(--,)=a,+K,bm, 即 A, =a, +K,bm。当系统为1型及1型以上时，α,=0，则有A，=K,bm，即闭环之积与根轨迹增益成正比如：上述例子，bm=-z,=4，而A,=-K,z,=4K,。③应用：根之和在n-m≥2时可以确定根轨迹走向，且在已知部分闭环极点时，用来求其余的闭环极点。根之积用来求对应的K，值，或在已知部分闭环极点和对应的K，值时求其余的闭环极点。12
《自动控制原理》 第四章 复域分析法-根轨迹法 12 不变。（用以判断根轨迹在 s 平面上的走向）。 例 6： ( ) ( 1)( 2) 4 2 1 + + + = s s s K s Gk ，画根轨迹。 解： n = 4,m =1,n − m = 3 2 p1 = p2 = 0, p3 = −1, p4 = −2,z1 = −4 ( ) 3 2 1 4 1 0 4 3 2 D s = s + s + s + K s + K = ， 开环 ( ) 4 3 2 D s = s + 3s + 2s =0， A1 = a1 = 3 ，与 K1 无关。且 ( ) 3 a1 = − p1 + p2 + p3 + p4 = A1 = a1 = −(s1 + s2 + s3 + s4 ) = 3 ②闭环极点之积与开环零、极点的关系： ( ) ( ) ( ) n m m j j n i i n i si p K z a K1b 1 1 1 1 − = − + − = + = = = ，即 n n m A a K b = + 1 。 当系统为 1 型及 1 型以上时， = 0 n a ，则有 n m A K b = 1 ，即闭环之积与根轨迹 增益成正比如：上述例子， 4 bm = −z1 = ，而 1 1 1 An = −K z = 4K 。 ③应用：根之和在 n − m 2 时可以确定根轨迹走向，且在已知部分闭环极点时， 用来求其余的闭环极点。根之积用来求对应的 K1 值，或在已知部分闭环极点和 对应的 K1 值时求其余的闭环极点。 d 2 s -4 -2 d1 s 0 j -1