《自动控制原理》第四章复域分折法-根轨迹法则根轨迹必起始于开环极点。(s-p)+(s-=,)=02）变一个方程：K, j=l当K，→80时，S=，，即终止于开环零点。s- p.3）又:K,=lim-=lim s""→0(n>mI1s-=)lj=l所以有（n-m)条终止于无穷远处。I1/s-z,l1=lim=4）又：= lim s"→00(m>n)Kis- p.li=l所以有（m-n）条起始于无穷远处。三、根轨迹对称于实轴：因为闭环极点不是实数就是共轭复数，不在实轴上就是在实轴两边对称分布，所以根轨迹必然对称于实轴。四、实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧实轴上，开环零、极点数目之和应为奇数。因为共轭复数零、极点向根轨迹上的s点所引的相角相互抵消，而s左边的实数开环零、极点向s引的相角为0°，只有s右边的实数开环零、极点向s引的相角为180°，当个数为奇数时才能为±180°±2k元。五、根轨迹的渐近线：若n>m，当K→>8o时，有（n-m）条趋于无穷远处，它们趋向的方位由渐近线决定：①渐近线与实轴正方向夹角：(2k +1)元[依次取k=0,±1,±2,..直到取到（n-m）个倾角];Pa=n-m②渐近线与实轴交点的坐标：6
《自动控制原理》 第四章 复域分析法-根轨迹法 6 则根轨迹必起始于开环极点。 2）变一个方程： ( ) ( ) 0 1 1 1 1 − + − = = = m j j n i i s p s z K 当 K1 → 时， j s = z ，即终止于开环零点。 3）又 s (n m) s z s p K n m s m j j n i i s = → − − = − → = = → lim lim 1 1 1 所以有 (n − m) 条终止于无穷远处。 4）又 s (m n) s p s z K m n s n i i m j j s = → − − = − → = = → lim lim 1 1 1 1 所以有 (m − n) 条起始于无穷远处。 三、根轨迹对称于实轴： 因为闭环极点不是实数就是共轭复数，不在实轴上就是在实轴两边对称分 布，所以根轨迹必然对称于实轴。 四、实轴上的根轨迹： 实轴上根轨迹区段的右侧实轴上，开环零、极点数目之和应为奇数。因为 共轭复数零、极点向根轨迹上的 s 点所引的相角相互抵消，而 s 左边的实数开环 零、极点向 s 引的相角为 0°，只有 s 右边的实数开环零、极点向 s 引的相角为 180°，当个数为奇数时才能为 180 2k 0 。 五、根轨迹的渐近线： 若 n>m，当 K→∞时，有（n-m）条趋于无穷远处，它们趋向的方位由渐近 线决定： ① 渐近线与实轴正方向夹角： ( ) n m k a − + = 2 1 [依次取 k = 0,1,2, 直到取到（n-m）个倾角]； ② 渐近线与实轴交点的坐标：
《自动控制原理》第四章复域分折法-根轨迹法2p.-2:-=a.n-mK,例1：已知G,=3s+1/s+5)，求渐近线。解：n=3,m=0,p=-1,p3=-5，3条趋于无穷远处：[k = 0,p。= 600(2k+)/元/k=1,。=180-1-5-2，Paa.33k=-1,。= -600842绘制根轨迹的基本法则六、根轨迹的汇合点、分离点及分离角：几条根轨迹在s平面上相遇又分开-----汇合点或分离点。若根轨迹位于实轴上两相邻开环极点间则至少有一个分离点（包括无穷远的极点);若根轨迹位于实轴上两相邻开环零点间则至少有一个汇合点（包括无穷远的零点）；由于根轨迹的对称性，分离点多位于实轴上，也可能是一些共轭点（此情况较少)。★分离点的计算：1、重根法：G,=KM)2, 则 D(s)= N(s)+ K,M(s)= 0N(s)重根时且有：D(s)=N(s)+K,M(s)=0.联立以上方程：K,=- )M(s)则有: N'(s)-M(s)=0= N(s)M(s)-N(6)M(s)=0, 可解得sa。M(s)2、极值法：在分离点s，的K，（d）值不是过阻尼的极大值就是欠阻尼的极小值或相反。7
《自动控制原理》 第四章 复域分析法-根轨迹法 7 n m p z m j j n i i a − − = =1 =1 例 1：已知 ( 1)( 5) 1 + + = s s s K Gk ，求渐近线。 解：n = 3,m = 0, p1 = −1, p3 = −5，3 条趋于无穷远处： 2 3 1 5 = − − − a = ， ( ) = − = − = = = = + = 0 0 0 1, 60 1, 180 0, 60 3 2 1 a a a a k k k k §4—2 绘制根轨迹的基本法则 六、根轨迹的汇合点、分离点及分离角： 几条根轨迹在 s 平面上相遇又分开-汇合点或分离点。 ▲若根轨迹位于实轴上两相邻开环极点间则至少有一个分离点（包括无穷远 的极点）； ▲若根轨迹位于实轴上两相邻开环零点间则至少有一个汇合点（包括无穷远的零 点）； ▲由于根轨迹的对称性，分离点多位于实轴上，也可能是一些共轭点（此情况较 少）。 ★分离点的计算： 1、重根法： ( ) N(s) K M s Gk 1 = ，则 D(s) = N(s)+ K1M (s) = 0 重根时且有： ( ) ( ) ( ) 0 ' 1 ' ' D s = N s + K M s = ∴ 联立以上方程： ( ) M (s) N s K1 = − 则有： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ' ' ' ' − M s = N s M s − N s M s = M s N s N s ，可解得 d s 。 2、极值法：在分离点 d s 的 K (d ) 1 值不是过阻尼的极大值就是欠阻尼的极小值或 相反
《自动控制原理》第四章复域分析法-根轨迹法: 1+ K,M(s)N(s)：应有K=0。.. K.N(s)dsM(s)_ N(s)M()-N()M(),即N(G)M(s)- N(s)M(s)=0,则dk,ds[M(s)]P可见：与重根法结果相同。"11[若m=0，则之_1-13、作图法：=01=sa-p=sa=sa-p（证明从略）说明：从以上公式求得的s。可能有多个，要舍去不在根轨迹上的点。±180°2.4、分离角的计算：0--相分离的根轨迹根数。kkK,(s + 4)K,(s + 4)例2：已知GH=求其分离点。(s + 2)(s + 3)s~+5s+6111解：a+8sg+14=0Sa+4Sa+2S,+32.586解得sd2=-5.414此时两个分离点都在根轨迹上，都要取。而9，=90°。K,例3：Gs(s +1)(s + 5)1则0→3d2+12s,+5=0Sa+1Sa +5SdSan = 0.473解得：[Sd2 =-3.527(舍)Sa2
《自动控制原理》 第四章 复域分析法-根轨迹法 8 ∴ 应有 0 1 = ds dK 。 ( ) ( ) 1 0 1 + = N s K M s ， ∴ ( ) M (s) N s K1 = − 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ' ' 1 M s N s M s N s M s ds dK − = − ， 即 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ' ' N s M s − N s M s = ， 可见：与重根法结果相同。 3、作图法： = = − = − m j d j n i d i 1 s p 1 s z 1 1 [若 m = 0 ，则 0 1 1 = − = n i d pi s ]。 （证明从略） ▲ 说明：从以上公式求得的 d s 可能有多个，要舍去不在根轨迹上的点。 4、分离角的计算： k k d ( 1800 = -相分离的根轨迹根数）。 例 2：已知 ( ) ( ) ( 2)( 3) 4 5 6 4 1 2 1 + + + = + + + = s s K s s s K s GH ，求其分离点。 解： 8 14 0 4 1 3 1 2 1 2 → + + = + = + + + d d d d d s s s s s 解得 = − = − 5.414 2.586 2 1 d d s s 此时两个分离点都在根轨迹上，都要取。而 0 d = 90 。 例 3： ( 1)( 5) 1 + + = s s s K Gk 则 0 5 1 1 1 1 = + = + + d d d s s s 3 12 5 0 2 → d + sd + = 解得： ( ) = − = − 3.527 舍 0.473 2 1 d d s s d 2 s -4 -3 -2 d1 s 0 j d 2 s d1 s -5 -1 0 j
《自动控制原理》第四章复域分折法-根轨迹法七、根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴相交，表示闭环极点中有一部分位于虚轴上，即闭环特征方程有纯虚根土jの，系统处于临界稳定。1、将 s= jo 代入1+G(jo)H(jo)=0则有R,[1+G(jo)H(jo)]+I[1+G(jo)H(jo)]=0令R[1+G(jo)H(jo)]=0, I[1+G(jo)H(jo)]=0，解出の及对应的K。。K,6+1)6+2)K.(k=≤)例4: G,(s)=-2解：D(s)=s3+3s2+2s+K,=0D(jo)=(j) +3(jo) +2jo +K, =0-03 +20= 0→0 = 0,023 =±/2[-302 +K, =0→K, =6,: K。=32、用劳斯判据：253113K,s2上例：6 - K,0s'Es当s行等于0时，可能出现共轭虚根，令6-K，=0K，=6辅助方程：3s2+K=3s2+6=0.S12=±j/2即0=±/2。八、根轨迹的起始角与终止角（出射角与入射角）：1、起始角：起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角称为起始角。如右图所示系统：在靠近P2处取一点S，则有9
《自动控制原理》 第四章 复域分析法-根轨迹法 9 七、根轨迹与虚轴的交点： 根轨迹与虚轴相交，表示闭环极点中有一部分位于虚轴上，即闭环特征方 程有纯虚根 j ，系统处于临界稳定。 1、将 s = j 代入 1+ G( j)H( j) = 0 则有 Re 1+ G( j)H( j)+ I m 1+ G( j)H( j) = 0 令 R 1+ G( j)H( j) = 0, e I 1+ G( j)H( j) = 0 m ，解出 及对应的 Kc 。 例 4： ( ) ( 1)( 2) 1 + + = s s s K G s k ，求 = 2 . K1 Kc K 解： ( ) 3 2 1 0 3 2 D s = s + s + s + K = ( ) ( ) 3( ) 2 1 0 3 2 D j = j + j + j + K = − + = → = = − + = → = = 3 0 6, 3 2 0 0, 2 1 1 2 1 2.3 3 K K Kc 2、用劳斯判据： 上例： 1 1 1 0 1 2 3 0 3 6 3 1 2 K K K s s s s − 当 1 s 行等于 0 时，可能出现共轭虚根，令 6 − K1 = 0, K1 = 6 辅助方程： 3 3 6 0, 1.2 2 2 2 s + K = s + = s = j 即 = 2 。 八、根轨迹的起始角与终止角（出射角与入射角）： 1、起始角：起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角称为 起始角。 如 右 图 所 示 系 统 ： 在 靠 近 2 p 处 取 一 点 1 s ，则有
《自动控制原理》第四章复域分析法-根轨迹法Z(si -z)-Z(s - p)-Z(s - p2)-Z(si -ps)=(2k +1)元当s,无限靠近 p,时,则各开环零极点引向s,的向量变为引向p的向量，而Z(s,-P2)就是p2°即 p2 =(2k +1) + Z(p2 -z)- Z(p2 - p)-Z(p2 - p)故有： 0=(2k+1)元+≥Z(p-z,)-Z(p-p,)二2、终止角：终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与水平线正方向的夹角称为终止角。同理可得： ±=(2k +1)元+Z(=±-p,)-(= =2)j=lJ层A共轭复数的开环零极点才需计算出射角和入射角，实数开环零极点不用计算，一般为：0°,180°±90°±60°与180±45°与±135°等。K,(s +2)例5: G,(s)=s(s+3)(s2 +2s +2)解： P, =0,p, =-3,p34=-1± j,z, =-20p3=180°+ 45°135°-90°-26.6°=-26.60:. 0p4 = 26.60P26.60135045026.6°0-21900PXL0-1
《自动控制原理》 第四章 复域分析法-根轨迹法 10 ( ) ( ) 1 1 1 p1 s − z − s − − (s1 − p2 ) − (s1 − p3 ) = (2k +1) 当 1 s 无限靠近 2 p 时， 则各开环零极点引向 1 s 的向量变为引向 2 p 的向量，而 ( ) 1 p2 s − 就是 p2 。 即 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 p2 p1 p2 p3 k p z p = + + − − − − − 故有： ( ) ( ) ( ) = = = + + − − − n j k j k j n i pk k pk zj p p 1 1 2 1 2、终止角：终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与水平线正方向的夹角称为 终止角。 同理可得： ( ) ( ) ( ) = = = + + − − − m j k j k j n j zk k i k z p z z 1 1 2 1 共轭复数的开环零极点才需计算出射角和入射角，实数开环零极点不用计 算，一般为： 0 ,180 ,90 ,60 180 45 135 0 0 0 与 ， 与 等。 例 5： ( ) ( ) ( 3)( 2 2) 2 2 1 + + + + = s s s s K s G s k 解： 0, 3, 1 , 2 p1 = p2 = − p3.4 = − j z1 = − 0 0 0 0 0 0 p3 =180 + 45 −135 − 90 − 26.6 = −26.6 0 p4 = 26.6 j 3 p 0 4 -1 p -3 -2 0 135 0 − 26.6 0 45 0 26.6 0 90 2 j 1 p 2 p 3 p 0 z1 s1 ●